參考復習第三章

1、第三章 矩陣的初等變換 本章內(nèi)容要點 重點難點解讀 典型題 本章內(nèi)容要點1. 矩陣的秩矩陣的秩 在 mn 的矩陣 A 中，任取 k 行與 k 列( )，位于這些行和列交叉處的 個元素,按原來的次序所組成的 k 階行列式，稱為 A 的一個 k 階子式.),min(nmk 2k 子式子式：在 mn 階的矩陣A中，若0rD 有某個r階子式 ；01rD 所有的r+1階子式 (如果存在的話)；則稱r為A的秩.rArank記做 . 秩秩: rankA是矩陣A中不為0子式的最高階數(shù) 矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩的性質(zhì)；),min(rank. 1nmA；時，AArank)rank(0. 2kk；AArankrank

2、. 3T0. 4rD中某個A0. 51中所有rDA；rArank；rArank 6. rank()minrank ,rank ；ABABrank=rankAABB若 可逆，（）；7. m,=0rank +ranknn ln若，則；ABABAB8. *n,rank= 1,1,0,1.ranknranknranknAAAA2. 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 定義定義： 對矩陣進行的如下三種變換 對調(diào)兩行(列)； 以數(shù) 乘以某一行(列)的所有元素；0k 某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列) 對應元素上；稱為矩陣的初等行(列)變換.對調(diào)數(shù)乘倍加jijiccrr,)(, )(jjiikckckr

3、krjijikcckrr, 初等變換的性質(zhì)初等變換的性質(zhì) 每一個初等變換都有逆變換，且其逆變換是同 等類型的初等變換。記做 . .nmnm BA初等變換不改變矩陣的秩 初等變換可將矩陣化簡的形狀初等變換可將矩陣化簡的形狀 行階梯形行階梯形000056401211規(guī)律規(guī)律 只經(jīng)過行變換；只經(jīng)過行變換； 每一階對應一行，有多少階對應多少非零行，即秩；每一階對應一行，有多少階對應多少非零行，即秩； 每一豎線右邊的數(shù)不為每一豎線右邊的數(shù)不為0 0； 不唯一。不唯一。 下面的行總比上面的行非零元素少，且都在后面；下面的行總比上面的行非零元素少，且都在后面；一般用來求秩 行最簡形行最簡形規(guī)律規(guī)律 只經(jīng)過行

4、變換； 每一階對應非零行，豎線右邊為1，1所在列 其余元素為0； 唯一.0000452310412101求方程組和逆矩陣都要化簡到這種形式 等價標準形等價標準形000000100001一般用來證明 初等變換的應用初等變換的應用 求秩 求方程組 求逆矩陣 求極大無關組 初等變換求方程組的結(jié)論初等變換求方程組的結(jié)論 對齊次線性方程組對齊次線性方程組0 xAnm 1 .2.3.min( , )ranknranknmnrankm nnAAAA有非零解有無窮多組解有非零解有無窮多組解只有零解（注： 未必為方陣）只有零解（注： 未必為方陣）當時有非零解（）當時有非零解（） ,m nrankrankAx =

5、 b,AA對對設設秩秩()1.2.rankrankrankrankrankrankranknrankrankrankn必有線性方程組無解線性方程組有解且 (1)有唯一解(2)有無窮多組解AAAAAAAAAA(未知數(shù)個數(shù)未知數(shù)個數(shù))(未知數(shù)個數(shù)未知數(shù)個數(shù))3. 當當rankA = m, m n 時，方程組一定有解時，方程組一定有解3. 初等方陣初等方陣 定義定義：單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等方陣. 初等方陣的性質(zhì)初等方陣的性質(zhì)初等方陣都可逆，其逆矩陣是同等類型的初等方陣 初等方陣的應用初等方陣的應用箭頭變等號箭頭變等號對對nmA 施行一次初等行變換，等于A左乘相應的m階 初等

6、方陣； 施行一次初等列變換，等于A右乘相應的n階 初等方陣；4. 等價矩陣的定義等價矩陣的定義 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱 矩陣A與B等價.nm 階矩陣 存在 m 階可逆方陣 P 和 n 階可逆方陣 Q ，使得 . BABPAQ 記做 或 .BA BA5. 關于方陣可逆的等價命題關于方陣可逆的等價命題 設設A 為為 n 階方陣，則階方陣，則 逆否命題成立逆否命題成立 A 可逆可逆 det A 0 A 不可逆不可逆 det A0 A 非奇異非奇異 A 奇異奇異 A 滿秩滿秩 rankA n 齊次方程組齊次方程組 Ax = 0 只有零解只有零解 有非零解有非零解 A 的行的行(列

