矩陣的初等變換與線性方程組

1、 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 本章的重點(diǎn)是研究矩陣更深層的性質(zhì)秩，它是矩陣?yán)碚摰暮诵母拍睿怯傻聡?guó)數(shù)學(xué)家佛洛本紐斯在1879年首先提出的。為了研究矩陣秩的概念，首先要介紹一個(gè)重要的工具矩陣的初等變換概念，它不僅解決了求矩陣秩的問(wèn)題，還是幫助求解線性方程組、求逆陣、判定向量組相關(guān)性等的有力工具，然后我們將應(yīng)用秩理論解決方程組的求解問(wèn)題，最后還要將初等變換概念在理論層次上加以提煉，即介紹初等方陣的概念。 §1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣之間的一種十分重要的變換，是從實(shí)際問(wèn)題的解決中抽象得到的。一、引例求解線性方程組 (1)«-2 ¸ 2+5-3-2-3

2、 « ¸ 2(1) 問(wèn)題10 共采取了幾種變換將(1)變?yōu)榈模?（三種：() 交換方程的次序；() 用數(shù)乘某方程； () 將某方程的k倍加到另一方程上。且這三種變換都可以看成是只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行的）20 在這三種變換下，(1)與是否同解？即這三種變換是否都可逆？ （都可逆，即同解變換）30 采取這三種變換的目的是為了將(1)變?yōu)槭裁葱螤钜员愕玫浇猓?（階梯形。其寓意：方程表明方程組有一個(gè)多余的方程； 將代入得，表明(或)可任意取值，稱之為自由未知量，其余的未知量稱為非自由未知量，當(dāng)某層的階寬多于一個(gè)未知量時(shí)，就必有自由未知量，一般我們?nèi)∶繉与A梯的第一個(gè)未知量為非自

3、由未知量，由于一旦確定下自由未知量，任給自由未知量一組數(shù)值，就可得到方程組的一個(gè)解，所以我們特別重視自由未知量）40 由于(1)與其增廣矩陣 構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，那這三種變換在矩陣中對(duì)應(yīng)的效果是什么？ « ¸ 2-2-3 變換前后對(duì)應(yīng)的矩陣一般不相等«-2 ¸ 2+5-3 .對(duì)于矩陣的行只作了三種變換，也就是說(shuō)，為解線性方程組對(duì)方程組作變換，就相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣的行作同類變換，下面給出這三種對(duì)矩陣的行作的變換在矩陣中的正式定義：二、初等變換1、定義1 以下三種變換稱為矩陣的初等行變換：() 對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)i、j兩行記作： ）；() 以數(shù)k ¹ 0乘某

4、行中的所有元素（第i行乘k記作：）；() 將某行所有元素的倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去（將第j行的k倍加到第i行記作：）。將定義中的 “行”換成“列”，即可得到矩陣初等列變換的定義，將記號(hào)中的r換成c就是初等列變換的記號(hào)。初等行、列變換通稱初等變換。注 顯然，三種初等變換都是可逆的，且其逆變換仍為同種的初等變換：的逆變換為； 的逆變換為； 的逆變換為. 注意矩陣的初等變換與行列式的性質(zhì)運(yùn)算從定義到記號(hào)雖然十分相似，但又根本不同，千萬(wàn)不能混淆。再次強(qiáng)調(diào)：經(jīng)行列式運(yùn)算得到的行列式與原行列式是相等的，但經(jīng)初等變換得到的矩陣與變換前的矩陣千萬(wàn)不能用等號(hào)連接，它們是不相等的，我們稱它們是等價(jià):定義2 若對(duì)矩

5、陣A實(shí)行有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記作AB .類似于無(wú)窮小的等價(jià)概念，我們稱A與B為等價(jià)是因?yàn)樗_實(shí)是一種等價(jià)關(guān)系，它具有： 自反性 AA； （取k = 1，作乘數(shù)初等變換即可） 對(duì)稱性 AB Þ BA； （初等變換都是可逆的） 傳遞性 AB，BC Þ AC . （將兩次的初等變換合并到一起對(duì)A作即可） 初等變換是線性代數(shù)的一個(gè)重要工具，首先利用初等變換可以將任一矩陣化為形如的矩陣，我們形象地稱之為行梯形陣，其特征：可畫一階梯線，線下方的元素均為0，每層臺(tái)階的高度只有一行，階數(shù)即為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后的第一個(gè)元素是一非零數(shù)，它也是非零行的第一個(gè)非

