信號統(tǒng)計分析第三章

1、中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605001二元的信號檢測模型統(tǒng)計的基本步驟(1) 做出合理假設(2) 確定所要遵循的最佳準則(3) 進行實驗，獲取所需的先驗知識(4) 形成規(guī)則，劃分域(5) 設計最佳，計算統(tǒng)計性能3.2信號檢測模型檢測系統(tǒng)對應的二元假設檢驗模型H0 :()0 t TH1 : x (t )二元通信系統(tǒng)對應的二元假設檢驗模型H0 : x ( ) = ()0 t TH1 : x (t ) =)3.1 引言幾個概念 假設：對檢驗對象的所有可能的結(jié)果的陳述。 假設檢驗：基于觀測信號在幾個假設中選取一個的判決。 先驗知識：觀測者事先具備的知識。 后驗知識：對觀測信號分析后

2、重新形成的關于信號的知識。本章內(nèi)容3.1 引言3.2 信號檢測模型3.3 統(tǒng)計準則3.4 統(tǒng)計準則的推廣3.5 白噪聲中已知信號的檢測3.6 色噪聲中已知信號的檢測3.7 隨機參量信號的檢測信號統(tǒng)計分析第3章 噪聲中的信號檢測中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050023.3.3最小平均錯誤概率準則尋找合適的門限 th 使二元假設檢驗的統(tǒng)計平均錯誤概率Pe = P ( H0 ) P (D1 H0 ) + P ( H1 ) P (D0 H1 )= P ( H ) f ( x( H ) th f ( x H ) dx0 th1 - 1達到最小。 dPf (th H1 ) P ( H

3、0 )即令得=dthf (th H 0 ) P ( H1l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 ) = th相應的規(guī)則為f ( x H0 ) H0 P ( H )3.3.2最大后驗概率準則二元假設檢驗模型H0 : x = - A + nH : x = A + n 根據(jù)觀測樣本，選擇最可能產(chǎn)生這種觀測樣本的那個信號為信源輸出的信號。H1(| ) P ( H0 | x)H0 相應的規(guī)則為l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 ) = thf ( x H0 ) H0 P ( H1 )例：目標回波信號 s (t ) = 1 ，噪聲 n (t ) % N (0,1

4、) ，利用單個觀測樣本進行檢測。H0 : x = nH1 : x = 1+ nf ( x H )0f ( x H )1調(diào)整門限可以折衷考慮兩類錯誤概率x四類概率3.3.1幾個基本概念 P (D1 H0 )（第一類錯誤概率，即虛警概率，用 Pfa 或a 表示）：H 0 為真但為 H1 P (D0 H1 )（第二類錯誤概率，即漏警概率，用 b 表 示）：H1 為真但為 H0 的概率 P (D0 H0 ) ：H0為 H0 的概率 P (D1 H1 ) （檢測概率，用 PD 表示）：H1判為 H1 的概率3.3 統(tǒng)計準則3.3.1 幾個基本概念3.3.2 最大后驗概率準則3.3.3 最小平均錯誤概率準

5、則3.3.4 平均風險最小準則3.3.5 極大極小準則3.3.6 -準則3.3.7 似然比檢驗分類 二元假設檢驗二元簡單假設檢驗二元復合假設檢驗 M 元假設檢驗 連續(xù)信號的檢測 離散信號的檢測 多樣本檢測中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605003當先驗概率 p 未知時，按照推 的先驗概率( p1 ,1- p1 )來設計檢驗，規(guī)則為 f ( x H1 ) H1 p (C - C ) 1 10 00 f ( x H0 ) H0 (1- p1 )(C01 - C11 )此時所付的平均代價C ( p, p1 ) = C00 p +( - ) ()( 1 )(1- p)設先驗概率 P (

6、 H0 ) = p ，則規(guī)則為 f ( x H1 ) 1 p (C10 - C00f ( x H0 ) H0 (1- p )(C01 - C11 )代價為Cmin ( p) = pC00 1-a ( p) + C10a ( p)+(1- p)( ) + C11 1- b ( p)= C00 p + C11 (1- p) p)(1- p)3.3.5極小極大準則 準則要求已知先驗概率和各種代價函數(shù)；極小 大準則應用于僅僅知道代價函數(shù)Cij (i, j = 0 ,1) ,而先驗概率 P ( Hi ) (i = 0,1) 未知的情況。 極小極大準則：把使最小平均代價（代價）取得最大值所對應的概率當作先

