橢圓教案鄧樹解

1、株洲先鋒高三理科數(shù)學第一輪復習教案（2015年）解析幾何 橢圓考綱要求：掌握橢圓定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)。 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。高考題型：1.考查橢圓的定義及應用；2.考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)；3.考查直線與橢圓的位置關(guān)系。復習備考：1.熟練掌握橢圓的定義、幾何性質(zhì)；2.會利用定義法，待定系數(shù)法求橢圓方程；3.重視數(shù)學思想方法的應用，體會解析幾何的性質(zhì)用代數(shù)方法，求解幾何問題。教學過程： 1.橢圓的定義 平面內(nèi)與兩定點F1,F2距離的和等于常數(shù)2a( )的點的軌跡叫做橢圓,即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F

2、2|=2c；這里兩個定點F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫橢圓的 。（時為線段， 無軌跡）。一、橢圓的定義及標準方程【例1】(1)(2013黑龍江模擬)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上，離心率為，過F1的直線與橢圓交于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_（2）橢圓1(ab0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F2作傾斜角為120的直線與橢圓的一個交點為M，若MF1垂直于x軸，則橢圓的離心率為_解析：(1)根據(jù)題意，ABF2的周長為16，即BF2AF2BF1AF116，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4a16，即a4.由橢圓的離心率為，知，則ac，將a4

3、，代入可得，c2，則b2a2c28，所以橢圓的方程為1.解析：(2)依題意知|F1F2|2c.因為MF2的傾斜角為120，MF2x軸，所以MF2F160，所以|MF2|4c，|MF1|2c，所以2a|MF1|MF2|4c2c，所以e2.基礎(chǔ)題1橢圓1上一點P到一個焦點F1的距離為4，則點P到另一個焦點F2的距離為( )A6 B2 C4 D3解析：由橢圓的定義可知|PF1|PF2|10，又|PF1|4，則|PF2|6，故選A.2若方程1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( )A(，) B(，1) C(0,1) D(0，)解析：依題設及橢圓標準方程可知， 0b0)的左、右焦點，A，B是橢

4、圓的長軸端點和短軸端點若OF2B的面積是F2AB面積的1倍(O為坐標原點) (1)求橢圓的離心率；(2)設Q是橢圓上一點，當QF2AB時，延長QF2交橢圓于另一點P，若F1PQ的面積為20，求橢圓的方程解析：(1)依題設A(a,0)，B(0，b)， 1，得(1)a(2)c，即ac，故離心率e.(2)由(1)可得bc，從而橢圓的方程可化為1，即x22y22c2， 因為PQAB，kAB，所以kPQ，所以直線PQ的方程為y(xc)，代入，得5x28cx2c20，解得x1,2c.所以|PQ|x1x2|cc|c，又F1(c,0)到PQ的距離dc，所以SF1PQd|PQ|ccc220，故c225，所以a2

5、2c250，b2c225，故橢圓的方程為1.基礎(chǔ)題1.已知橢圓中心在原點,焦點在坐標軸上,若橢圓過點(3,0),且離心率e,則橢圓的標準方程為 .解析：若焦點在x軸上，設橢圓方程為1(ab0)，則a3，又e，所以c，從而b2a2c23，故橢圓的方程為1.若焦點在y軸上，設橢圓方程為1(ab0)，則b3，又e，求得a227，故橢圓方程為1.2橢圓1的焦點坐標是( )A(5,0) B(0，5) C(0，12) D(12,0)解析：c12，因為橢圓的焦點在y軸上，所以橢圓的焦點坐標為(0，12)，故選C.3橢圓x24y213的離心率為( )A. B. C. D.解析：橢圓方程可化為1，所以a213，

6、b2，c2，所以e，故選A.【拓展演練2】 已知F1、F2是中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF260. (1)求橢圓離心率的取值范圍； (2)過F1作直線l交橢圓于A、B兩點，當離心率取最小值時，若ABF2的周長為12，求橢圓的標準方程解析：(1)設橢圓的方程為1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.因為mn2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn()2a2(當且僅當mn時取等號)所以4a24c23a2，所以，即e.又0e2)，其

7、離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)(方法一)A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx，將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.(方法二)A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx，將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入

8、1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.【拓展演練3】已知焦點在x軸上的橢圓C為1，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，離心率e. (1)求橢圓C的方程； (2)設點Q的坐標為(1,0)，橢圓上是否存在一點P，使得直線PF1，PF2都與以Q為圓心的一個圓相切？如存在，求出P點坐標及圓的方程；如不存在，請說明理由解析：(1)由題可知：，解得，所以b2a2c24b2，所以橢圓C的方程為1.(2) 假設橢圓上存在一點P(x0，y0)，使得直線PF1，PF2與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線PF1，PF2的距離相等，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，PF1：(x02)yy0x

9、2y00， PF2：(x02)yy0x2y00，d1d2，化簡整理得：8x40x0328y0.因為點P(x0，y0)在橢圓上，所以x2y8.將2y08x代入得x10x0160，解得x02或x08(舍去)，x02時，y0，故圓的半徑r1，所以橢圓上存在點P，其坐標為(2，)或(2，)，使得直線PF1，PF2與以Q為圓心的圓(x1)2y21相切本節(jié)小結(jié)：橢圓焦點位置與x2,y2系數(shù)間的關(guān)系：給出橢圓方程時，橢圓的焦點在x軸上mn0橢圓的焦點在y軸上nm0求橢圓的離心率e時，只要求出a,b,c的一個齊次方程，再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e(0eb0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角

10、為30的等腰三角形，則E的離心率為( )A. B. C. D.解析：如圖，PDFF2.因為F2PF1是底角為30的等腰三角形，則有|F2F1|F2P|，因為PF1F230，所以PF2D60，DPF230，所以|F2D|PF2|F1F2|，即c2cc，所以2c，即，所以橢圓的離心率為e，選C.3.(2012江西卷)橢圓1(ab0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 .解析：橢圓的頂點A(a,0)，B(a,0)，焦點坐標為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，所以|AF1|ac，|F1B|ac，|F1F2|2c.又因

11、為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以有4c2(ac)(ac)a2c2，即5c2a2，所以ac，故離心率e.4.(2012天津卷)設橢圓1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點 (1)若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；(2)若|AP|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|.解析：(1)設點P的坐標為(x0，y0)，由題意，有1.由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP，由kAPkBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0，由于y00，故a22b2，于是e2，所以橢圓的離心率e.(2)證明：(方法一)依題意，直線OP的方程為ykx，設點P的坐標為(x0，y0)，由條件得，消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k2()24，由ab