6、零數(shù)。r1 « r2r3 ¸ 2r2-r3r3-2r1r4-3r1例如 x1 x2 x3 x4r1-r2r2-r3r3«r4r4-2r3r2 ¸ 2r3+5r2r4-3r2 .注 是一個(gè)更簡(jiǎn)單的行梯形陣，其特征：非零行的第一個(gè)非0元素均為1，且這個(gè)1所在的列中其它元素均為0。用方程組的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)這個(gè)特征：只有一個(gè)元素是1，其余元素均為0的列恰為非自由未知量所對(duì)應(yīng)的列。它對(duì)應(yīng)的同解方程組是 Û 這個(gè)結(jié)果正是將回代入對(duì)應(yīng)的方程組時(shí)所求得的解，即對(duì)應(yīng)的方程組就是回代結(jié)果，即取為自由變量，并令，即得 x =，其中c為任意常數(shù)。這表明得到矩陣就等于得到了方

7、程組的解，鑒于形式的重要性，我們給它起個(gè)名稱行最簡(jiǎn)形。也就是說(shuō)：解一個(gè)線性方程組，只需將它對(duì)應(yīng)的增廣矩陣B經(jīng)初等行變換變成其行最簡(jiǎn)形即可得到方程組的解。 有無(wú)自由未知量決定于非零行的階寬，對(duì)一個(gè)階寬就多一個(gè)自由未知量。不看最后的常數(shù)列時(shí)，階加寬一列，其階數(shù)就少一層，故：自由未知量的個(gè)數(shù) = 未知量個(gè)數(shù) - 非零行行數(shù) =nr ！ 由于方程組與其增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，故自然地猜想：任何一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形式是唯一的，從而行階梯形中非零行的行數(shù)也必唯一，從而自由未知量的個(gè)數(shù)也必唯一。2、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形如果對(duì)行最簡(jiǎn)行再進(jìn)行初等列變換，可將矩陣變成更簡(jiǎn)單的以下形式：c3c4c4+c1+c2c5-4c1-3

8、c2+3c3 .我們稱F是矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形?？梢宰C明，一般地任一m´n矩陣A都可以經(jīng)初等變(行變換和列變換)變成標(biāo)準(zhǔn)形 A 其中r就是A行階梯形的非零行的行數(shù)。注 任一個(gè)矩陣都有標(biāo)準(zhǔn)形，且若行階梯形的非零行的行數(shù)r是唯一的話，標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。 由于進(jìn)行了列變換，增廣矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與方程組的解之間沒(méi)有關(guān)系。 容易證明一個(gè)重要結(jié)論：矩陣AB Û A與B的標(biāo)準(zhǔn)形相同(BAF，且等價(jià)具傳遞性)。所有與A等價(jià)的矩陣組成的集合稱為是一個(gè)等價(jià)類，A的標(biāo)準(zhǔn)形F就是這個(gè)集合里最簡(jiǎn)單的那個(gè)矩陣，可視為是這個(gè)等價(jià)類的代表元。小結(jié) 本節(jié)特點(diǎn)概念多，內(nèi)涵信息多。主要概念初等變換，但小概念多自由和非自由未

9、知量，行階梯形，行階梯形的非零行的行數(shù)，行最簡(jiǎn)形，標(biāo)準(zhǔn)形，等價(jià)。清楚這些概念與方程組的關(guān)系對(duì)下面的學(xué)習(xí)是十分重要的。比如：數(shù)r與行階梯形的非零行的行數(shù)，與自由未知量的個(gè)數(shù)之間應(yīng)為何關(guān)系？ §2 矩陣的秩上節(jié)我們猜測(cè)：矩陣經(jīng)初等變換化為行階梯形時(shí)，其非零的行數(shù)r是唯一確定的，且這個(gè)行數(shù)r與自由未知量的個(gè)數(shù)有關(guān)：自由未知量的個(gè)數(shù) = 變量個(gè)數(shù)n r. 由此可見(jiàn)，r是矩陣的一個(gè)很重要的數(shù)字特征，實(shí)際上將其抽象出來(lái)就是矩陣秩的概念。但非零行數(shù)的唯一性未經(jīng)證明，故不能直接從行階梯形的非零行數(shù)來(lái)抽象矩陣秩的概念，我們從另一個(gè)角度建立秩的概念，然后再溝通矩陣的秩與其行階梯形非零行數(shù)的關(guān)系。為此先引

