圖像變換(三)

1、第十三講 圖像變換(三)【目錄】一、快速傅立葉變換11、推導(dǎo)12、舉例23、分析5二、余弦變換61、定義62、命令63、基礎(chǔ)函數(shù)84、應(yīng)用9【正文】一、快速傅立葉變換1、推導(dǎo)二維的傅立葉變換可以用一維的傅立葉變換來實現(xiàn)。所以下面所說的快速傅立葉變換（FFT）是指一維的快速傅立葉變換。一維的離散傅立葉變換（DFT）表達(dá)式為：令，則：假定，則：對于，用來表示時，有：所以有：因為有：所以：定義：第一項：第二項：則：，其中：另外：要求個數(shù)的傅立葉變換，只要先求出其中個偶數(shù)項的傅立葉變換值和個奇數(shù)項的傅立葉變換值，用上述兩個公式就能得到整個的變換值。2、舉例下面以為例，分解：令：則：其中。因為有：所以我

2、們只要計算就可以得到8個傅立葉變化值了。如下圖所示。Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)F0(0)F0(1)F0(2)F0(3)F(0)F(1)F(2)F(3)F(5)F(6)F(7)F(4)其中每一組表示一個蝶形運算。Fe(U)、Fo(U)可進(jìn)一步分成兩部分。直至分到兩個數(shù)的傅立葉變換。f0(0)f0(4)f0(2)f0(6)f0(1)f0(5)f0(3)f0(7)f1(0)f1(4)f1(2)f1(6)f1(1)f1(5)f1(3)f1(7)f2(0)f2(2)f2(4)f2(6)f2(1)f2(3)f2(5)f2(7)F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)對

3、于兩個數(shù)的傅立葉變換，可直接由變換公式得：【例】f0=14 24 98 45 56 66 23 56;f1=zeros(1,8);f2=f1;F=f1;W4=exp(-j*2*pi/4);W8=exp(-j*2*pi/8);% N=2f1(1)=f0(1)+f0(5);f1(5)=f0(1)-f0(5);f1(3)=f0(3)+f0(7);f1(7)=f0(3)-f0(7);f1(2)=f0(2)+f0(6);f1(6)=f0(2)-f0(6);f1(4)=f0(4)+f0(8);f1(8)=f0(4)-f0(8);% N=4f2(1)=f1(1)+W40*f1(3);f2(5)=f1(1)-

4、W40*f1(3);f2(3)=f1(5)+W41*f1(7);f2(7)=f1(5)-W41*f1(7);f2(2)=f1(2)+W40*f1(4);f2(6)=f1(2)-W40*f1(4);f2(4)=f1(6)+W41*f1(8);f2(8)=f1(6)-W41*f1(8);% N=8F(1)=f2(1)+W80*f2(2);F(5)=f2(1)-W80*f2(2);F(2)=f2(3)+W81*f2(4);F(6)=f2(3)-W81*f2(4);F(3)=f2(5)+W82*f2(6);F(7)=f2(5)-W82*f2(6);F(4)=f2(7)+W83*f2(8);F(8)=f

5、2(7)-W83*f2(8);F',fft(f0)' ans = 382 -63.92 + 37.523i -51 - 11i -20.08 - 112.48i 0 -20.08 + 112.48i -51 + 11i -63.92 - 37.523ians = 382 -63.92 + 37.523i -51 - 11i -20.08 - 112.48i 0 -20.08 + 112.48i -51 + 11i -63.92 - 37.523i 3、分析DFT的運算量：乘法：8×4×8256N4加法：8×4×7N4-N2FFT的運算量：

6、共有3log2N次遞推，每次4N/2個蝶形，每個蝶形有一次乘法和兩次加法，所以乘法：N(log2N)/2加法：N(log2N)NDCTFFTNDCTFFT乘法加法乘法加法乘法加法乘法加法84096403212241282.68×1082.68×10844889616655366528032642564.30×1094.29×10910242048321.05×1061.05×106801605126.87×10106.87×101023044608641.68×1071.68×107192384

7、10241.10×10121.10×1012512010240輸入次序二進(jìn)制輸出次序二進(jìn)制0000000041001001201020106110301110014100510151013011611071117111二、余弦變換1、定義正變換：其中：，逆變換：2、命令(1) dct2dct2函數(shù)實現(xiàn)圖像的二維離散余弦變換，其語法為：F=dct2(f)【例】CLFf=imread('demo.jpg');f=im2double(f);F=dct2(f);subplot(121),imshow(f,);subplot(122),imshow(log(1+20*

8、abs(F),); 從例子可以看出，DCT變換具有能量集中的性質(zhì)，數(shù)據(jù)集中在左上角。(2) idct2idct2函數(shù)實現(xiàn)圖像的二維離散余弦逆變換，其語法為：F=idct2(f)【例】CLFf=imread('demo.jpg');F=dct2(f);F(abs(F)<50)=0;k=idct2(F);subplot(121),imshow(f,);subplot(122),imshow(k,); (3) dctmtxdctmtx函數(shù)返回DCT的變換矩陣，其語法為：G=dctmtx(n)這樣，DCT變換可以用F=G*f*GT來表示正變換，用F=GT*f*G來表示逆變換?！纠?/p>

9、】CLFf=imread('demo.jpg');f=im2double(f);G=dctmtx(512);F=G*f*G'subplot(121),imshow(f,);subplot(122),imshow(log(1+20*abs(F),); 3、基礎(chǔ)函數(shù)由DCT逆變換：可知，任一圖像可以分解成一組N×N基礎(chǔ)函數(shù)加權(quán)求和?；A(chǔ)函數(shù)表示為：【例】8×8矩陣的64個基礎(chǔ)函數(shù)CLF,G=zeros(8,8);for I=0:7, for J=0:7, for m=0:7, if m=0,am=sqrt(1/8);else,am=sqrt(2/8);e

10、nd for n=0:7, if n=0,an=sqrt(1/8);else,an=sqrt(2/8);end G(m+1,n+1)=am*an*cos(pi*(2*m+1)*I/16)*. cos(pi*(2*n+1)*J/16); end end subplot(8,8,I*8+J+1),imshow(G,); endend 圖中所示是對于一個8×8的矩陣，相對應(yīng)的64個基礎(chǔ)函數(shù)，該矩陣的DCT就是這64個基礎(chǔ)函數(shù)按F(u,v)系數(shù)線性疊加而成。從左上角開始，到右下角，頻率增長。4、應(yīng)用JPG數(shù)據(jù)壓縮算法中，將輸入圖像分解成8×8的圖像塊，然后對每個圖像塊進(jìn)行DCT變換，保留64個DCT系數(shù)部分，然后通過壓縮保存數(shù)據(jù)。還原時，進(jìn)行DCT逆變換重構(gòu)圖像?！纠縄1=im2double(imread('demo.jpg');T=dctmtx(8);B=blkproc(I1,8 8,'P1*x*P2',T,T');mask=1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0