7、使用。令 dC = 0解得f (th H1 ) = P ( H0 )(C10 - C00 )dthf (th H )( )(C01 - C11 )則規(guī)則為l ( x) = f ( x H1 ) H1 P ( H0 )(C10 - C00 ) = thf ( x H0 ) H0 P ( H1 )(C01 - C11 )另一種求解R = R0 U R13.3.4平均風險最小準則是需要付出代價的，引入代價函數(shù)Cij (i, j = 0 ,1)一般 C10 C00 , C01 C11 則所付的平均代價為C = P(H0 ) C00 P(D0 H0 ) + C10 P(D1 H0 )+ P(H1 ) C

8、01P(D0 H1 ) + C P(D H )目標：尋找合適的門限 th ，使平均代價達到最小。例二元通信系統(tǒng)，其單樣本的二元假設檢驗為H0 : x =- A + n H1 : x = A + n其中A 0 ，噪聲 n % N (0,s 2 ) ，P ( H ) = P ( H ) = 1 2 10求基于最小錯誤概率準則進行的規(guī)則和最小錯誤 概率。中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050043.3.7似然比檢驗前面幾種準則下的規(guī)則都具有如下形式：l ( x ) = f ( x H1 ) H1 thf ( x H ) H0其中門限由具體的準則來確定。 l ( x ) 與門限作比較的

9、變量稱為檢驗統(tǒng)計量H1 似然比檢驗l ( x) thH0H1 似然比檢驗的對數(shù)形式 ln l ( x) ln thH0例對于單樣本的檢測，有H0 : x = n H1 : x =1+ n其中噪聲 n % N (0,1) ，給定虛警概率 a = 10-3 。請求紐0曼-準則的規(guī)則和檢測概率。采用日待定系數(shù)法L = P (D0 H1 ) + m P (D1 H0 )類比平均代價，可得相應的規(guī)則： f ( x H 1 ) H1( x H m = th0 ) H 0門限th 由 Pfa = a0 確定。3.3.6-準則 -準則是在先驗概率和代價都難以確定的情況下處理假設檢驗的有效準則。 在保證虛警概率

10、小于等于某一給定值 (Pfa a0 ) 的約束條件下，使檢測概D 最大。其表示形式為max P ( D1 | H1 )s t. P ( D1 | H0 ) = a0推測值 p0 的求解 一曲C ( ) 取極大值： dCmin ( p)= 0mindpp= p 0 二 直線 C ( p, p ) 斜率等于零： C ( p, p1 )= 01pp1 = p0得10a ( p0 ) + 00 -a ( p0 ) = C01b ( p0 ) + C11 1- b ( p0 )（極小極大方程）Cmin 以及 C ( p, p1 ) 與 p 的曲線中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605005

11、3.4.2 多樣本假設檢驗多樣本假設檢H0 : xi = A0 + niH : x = A + ni = 1, 2, N1 i1i 記 x = N 。的目標是將N維觀測空間T劃分為互斥的R0 , R1 兩個區(qū)域，使平均代價 C 達到最小。 相應的 H1 ) = (N H1 ) H1 = P ( H0 )(C10 - C00 )= thH0 )N H0 ) H0 P ( H1 )(C01 - C11 ) 令 Cii = 0, Cij 1 ，規(guī)則成最小錯誤概率準則或最大后驗概率準則下的規(guī)則，即HiP (Hi x ) P (Hk x ), k = 0,1, M -1, k i 可進一步表示成形式：l

12、 ( x) = f ( x H ) Hi P ( Hk ), j = 0,1, M -1, k i f ( x Hk )( i )得M -1C = P ( Hi )Cii + xR P (H j )(Cij - C jj ) f (x H j )dxi=0i =0i j =0, j i定義M -1Ii ( x) P (H j )( ijjj ) (x H j ) j =0, j i則Ri = x : I ( x) Ik ( x), k = 0,1, M -1, k i規(guī)則為HiIi ( x)Ik ( x ), k = 0,1, M -1, k i3.4.1元假設檢驗M元假設下的 M 種假設 H