10、入1、k 階子式 定義2 在m´n矩陣A中，任取k行與k列()，位于這些行列交叉處的這k2個(gè)元素，按原位置次序構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣的k階子式。例如， ， 得其3階子式： .注 m´n矩陣A共有個(gè)k階子式。2、秩的定義及其求法定義3 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不為0的r階子式D，且所有的r+1階子式(若存在的話)均為0，則稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A). 并規(guī)定R(O)=0.注 顯然，矩陣A的秩就是A所有非零子式的最高階數(shù)。只要A不是零陣，就有R(A)> 0. 并且秩有以下基本性質(zhì): R(A)minm,n 若有一個(gè)r階子式不為0，則R(A)

11、r； 若所有的r+1階子式都等于0，則R(A)r； RR(A).例1 求矩陣A與B的秩，其中A， B.解 A有2階子式，且A只有一個(gè)3階子式，即， R(A) = 2.B有3階子式，由于B的第4行元素均為0，故B的4階子式均為0，R(B) = 3.注 若n階方陣的行列式，則A的最高階非零子式就是，所以R(A) = n，故稱A為滿秩矩陣；若，則稱A為降秩矩陣。 當(dāng)矩陣的行、列數(shù)都較高時(shí)，用定義求秩是困難的，定義主要具有理論價(jià)值。 B的秩較好求是因?yàn)樗且粋€(gè)行階梯形陣，顯然行階梯形陣的最高階非零子式就是其非零行的第一個(gè)非零數(shù)所在的行與列所構(gòu)成的子式，即 階梯形陣的秩就等于其非零的行數(shù)！自然的想法：能

12、否將矩陣化為行階梯形陣來(lái)求其秩？即問(wèn)題是等價(jià)矩陣的秩是否相等？下面的定理給出了回答：定理1 若AB，則R(A)=R(B)，即初等變換不改變矩陣的秩。證 (分析：只需證在一次初等變換下：R(A)R (B)且R(A)R(B).)設(shè)R(A)= r，且A的某個(gè)r階子式Dr ¹ 0. 因?yàn)锳B，故A可經(jīng)初等變換變?yōu)锽，又RR(A)，所以可僅就行變換的情形給出證明：(1) 先證經(jīng)一次初等行變換后，R(B)R(A)= r：ri ´ kri rj當(dāng)A B 或A B時(shí)，則B中與D r 相對(duì)應(yīng)的子式必滿足或，或，從而總有 Þ R(B)r；ri+krj當(dāng)A B時(shí)， 若Dr不含第i行，或

13、同時(shí)含第i行和第j行，則0，所以R(B)r； 若Dr中含第i行但不含第j行，則有 若0，則0ÞR(B)r；若0，則就是A的不含第i行的r階子式，由知R(B)r，綜合以上知，經(jīng)一次初等行變換后R(B)R(A).(2) 再證經(jīng)一次初等行變換后R(B)r：因?yàn)槌醯刃凶儞Q均可逆，再由(1)的證明知：R(B)R(A)；綜合以上知經(jīng)有限次初等行變化后，R(A)= R(B). 注 由于初等變換不改變矩陣的秩，故我們可用初等行變換將A化為行梯形陣，即得其秩例2 設(shè) ，求R(A)，并求A的一個(gè)最高階非零子式。r4-r3r3-3r2r4-4r2r1r4r2-r4r3-2r1r4-3r1解 A ，由于A的

