三角函數(shù)恒等變換教材分析

1、北師大版必修四“三角函恒等變換”教材分析本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上。 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。由本章的章頭語(yǔ)所介紹的,三角恒等變換既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)三角恒等變換是實(shí)踐中經(jīng)常使用的工具在力學(xué)、物理、電氣工程、機(jī)械制造、圖像處理，及其他科學(xué)研究和工程實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)用到這些公式三角函數(shù)恒等變形的教學(xué)

2、內(nèi)容是在三角函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的，進(jìn)一步研究單角的三角函數(shù)之間以及單角的三角函數(shù)與復(fù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系他包括同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式、半角公式等經(jīng)驗(yàn)證明通過(guò)這一部分知識(shí)等教學(xué)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生等運(yùn)算能力、推理能力和邏輯思維能力起較大作用知識(shí)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的三角恒等變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式兩角差的余弦公式和（差）角公式倍角公式一、課程標(biāo)準(zhǔn)要求理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，掌握用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；理解以?xún)山遣畹挠嘞夜綄?dǎo)出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；能運(yùn)

3、用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀(guān)點(diǎn)去處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用二、教學(xué)目標(biāo)三角恒等變換作為三角的一個(gè)重要內(nèi)容，它是代數(shù)運(yùn)算的一個(gè)重要組成部分，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用1) 知識(shí)與技能2) 以上述課標(biāo)為準(zhǔn)進(jìn)行學(xué)習(xí)3) 過(guò)程與方法通過(guò)公式的推導(dǎo)，提高學(xué)生恒等變形能力和邏輯推理能力；通過(guò)公式的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法4) 情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)目標(biāo)使學(xué)生體會(huì)“聯(lián)想轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想；培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、敢于

4、探索、勇于置疑、嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度三、教學(xué)安排本章包含3節(jié)，教學(xué)時(shí)間約7課時(shí)，具體分配如下(僅供參考)：31同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(約2課時(shí)) 32 兩角和與差的三角函數(shù)(約2課時(shí))33 二倍角的正弦、余弦、正切(約2課時(shí))復(fù)習(xí)小結(jié) 約1課時(shí)四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)本章的重點(diǎn)分別為：同角三角函數(shù)的關(guān)系式；兩角和與差的正弦、余弦公式及其推導(dǎo)；以?xún)山呛偷恼摇⒂嘞液驼泄綖榛A(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本解題思想和步驟:2、教學(xué)難點(diǎn)本章的難點(diǎn)為三角公式的靈活運(yùn)用五、內(nèi)容分析三角恒等變換的學(xué)習(xí)以代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，和其他數(shù)學(xué)變換一樣，它

5、包括變換的對(duì)象，變換的目標(biāo)，以及變換的依據(jù)和方法等要素。本章變換的對(duì)象要由只含一個(gè)角的三角函數(shù)式拓展為包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式，因此建立起一套包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式變換的公式就是本章的首要任務(wù)，也是3.1節(jié)的中心內(nèi)容一.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系a) 教學(xué)目標(biāo):知識(shí)與技能:能借助單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn),推出同一個(gè)角的正弦、余弦和正切之間的關(guān)系，理解兩個(gè)基本關(guān)系式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用過(guò)程與方法培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想情感與態(tài)度通過(guò)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn).b) 本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.難點(diǎn):公式在解題中的靈活應(yīng)用和對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)

6、.c) 本節(jié)流程d) 習(xí)題分析例1. 一題多變，讓學(xué)生發(fā)散思維，進(jìn)一步理解基本關(guān)系式。以分層次的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的思維層層深入，特別是變式，滲透方程組的思想,使學(xué)生的思維得到升華。例2. 套用公式,加深角的正弦、余弦和正切之間的關(guān)系的理解.例3. )熟悉變形公式的使用,證明的方法思想化繁為簡(jiǎn)證明要有方向感目標(biāo)意識(shí)二 、兩角和與差的三角函數(shù)2 .1兩角差的余弦函數(shù)a) 教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：通過(guò)讓學(xué)生猜想、探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)"兩角差的余弦公式"；了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)變式訓(xùn)練，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。能

7、力目標(biāo)：運(yùn)用兩角差的余弦公式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、證明；體會(huì)化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用；提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。b) 本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.難點(diǎn):公式在解題中的靈活應(yīng)用和對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)c) 教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).2.過(guò)程與方法通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境：通過(guò)向量的手段證明兩角差的余弦

8、公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量作為一種有效手段的同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過(guò)誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3.情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.d) 教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 兩角差的余弦公式的推導(dǎo).e) 例題分析例題1的設(shè)計(jì)初見(jiàn)給出學(xué)生一種解決問(wèn)題的無(wú)厘頭,在老師的引導(dǎo)下,更加加大學(xué)生的探索,對(duì)未知數(shù)據(jù)的分析和觀(guān)察動(dòng)手實(shí)踐能力,在一定程度上是對(duì)所學(xué)的兩角和與差的正余弦公式的理解和應(yīng)用.例題2的設(shè)計(jì)使得知識(shí)的理解與應(yīng)用更深一