13、0 ,H1 ,HM -1 ，先驗概率 P( H0 ),P( H1 ),P( HM -1 )代價函數(shù) Cij (i, j = 0,1, M -1)，則統(tǒng)計付出的平均代價為：M -1 M -1(D H ) P Hij( j )i=0 j =0 M 元假設下的檢驗就是根據(jù)使平均風險最小的準測空間 R 劃分為互斥的 Ri (i = 0,1, M -1)。 當 x Ri ，則判 Hi 為真。3.4統(tǒng)計準則的推廣3.4.1 M元假設檢驗3.4.2 多樣本假設檢驗3.4.3 序貫檢驗3.4.4 復合假設檢驗3.4.5 分集技術與多檢測器檢測數(shù)據(jù)融合幾種準則的門限值 th 最大后驗概率準則/最小錯誤概率準則：

14、th = P ( H0 ) P ( H1 ) 平均風險最小準則： th = P ( H0 )(C - C00 )P ( H1 )(C01 - C11 ) 極小極大準則：th = p0 (C10 - C00 ) (1- p0 )(C01 - C11 ) 準則： th 由給定的虛警概率確定。中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050063.4.3序貫檢測 序貫檢測：事先不規(guī)定樣本數(shù)而留待實驗過程中確定的假設檢驗。 二元序貫假設檢測：在虛警概率Pfa a 和漏警概率PD 1- b 的約束下，從所獲得的第一個數(shù)據(jù)序列開始進行似然比檢 驗，若能做出明確，檢驗結(jié)束；若不能做出，則采用新接收的數(shù)

15、據(jù)與前面已有的數(shù)據(jù)按照同樣的規(guī)則進行，直至能做出為止。例對于4元多樣本檢測：H0 : xi =- H1 : xi = -1+ nii = 1, 2, NH2 : xi = 1+ niH3 : x = 2 + ni其中 n % N (0,s 2 ) 且相互，各種假設出現(xiàn)的概率彼此i相等。請分析基于最小平均錯誤概率準則下的檢測性能。多樣本與單樣本下的性能比較f ( x H )0f ( x H )1f ( x H 0 )f ( x H )1漏警概率虛警概率門限增加觀測樣本數(shù)使得檢驗統(tǒng)計量中的信噪比增強， “累積”技術例對于二元通信系統(tǒng)中的多樣本檢測，有H0 : xi =- Ai = 1, 2, NH

16、1 : xi = A + ni假定 P ( H ) = P ( H ) = 1 2 ，噪聲 n % N (0,s 2 ) 且相互。01i請分析基于最小平均錯誤概率準則下的系統(tǒng)檢測性能。-準則 max P ( D1 | H1 ) s.t. P ( D1 | H0 ) = a0即H1 ) H1 m = thH0 ) H0門限 th 由下式確定P ( D1 | H ) = th f (l (x) | H0 )dl = a0在N維觀測空間中有一系列面可以滿足虛警概率的約束條件，從眾多的面中找出一個使檢測概率達到最大值的。雙樣本檢測下二維觀測空間的域劃分示意圖面的方程式為： l (x) = th中國科學

17、技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050073.4.4 復合假設檢驗信號檢測中除了由于噪聲對觀測樣本的影響使產(chǎn)生了不確定性以外，被檢測的信號的一些參量還可能是隨機的，稱為隨機參量信號，對應的檢測稱為復合假設檢驗。例二元假設檢驗H0 : xi = niH : x = 2 + ni = 1, 2,1ii其中 n % N (0,1) 的白噪聲。先驗概率 P ( H1 ) = P ( H0 ) ，虛警概率和漏警概率約束為 a0 = b0 = 0 05 。采用序貫似然比檢測，求結(jié)束所需的平均樣本數(shù)。結(jié)束所需的平均樣本數(shù)E N = E N H1P ( H1 ) + E N H0 P ( H0 )其中