14、行階梯形有3個(gè)非零行，所以R(A)= 3 ；由上知，A的最高階非零子是3階的，故只需找A的一個(gè)不為零的三階子式。又A的行階梯形有一個(gè)最高階非零子式：，與它相對(duì)應(yīng)的是A的1、2和4三列，只需在這三列構(gòu)成的矩陣這并不是A的最高階非零子式中找個(gè)三階的非零子式。因?yàn)?階子式：，所以它就是A的最高階非零子式。例3 設(shè)，求矩陣A及B的秩。r2 ¸ 2r3+5r2r4-3r2r2÷2r3-r2r4+3r2r2 -2r1r3+2r1r4-3r1解 Þ R(A)= 2，R(B)= 3 .注 上面只作了初等行變換，故它們對(duì)應(yīng)的方程組是同解方程組，而B(niǎo)的行階梯形所對(duì)應(yīng)的方程組含有矛盾方

15、程 (矩陣第3行所對(duì)應(yīng)的方程)，所以B對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組無(wú)解，問(wèn)題個(gè)關(guān)鍵是R(A)= 2 ¹ R(B)= 3造成的。 注意，事實(shí)上R(A) ¹ R(B) Þ R(A)< R(B) Þ 在B的行最簡(jiǎn)形陣中的最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)出現(xiàn)矛盾方程0 =1Þ 方程組無(wú)解。這個(gè)具體問(wèn)題不禁讓我們猜想：一個(gè)線性方程組有沒(méi)有解應(yīng)與它系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的關(guān)系有關(guān)？！這是我們下面一節(jié)中專門要討論的問(wèn)題。 §3 線性方程組的解關(guān)于方程組我們的問(wèn)題是：非齊次線性方程組什么時(shí)候有解？什么時(shí)候無(wú)解？有解的時(shí)候有多少？即唯一不唯一？不唯一時(shí)有多少？有解時(shí)

16、如何求出解來(lái)？現(xiàn)在我們將以矩陣的秩為工具給出解的判定定理。從最簡(jiǎn)單的情形入手。定理2 n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是R (A) < n. 證 “Þ”： 若方程組有非零解，往證R (A) < n. 用反證法。設(shè)R (A) = n Þ 在A中有一個(gè)n階非零子式Dn Þ Dn對(duì)應(yīng)的線性方程組只有零解，這與原方程組有非零解矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，所以R (A) < n .“Ü”: 若R (A) = r < n Þ A的行階梯形矩陣只有r個(gè)非零行 Þ 方程組有n-r個(gè)自由未知量，任取一個(gè)自由未知量為1，其余的自由未

17、知量全取為0所得到的那個(gè)解，就是方程組的非零解。 注 克萊姆法則(定理5 /) 齊次線性方程組有非零解的必要條件是，即R (A) = n. 顯然克萊姆法則是定理2的特例的不完全敘述，即定理2涵蓋了克萊姆法則，定理2的特例：還與什么等價(jià)？齊次線性方程組 有非零解 Û R (A) < n Û A是降秩陣 Û Û ？這就圓滿解決了第一章最后一節(jié)的一個(gè)遺留問(wèn)題定理5/是充分必要條件。 定理5/的逆否命題：齊次線性方程組 有唯一零解 Û R (A) = n Û A是滿秩陣 Û Û A可逆 Û ？.定理3 n元

18、齊次線性方程組有解的充分必要條件是R (A) = R (B)，其中. 證 “Þ”： 若方程組有非零解，往證R (A) = R (B) .用反證法。設(shè)R (A) < R (B) Þ B的行階梯形陣的最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程：0 = 1，這與原方程組有解矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，所以R (A) = R (B).“Ü”: 若R (A) = R (B)，往證方程組有解。設(shè)R (A) = R (B) = r (rn)，則B的行階梯形矩陣中含有r個(gè)非零行，將這r個(gè)非零行的第一個(gè)元所對(duì)應(yīng)的個(gè)未知量作為非自由未知量，其余n-r個(gè)作為自由未知量，并取這n - r個(gè)自由未知量為0，即