9、步,在理解掌握了三角函數(shù)值與角度范圍要求的前提下,判斷出所給出正余弦在角度范圍所對(duì)應(yīng)的正余弦值,此處要求學(xué)生有對(duì)前知識(shí)的充分建構(gòu),有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性.課后思考交流cos=cos-cos cos=cos+cos以上兩式在學(xué)習(xí)本節(jié)后是容易出現(xiàn)的問(wèn)題,針對(duì)此現(xiàn)象,為加深學(xué)生對(duì)兩角和差的余弦公式的理解,讓他們就此問(wèn)題做深入討論,看在何時(shí)以上兩個(gè)錯(cuò)誤公式能夠成立,何時(shí)是不成立的,由此深入理解,完全掌握本節(jié)內(nèi)容2.3兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；（3）

10、揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（4）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).2、過(guò)程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)各個(gè)公式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 公式的推導(dǎo).、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過(guò)通過(guò)類(lèi)比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過(guò)程。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)

11、用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)、例題分析例3 要求學(xué)生熟練掌握公式，正切及恰當(dāng)?shù)氖褂脙山呛团c差的正切公式，從第二個(gè)小題可以看出還要求學(xué)生注意兩個(gè)角，是有一定的取值范圍的，而并非所有的角都可以使用這個(gè)公式。例4要求學(xué)生巧妙的運(yùn)用公式，將會(huì)得到意想不到的效果。如題中所給的1，巧妙的換成了tan45.同時(shí)要求學(xué)生具有逆向思維有這樣一種形式的式子我們也可以求一個(gè)角的正切值。例5則是在前兩個(gè)例題的基礎(chǔ)之上有了對(duì)這個(gè)公式有了更深一步的了解。較前兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)難度也加大了。這里把+/4轉(zhuǎn)化成了（+）-（-） 學(xué)習(xí)小結(jié)1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb，ta

12、n(a±b)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來(lái)解；2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。三 二倍角的三角函數(shù).1知識(shí)目標(biāo)：了解二倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。二倍角公式在兩角和與差三角函數(shù)一章中占據(jù)著承上啟下的地位：既可以?xún)山呛凸綖榛A(chǔ)推出二倍角公式，又能在此基礎(chǔ)上得出版角公式。結(jié)合職教數(shù)學(xué)大綱，加強(qiáng)基礎(chǔ)，突出應(yīng)用，針對(duì)中職生源，定為了解推導(dǎo)過(guò)程而非理解、掌握，僅使學(xué)生能構(gòu)建公式之間的聯(lián)系。2能力目標(biāo)：正確運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。根據(jù)理素質(zhì)教育為基礎(chǔ)，以能力為本位的指導(dǎo)思想，在本節(jié)課中精心

13、配備一些例、習(xí)題，通過(guò)分析，引導(dǎo)幫助學(xué)生總結(jié)，提高分析、解決問(wèn)題司機(jī)能力。三角函數(shù)式有三類(lèi)基本題：化簡(jiǎn)、求值、證明，本節(jié)只涉及兩類(lèi)：化簡(jiǎn)、求值。3德育目標(biāo)：通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解二倍角公式間及它們與和角公式間內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力進(jìn)行辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)教育。作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)意識(shí)，因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)看待事物。二倍角公式是兩角和公式的特殊形式，體現(xiàn)了由一般到特殊的化歸思想；同時(shí)二倍角的“倍”是相對(duì)于“半”而言的，是相對(duì)的，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中自始至終要貫穿這一辯證思想。（三）、本著新課程標(biāo)準(zhǔn)，在

14、吃透教材的基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)。重點(diǎn)：二倍角三角函數(shù)公式及公式的應(yīng)用難點(diǎn)：二倍角公式的逆用公式的正用符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生往往很容易學(xué)會(huì)，而逆用公式實(shí)際上是在原公式基礎(chǔ)上的一種逆向思維，學(xué)生不太容易接受，故設(shè)計(jì)為難點(diǎn)。這一節(jié)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)。例如，在旁白中有“倍是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，2 是 的二倍  是 的二倍，這里蘊(yùn)含著換元的思想”等，都是為了加強(qiáng)思想方法而設(shè)置的。例題分析例2的旁邊有這樣一個(gè)注意：通過(guò)開(kāi)平方求三角函數(shù)值時(shí)，一定要根據(jù)角所在的象限，確定三角函數(shù)值的符號(hào)。這樣我們就能很方便的判斷出正弦和正切的正負(fù)號(hào)了。例3則是在具體的圖形中運(yùn)用公式，做此類(lèi)題是要把圖畫(huà)出來(lái)更方便同學(xué)解題。例5 相當(dāng)于半角公式，它是以例題的形式給出，這里強(qiáng)調(diào)根號(hào)前得符號(hào)由/2所在象限相應(yīng)的三角函數(shù)值得符號(hào)來(lái)確定，如果/2所在象限無(wú)法確定，則應(yīng)保留根號(hào)前面的正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)。例6則是對(duì)半角公式的一個(gè)應(yīng)用，這樣有