18、E ln l (xN ) H0 a0 ln th1 + (1 - a0 )ln th0 E N H0E ln l ( x) H0E ln l (xN ) H1 (1- b0 )ln th1 + b0 ln th0 E N H1E ln l ( x) H1可以證明：當觀測樣本數(shù)趨于無窮時一定結(jié)束。序貫檢測的門限th 1- b0 或 ln th ln 1- b0 1a1 a 00 th b0 或 ln th ln b0 0 1- a0 1- a 00 規(guī)則為：ln l (x ) ln 1- b0 判為Hi a 1 0 b ln l (xi ) ln 0 判為H0 1- a0 b 1- b ln 0

19、 ln l (xi ) ln 接收下一個數(shù)據(jù) 1- a0 a0 序貫檢測的域序貫檢測的規(guī)則l (xi ) th1判為H1l (x ) th判為Hi00th l (x ) th 增加一個樣本，重新 0i1x i (i = 1, 2,) 為觀測樣本矢量，i為觀測樣本T數(shù)序號，隨著過程進行不斷增加，直至做出為止；th0 ,th1 由給定的虛警概率a0和漏警概率b0 決定。中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605008定義Ii (x) = P (H j )( f (x , H ( ( ) - C ( ) f ( )d1j )j jijjjjjjjj =0, j i基于準則的規(guī)則：Ii (x

20、) Ik (x), k = 0,1, M -1, k i即R N = ), k = 0,1, M -1, k ikM元復合假設檢驗 與 Hi (i = 0,1,-1) 假設有隨機參量矢量為i ，先驗概率密度函數(shù)為 f (i ) ，先驗概率為 P ( Hi ) ，代價函數(shù)為 C j ( j ) 系統(tǒng)所付的平均代價：M -1 M -1C = P (H j ) ( ) Cij ( j ) P (Di j , H )f ( )d ji=0 j =0jM -1 M -1= P (H j ) ( ) f (x , H )C ( )dx f ( )d j xRnj j ij jjji =0 j =0i C0

21、0 = C11 = 0，C10 = C01 = 1 ，則基于最小錯誤概率準則和最大后驗概率準則的規(guī)則： ( f (x , H1 ) f1 () d H1 P ( H )l (x) =)0 f (x , H1 ) f0 () d H0 P ( H1 )( ) C00 = C11 = 0 ，P ( H1 )C01 = 1 ，P ( H0 )C10 = th ，則基于-皮爾遜準則的規(guī)則：( f (x , H1 ) f1 () dl (x) =) th()1 0 ) d H0基于準則的規(guī)則： C01 () - C11 () f (x , H1 ) f1 () d H1 P ( H )l (x) = (

22、 )0 = th C10 () - C00 () f (x , H0 ) f0 () d H0 P ( H1 )( ) 若各類代價函數(shù)與隨機參量矢量 和 無關，則 ( f (x , H1 ) f1 () d H1) ( H )l (x) =)0 = th( f (x , H0 ) f0 () d H0) ( H1 ) 似然比為平均似然比 系統(tǒng)所付的 均代價：C = P ( H0 ) () C00 () P (D0 , H0 ) + C10 () P (D1 , H0 ) f0 () d+ P ( H1 ) () C01 () P (D0 , H1 ) + C11 () P (D1 , H1 )

23、 f1 () d= P ( H0 ) ( C00 () f0 ()d + P ( H1 ) C01 () f1 () d)() + xRN P ( H0 ) C10 () - C00 () f (x , H0 ) f0 () ddx1 ( ) - xRN ( P ( H1 ) C01 () - C11 () f (x , H ) f () ddx1) 二元復合假設檢驗 與 H 假設有隨機參量矢量為 = f ,f ,f T ，先01 2m驗概率密度函數(shù)為 f0 ()，先驗概率為 P ( H0 ) ，代價函數(shù)為C00 (), C10 () 。 與H 假設有隨機參量矢量為 = q ,q ,q T ，

24、先11 2n驗概率密度函數(shù)為 f1 () ，先驗概率為 P ( H1 ) ，代價函數(shù)為 C11 (), C01 () 。中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605009適合于連續(xù)信號檢測的最佳在 Hi 假設下的似然函數(shù)2 f (x (t ) Hi ) = F exp x (t ) - si (t ) dt N 0連續(xù)信號的似然比規(guī)則TH10 s1 (t ) - s0 (t ) x (t ) dt thH0其中s2 (t ) - s2 (t ) dt210相關(a)(b)當假設為 Hi (i = 0,1) 時，樣本 xk 的似然函數(shù)為：1 ( x - s )2 f ( x H ) =e