19、得方程組的一個(gè)解。 注 顯然定理2是定理3的特例，定理3也可以解釋齊次線性方程組必有解 因?yàn)镽 (A) = R (B) 永遠(yuǎn)成立。 因?yàn)樽杂晌粗康膫€(gè)數(shù)為 n-r，所以當(dāng)n = r時(shí)方程組沒(méi)有自由未知量，即R (A) = R (B)= n 時(shí)方程組沒(méi)有自由未知量，即只有唯一解； 當(dāng)R (A) = R (B) < n時(shí)，方程組有n-r個(gè)自由未知量，令它們分別等于，可得含n-r個(gè)參數(shù)的解，顯然自由未知量可以任意取值，故方程組就有無(wú)窮多解，且含n-r個(gè)參數(shù)的解可以表示方程組的任一個(gè)解，從而稱之為通解。 綜合定理2、3及注，可得 有解判別定理：線性方程組有解 Û R (A) = R (

20、B)，且有解判定定理蘊(yùn)含了解題的思路，小結(jié)求解線性方程組的程序如下：選取自由未知量寫出通解B行最簡(jiǎn)形行階梯形 初等行變換 R (A) = R (B) r < n 齊次時(shí)可省去第一步R (A) < R (B) 秩r = n 唯一解無(wú)解非零行中除第一個(gè)非零元外對(duì)應(yīng)的未知量 例4 求解齊次線性方程組 . r1-2r2r3-r2r2¸（-3）r2-2r1r3-r1解 ，是由兩個(gè)自由未知量分別取1,0和0,1所得， 從而都是解，是兩個(gè)特解，即通解可由特解的線性組合得到得 ， 取自由變量為，得 x =，其中為任意常數(shù)。注 這使我們聯(lián)想起在微分方程中高階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)有十分類

21、似的結(jié)論，希望它也是線性方程組解結(jié)構(gòu)的一般性結(jié)論。例5 求解非齊次線性方程組 .r3- r2r2-3r1r3-2r1解 ，因?yàn)镽(A)= 2，R (B) =3不相等，所以方程組無(wú)解。例6 求解非齊次線性方程組 .r2´r1-r2r2-3r1r3-r1 r3+r2解 ，由兩部分構(gòu)成，前面是對(duì)應(yīng)齊次方程組解的線性組合，且這兩個(gè)解也是自由未知量分別取1,0和0,1所得，從而是兩個(gè)特解解，即非齊次的通解可表示為對(duì)應(yīng)齊次的通解和它的一個(gè)特解x =，其中為任意常數(shù)。注 這使我們?cè)俅温?lián)想起在微分方程中高階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)也有十分類似的結(jié)論，希望它也是線性方程組解結(jié)構(gòu)的一般性結(jié)論。例7 設(shè)

22、有線性方程組 ， 問(wèn)取何值時(shí)，此方程組 (1) 有唯一解； (2) 無(wú)解； (3) 有無(wú)限多解？ 并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解。r1r3解 r3-+r2r2-r1r3-(1+l)r1 ,(1) l ¹ 0且l ¹ 3時(shí)，R (A) = R (B) = 3，所以方程組有唯一解；(2) l = 0時(shí)，R (A) = 1，R(B) = 2，方程組無(wú)解；(3) l = -3時(shí)，方程組有無(wú)限多解，直接將l = -3代入B的行階梯形中，得 B Þ R).注 討論含參數(shù)l 的線性方程組問(wèn)題切忌作初等行變換 、 和，因?yàn)榭赡転榱阋蚴剑绮坏靡逊亲鬟@種變換，則應(yīng)分別對(duì)和兩種情形進(jìn)行討論

23、。 §4 初等矩陣一、 初等陣的概念引例 設(shè)A，E(1,2)，實(shí)際上，E(1,2)是由單位陣E3交換1、2兩行所得，則有相當(dāng)于直接對(duì)矩陣A作交換1、2兩行的變換相當(dāng)于直接對(duì)矩陣A作交換1、2兩行的變換 鑒于這種由單位陣作一次初等變換而得到的矩陣的重要性，為能深入研究，給出它的數(shù)學(xué)定義：定義4 對(duì)單位陣E進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣稱為初等矩陣。三類初等變換就分別得到的三種初等矩陣，分別記為：1、對(duì)調(diào)第i，j兩行或第i，j兩列，記為 E(i, j) 2、以數(shù)k ¹0乘第i行或第i列，記為 E( i (k)3、某行或列的k倍加到另一行或列上去，記為 E(i j (k) )注 E