7、列)向量組線性無關向量組線性無關 線性相關線性相關 A 與與 En 等價等價 與與En不等價不等價 A 經(jīng)有限次行經(jīng)有限次行(列列)初等變換初等變換 可化為單位矩陣可化為單位矩陣 A 可表為若干初等方陣乘積可表為若干初等方陣乘積 A 沒有零特征值沒有零特征值 有零特征值有零特征值 A* 可逆可逆 A* 不可逆不可逆 AT 可逆可逆 AT 不可逆不可逆 重點與難點解讀 重點與難點重點與難點： 初等變換是矩陣的重要變換之一，在線性代初等變換是矩陣的重要變換之一，在線性代數(shù)運算中用的最多數(shù)運算中用的最多要求要求熟練掌握初等變換，熟練掌握初等變換， 并能用它來解決相關問題并能用它來解決相關問題 矩陣的

8、秩是一個重要概念常與向量組的秩、矩陣的秩是一個重要概念常與向量組的秩、 線性方程組的解、方陣對角化等問題揉和在線性方程組的解、方陣對角化等問題揉和在 一起綜合考察一起綜合考察 本章大題題型本章大題題型：含參數(shù)線性方程組解的討論：含參數(shù)線性方程組解的討論 典型題目1. 求矩陣的秩解 方法方法：初等變換化為行階梯形，有幾個非零行即為秩 443112112013A 443112112013A21rr 443120131211123rr 443120131211 44315640121113rr 56405640121123rr 000056401211B 矩陣 B 即為行階梯形，B 里面有兩個非零行

9、，所以B 的秩為2由初等變換不改變矩陣的秩，得矩陣 A 的秩為22. 初等變換求解方程組 5521212432143214321xxxxxxxxxxxx解 對非齊次線性方程組，需要考慮它的增廣矩陣 551211112111121A12rr 13rr 440002200011121)2(2r234rr 00000110001112121rr 00000110001112100000110000012142)()(AArr所以此時方程組有無窮多組解，其同解方程組為124321xxxx記2312kxkx得方程組的通解為1242312211xkxkxkkx（其中 為任意常數(shù)）21,kk3. 初等變換求

10、逆矩陣011012111例：求 的逆矩陣解100011010012001111EA方法：將 A 和 E 并排寫到一起，對其整體進行初等行變換，當把左邊變成單位陣時，右邊的即為1A100011010012001111EA122rr 13rr 101120012210001111232rr 21rr 123300012210011101)3(3r3132110001221001110131rr 322rr 313232313131110000100001) 1(2r3132323131311100001000013132323131311100A所以1233000122100111014. 含參數(shù)

11、線性方程組解的討論解已知方程組33323321321321xxxxxxxxx(1)討論 取何值時，方程組有解？(2)在有無窮多組解時，求其通解方法：對系數(shù)矩陣為方陣的含參數(shù)方程組，先討論其系數(shù)行列式)3(23311123D計算得由克拉默法則知0)3(23311123D即 且 時，方程組有唯一解03當 時，0303301100123A300001101011此時 ， ，2)(Ar3)(Ar)()(AArr方程組無解當 時，3333331133123A000002101101此時 （未知數(shù)個數(shù)），方程組有無窮多解32)()(AArr同解方程組為323121xxxx記 ，則得通解kx 312100121321321kxxxkxkxkx（其中 k 為任意常數(shù)）又例設 ， ，討論 取何值時方程組111111111A21bbAx 有解，并在有解時求其通解解 分析：這個方程組的系數(shù)矩陣不是方陣，不能用克拉默法則，應直接對其增廣矩陣進行初等變換21111111111A21111111111A31rr 1111111111212rr 13rr3222111100110111此時不能直接除以 ，需要討論 是否等于11當 時1) 1(2r)1 (3r2211110011011123rr 21rr 2221120001101101此時 （未知數(shù)個數(shù)），方程組有無窮多解43)()