25、xp - k ik k i2ps2s 2n此時樣本矢量的似然函 1 N 2 N ( x - s )2 x H ) =f ( x H exp - k ik ik 2ps 2 2s 2 nk =1n 似然比規(guī)則為：) H1(th) + 1 ()s 2 lnsT s - sT s = th1 0n1 1 0 0 H02其中 s = s , s , s T , s = s , s , s T111 121N001 020 N記 x = T ，其似然比檢驗為Nl (x) = f (N H1 ) H1 thfN H0 ) H0如果這N個樣本統(tǒng)計，則N f ( xk H1 ) Hl ( ) = k =1 1

26、 thN f ( x H ) H0k0k =13.5.1 最佳二元假設檢驗：(t ) = s( )H : x (t ) =)0t T其中 s0 (t ) s1 (t ) 是確知信號，n (t ) 是均值為零、功率譜密度為 N0 2 的 白噪聲。在 0,T 內(nèi)對接收信號采樣， 獲得N個觀測樣本：k = s0k + nkH : x = s + nk = 1, 2, N1 k1kk3.5白噪聲中已知信號的檢測3.5.1 最佳3.5.2 通收機的性能3.5.3 系統(tǒng)的最佳性能3.5.4 匹配濾波器3.5.5 M元通信系統(tǒng)3.5.6 已知信號的分集接收中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 006605

27、0010相干頻移鍵控系統(tǒng)（CFSK） 在內(nèi)可能發(fā)射信號s0 (t ) = Asin w0ts (t ) = Asin w t0 t T11 規(guī)則TH10 s1 (t ) - s0 (t ) x (t ) dt 0H0 平均錯誤概率Pe = 1- F( E N0 ) = 1- F( E1 N0 )相干相移鍵控系統(tǒng)（CPSK） 在 0,T 內(nèi)可能發(fā)射信號s0 (t ) = Asin wct0 t Ts1 (t ) = Asin (wct + p ) = - Asin wct 規(guī)則HT10 x (t ) s1 (t ) dt 0H0 平均錯誤概率Pe = 1- F ( 2E N0 ) = 1- F

28、( 2E1 N0 )假定通信源的先驗概率近似相等，即 P ( H ) = P ( H ) = 1 ，01 2則二元通信系統(tǒng)的平均錯誤概率為：Pe = exp - dx = 1- F ( (1- r ) E N0 ) 1 x2 a 2 2p 2 最佳二元通信系統(tǒng)定義參數(shù)：E = 1 ( E + E ) = 1 T s2 (t ) dt + T s2 (t ) dt 2 012 0 00 1E0 和 E1 分別表示信號s0 (t ) 和s1 (t ) 的能量，E 表示信號s (t ) 和 s1 (t ) 的平均能量；r = 1 T s (t ) s (t ) dt E 0 01r 表示s0 (t

29、) 和s1 (t ) 的時間互相數(shù)?？勺C明： r 13.5.2通收機的性能 通收機性能通常用平均錯誤概率來衡量，設計檢驗統(tǒng)計量TT P ( H )G = s (t ) - s (t ) x (t ) dt + 1 s2 (t ) - s2 (t ) dt H1 N0 ln0 0 10 2 0 01 2 P ( H ) H01 條件下E G | H =- 1 T s (t ) - s (t )2 dt, Var G | H = N0 T s (t ) - s (t )2 dt02 0 01 02 0 01 H1 條件下E G H = 1 T s (t ) - s (t )2 dt,G H = V

30、ar G H 1 2 0 01 10相關（a）（b）中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050011定義系統(tǒng)輸出的峰值信噪比為 1 22S (w ) H ( jw ) e jwt0 dwSNR = so (t0 ) = 2p -o E n2 (t )N H ( jw ) 2 dwo0 4p -利用不等式222- F (t )Q (t ) dt F (t ) dt - Q (t ) dt（只有當 F (t ) = CQ* (t ) ，C為任意，上式等式才成立）3.5.4 匹配濾波器 匹配濾波器是基于最大輸出信噪比準則的最佳 最大輸出信噪比準則就是輸出信號峰值的瞬時功率與噪聲的平均功率