24、(i, j) E( i (k)既可以看成是對(duì)行作一次變換所得，也可以看成是對(duì)列作一次同類變換所得，所以初等陣有了第1條基本性質(zhì)： 10 初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩陣。二、 初等矩陣的性質(zhì)定理4 設(shè)矩陣A是一個(gè)m´ n陣，則(1) 對(duì)A實(shí)施一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；(2) 對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。即 行變換 Û 左乘初等矩陣; 列變換 Û 右乘初等矩陣。注 由于初等陣對(duì)應(yīng)初等變換，根據(jù)初等變換的性質(zhì)，即有初等陣的第2條基本性質(zhì)：20 初等矩陣都是可逆的且其逆陣仍為同類型的初等矩陣。例1 求矩

25、陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，并用初等矩陣表示所作的初等變換。r3-r2r2r3r3-r1解 A ，這三個(gè)變換對(duì)應(yīng)的初等陣分別為：Q1 ， Q2 ， Q3 ，注 由定理4知， Q 3 Q2 Q1 A = E Þ . 這似乎表明初等方陣與可逆陣有關(guān)聯(lián)，事實(shí)上我們有結(jié)論：定理5 方陣A可逆的充分必要條件是存在有限多個(gè)初等方陣，使得 .證 “Þ”： 若A可逆 Þ A E Þ E可經(jīng)有限次初等變換變?yōu)锳，不妨設(shè)為 l次Þ 存在l個(gè)初等方陣，使得 .“Ü”： 若能表示成 l個(gè)初等方陣的乘積 ，由初等方陣的可逆性和乘積陣的可逆性知，A是可逆的。 注 再添一個(gè)可逆

26、的充要條件。 由定理4和定理5立即可得一個(gè)具有重要的推論：推論 m´ n矩陣A B的充要條件是：存在m階可逆矩陣及n階可逆矩陣，使得PAQ = B.注 A B還有哪些等價(jià)條件？ 不算定義看能否再找4個(gè)？ 初等陣的理論價(jià)值在這里凸顯出來(lái)了，用它可建立起來(lái)一個(gè)等價(jià)矩陣的等式表達(dá)式，這為今后許多理論問(wèn)題的研究搭起了一座橋梁。一些涉及到初等變換的問(wèn)題不容易說(shuō)清楚，或說(shuō)起來(lái)很羅嗦的，現(xiàn)在可以用等式的建立來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)了。三、初等方陣的應(yīng)用若在矩陣得乘積運(yùn)算中有初等陣，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，例如求乘積：.利用定理5可以可以得到第三種，也是最簡(jiǎn)便實(shí)用的求逆矩陣的方法，現(xiàn)推導(dǎo)如下：設(shè)A可逆，由定理5知 

27、2; ， (*)上式表明作行初等變換把A變成單位陣E的同時(shí)可以將E變成，這實(shí)際上給出了用初等變換求逆陣的思路 構(gòu)造一個(gè)程序，將A變成單位陣E的這一過(guò)程中，同時(shí)讓所作的這些行變換同步地作用到E上，從而同步地得到，即想法子將(*)式合成一個(gè)等式，我們構(gòu)造等式： . 例8 設(shè)A，求. 解 ， .例8 求矩陣X，使，其中A，. 分析 若A可逆，則，即將AX變?yōu)閄所作的初等行變換，就是將A變?yōu)镋的初等變換且這些變換也是將B變?yōu)锽 = X，即可將求與求X放在同步進(jìn)行，具體做法如下：解 Þ A可逆，且.注 逆陣的應(yīng)用求解矩陣方程:求解矩陣方程， ， 可作初等行變換使，即得； 求解方程，可作初等列變換使，或行變換使，即得. 2007年11月16日至18日，有幸參加了由李尚志教授主講的國(guó)家精品課程線性代數(shù)（非數(shù)學(xué)專業(yè)）培訓(xùn)班，使我受益匪淺，在培訓(xùn)中，我見(jiàn)識(shí)了一種全新的教學(xué)理念。李老師的“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”“化抽象為自然”“餓了再吃”等教學(xué)理念很值得我學(xué)習(xí)。作為剛參加工作的