31、之比為最大的準則 線性濾波器的輸入輸出模型輸入： x (t )輸出： y (t )(o )其中 s (t ) 是確知信號，n (t ) 是功率譜密度為 N 2 的廣義0平穩(wěn)白噪聲。工作特性（ROC） 虛警概率= 1 - x2 = - F (h ) = aPfa h 2p exp 2 dx 1 檢測概率1 x2 PD = h - 2 E Nexp - dx = 1- F(h - 2E1 N0 )1 0 2p2 檢測概率與各參量間3.5.3系統(tǒng)的最佳性能兩種假設H0 : ()H : x (t ) s)0 t T1其中 n (t ) 是零均值，功率譜密度為 N0 2 的白噪聲。 規(guī)則TH10 s (

32、t ) x ( ) H0其中s2 (t ) dt22開關載波鍵控系統(tǒng)（OOK） 在 0,T 內(nèi)可能發(fā)射信號s0 (t) = 00 t Ts1 (t) = Bsinwct 規(guī)則T x (t ) s (t ) dt 1 1 E0110 平均錯誤概率Pe = 1- ()- F ( E1 2N0 )中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050012匹配濾波器相關3.5.5 M元通信系統(tǒng) M元假設檢驗Hi x (t ) = s (), 0 t T , i = 0,1, M -1其中 n (t ) 是均值為0、功率譜密度為N 2 的白噪聲0T1 i = jrij = 0 si (t ) s j

33、(t ) dt = dij Edij = 0 i j 基于最小錯誤概率準則的規(guī)則為THi T0 si (t ) x (t ) dt 0 s j (t ) x (t ) dt, j = 0,1, M -1, j i性質(zhì) 在所有的線性濾波器中，匹配濾波器輸出信噪比最大，SNRo max = E ( N0 2)。 H ( jw ) = S (w ) (w ) = -j (w ) - wtjhs0 輸出信噪比達到最大的時刻 t0 T 與 s(t) 匹配的濾波器對 s1 (t ) = As (t -t ) 同樣匹配 匹配濾波器對頻移信號不再匹配 匹配濾波器的輸出信號是輸入信號的時間自相關函數(shù) 匹配濾波器

34、和相關器的等效性匹配濾波器的時域特性h (t ) = F -1 ( jw ) = 1 S* (w ) e jw(t -t0 )dw = s* (t - t )2p -0 對于實信號 s (t ) ，有 h (t ) = s (t0 - t )可得信噪比 1 2 dwSNR 2p -= E = 2EoN 2N 2 N000傳輸函數(shù)設計為H ( jw ) = CS* (w )e- jwto 且取 C = 1 時，E系統(tǒng)輸出達到最大信噪比為 N 2 。0S (w )中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050013工作特性（ROC） 選擇檢驗統(tǒng)計量為M TG = 0 xi (t ) si

35、(t ) dti =1 虛警概率和檢測概率分別為：= 1 - x2 = - F (h ) Pfa h2p exp 2 dx 11 x2 PD = h - 2 E Nexp - dx = 1- F (h - 2ET N0 )T 0 2p 2 其中h = th 2 N0 ET相關考慮一個多站系統(tǒng)，M部特性一致的在觀察時間T內(nèi)接收信號，記為 x1 (t ), x2 (t ), xM (t ) ，對應的二元假設檢驗H1 : xi (t ) = s (i )H : x)0 t T , i = 1, 2, M0i 似然比規(guī)則為M TH1 xi (t ) si (t ) dt thi=1 0H0 N01 M

36、其中th =ln th + Ei 。22 i=13.5.6已知信號的分集接收利用分集技術可以信號檢測的性能 時間分集 頻率分集 空間分集 極化分集M元系統(tǒng)的檢測性能 以第i個相關器輸出作為檢驗統(tǒng)計量TGi = 0 ( ) sit, i = 0,1, M -1 推導得平均錯誤概M -1Pe = Pe (H j ) P (H j ) j =022M -1= - 1 - z z 2 E N 1 - u1e 2 0e 2 du dz- 2p -2p 平均錯誤概率與各參量間中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050014令Q (w ) = S (w ) e jwt0 , F (w ) = S

37、n (w )H ( jw )2p Sn (w )2p2SNR 1 dwo 2p - S (w )nS* (w )當 H ( jw ) = ce- jwt0 時，等式成立。Sn (w ) 廣義匹配濾波器等價于白化濾波器和匹配濾波器的級聯(lián)。S (w )3.6.3 廣義匹配濾波假定在 t = t0 時刻輸出信號達到峰值，此時濾波器輸出的信噪比為 1 22S (w ) H ( jw ) e jwt0 dwSNR = so (t0 ) = 2p -o E n2 (t ) 1 S (w ) H ( jw ) 2 dwon2p -利用不等式222- F (t )Q (t ) dt - F (t ) dt -

38、 Q (t ) dt 選取 H (w ) = 1 ，此時 S (w ) = S (w ) H (w ) 2 = 11S (w )n1n1n 該白化濾波器 h1 (t ) 是實現(xiàn)的 噪聲白化之后，再對信號 s1 (t ) 進行匹配濾波。匹配濾波器的傳輸函數(shù)為：S* (w )H (w ) = S * (w ) e- jwT =e- jwT2s1S - (w )n 整個系統(tǒng)傳輸函數(shù)為：S * (w )H (w ) = H (w ) H (w ) =e- jwT 12S (w )n預白化濾波器h1 (t)的構(gòu)造 要使n (t ) 為白噪聲，要求 H (w ) 2 = 11 1Sn (w ) 若噪聲的功

39、率譜密度Sn (w ) 滿足-條件，即- 12 dw +則 S (s) = S (s) S - (s)nnn其中 S (s), S - (s) 分別表示所有零極點都在 s 平面的左半nn平面（對應正時間函數(shù)）和右半平面（對應負時間函數(shù)）。 有 S (w ) = S - (-w )nnln Sn (w )3.6.1 預白化 將接收信號通過沖激響應為 h1(t) 的白化濾波器。 轉(zhuǎn)化為白噪聲中已知信號 s1 (t ) 的檢測，可用相關或匹配濾波器完成。 檢測過程如下圖所示3.6色噪中的已知信號的檢測3.6.1 預白化3.5.2 卡亨南-展開3.6.3 廣義匹配濾波3.6.4 色噪聲中已知信號的檢測

40、3.6.5 性能分析中國科學技術大學本科生課程信號統(tǒng)計分析 0066050015采用K-L展開系數(shù)作為接收信號樣本:x (t ) = x f (t ), x = T x (t ) f (t ) dtk kk 0kk其中 0 n (t -t ) fk (t ) dt = k k (t ), 0 t T此時的似然比檢驗為：l ( x (t ) = lim l (x) = lim f (N H1 ) 1 thHN fN 0 ) 03.6.4色噪聲中已知信號的檢測二元假設檢驗：H0 : x (t ) = s ()0 t TH1 : x (t ) = s)其中s0 (t ) 和 s1 (t ) 是已知信

41、號， n (t ) 是均值為零、自相關函數(shù)為Rn (t ) 的色噪聲。性質(zhì) 齊次方程，核函數(shù)，本征值，本征函數(shù)， 核，對稱核，(半)正定核 厄核對應的本征值是實數(shù) 實對稱核對應的本征函數(shù)是個實函數(shù) 正定核對應的本征值是個正數(shù)T 反核 0 Rn ( 1 - t2 ) n (t2 - t3 ) dt2 d ( 1 3 ), 0 t1, t3 T卡亨南-展開系數(shù) xk k2,) 的獲取（相關器 接收信號x (t ) = ()其中 n t 為零均值相關函數(shù)為 Rn (t ) 的廣義平穩(wěn)聲。 將x 在完備的歸一化正交函數(shù)集上展開x (t ) = x f (t ), x = T x (t ) f * (t ) dtk kk 0kk 系數(shù) xk 是隨量，若它們 不相關（即統(tǒng)計獨立），可將它們視為觀測樣本進行信號檢測。T 條件0 Rn (t1 - t2 ) f j (t2 ) dt2 = lj f j (t1 ), 0 t1 T3.5.2 卡亨南-（K-L）展開 歸一化正交函數(shù)集：定義域為0,T 的函數(shù)集T f (t )