2015年高中數(shù)學步步高大一輪復習講義(文科)第三章_32

1、§3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值1 函數(shù)的單調(diào)性如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)>0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)<0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是減少的2 求函數(shù)極值點的步驟(1)求出導數(shù)f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)對于f(x)0的每一個解x0：若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負”，則x0為極大值點；若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左負右正”，則x0為極小值點；若f(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點3 函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大

2、值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值(3)設函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值1 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件(×)(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的(×)(

3、3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(4)對可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點為極值點的充要條件(×)(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()(6)函數(shù)f(x)xsin x有無數(shù)個極值點()2 函數(shù)f(x)x22ln x的單調(diào)減區(qū)間是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x>0)當x(0,1)時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當x(1，)時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)3 (2013·浙江)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，則()A當k1時，f(x

4、)在x1處取到極小值B當k1時，f(x)在x1處取到極大值C當k2時，f(x)在x1處取到極小值D當k2時，f(x)在x1處取到極大值答案C解析當k1時，f(x)ex·x1，f(1)0.x1不是f(x)的極值點當k2時，f(x)(x1)(xexex2)顯然f(1)0，且x在1的左邊附近f(x)<0，x在1的右邊附近f(x)>0，f(x)在x1處取到極小值故選C.4 函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析設m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)2&

5、gt;0，m(x)在R上是增函數(shù)m(1)f(1)(24)0，m(x)>0的解集為x|x>1，即f(x)>2x4的解集為(1，)5 函數(shù)f(x)x3ax2在(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，則f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.題型一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由思維啟迪函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對參數(shù)的討

6、論解f(x)exa，(1)若a0，則f(x)exa0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，若a>0，exa0，exa，xln a.因此當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2<x<3，e2<ex<e3，只需ae3.當ae3時，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)<0，即f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，ae3.故存在實數(shù)ae3，使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)思維升華(1)利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)

7、化為不等式恒成立問題；(3)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(1)設函數(shù)f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常數(shù)a>1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a>1知，當x<2時，f(x)>0，故f(x)在區(qū)間(，2)上是增函數(shù)；當2<x<2a時，f(x)<0，故f(x)在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)；當x>2a時，f(x)>0，故f(x)在區(qū)間(2a，)上是增函數(shù)

8、綜上，當a>1時，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)(2)已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_答案(0,3解析f(x)3x2a，f(x)在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)0，a3x2，a3.又a>0，可知0<a3.題型二利用導數(shù)求函數(shù)的極值例2設a>0，函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2，f(2)處與直線yx1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值思維啟迪(1)通過f(2)的值確定a；(2)解f(x)0，然后要討論兩個零點的大小確定函數(shù)的極值解(

9、1)由已知，得x>0，f(x)x(a1)，yf(x)在(2，f(2)處切線的斜率為1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此時f(2)220，故所求的切線方程為yx2.(2)f(x)x(a1).當0<a<1時，若x(0，a)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a,1)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(1，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa是f(x)的極大值點，x1是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a，極小值是f(1).當a1時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，此

10、時f(x)沒有極值點，故無極值當a>1時，若x(0,1)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(1，a)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(a，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極大值是f(1)，極小值是f(a)a2aln a.綜上，當0<a<1時，f(x)的極大值是a2aln a，極小值是；當a1時，f(x)沒有極值；當a>1時，f(x)的極大值是，極小值是a2aln a.思維升華(1)導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零

11、點是不是函數(shù)的極值點(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值設f(x)，其中a為正實數(shù)(1)當a時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解對f(x)求導得f(x)ex·.(1)當a時，若f(x)0，則4x28x30，解得x1，x2.結(jié)合，可知xf(x)00f(x)極大值極小值所以x1是極小值點，x2是極大值點(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號，結(jié)合與條件a>0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a>0，知

12、0<a1.所以a的取值范圍為a|0<a1題型三利用導數(shù)求函數(shù)的最值例3已知函數(shù)f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a3，b9時，若函數(shù)f(x)g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍思維啟迪(1)題目條件的轉(zhuǎn)化：f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表觀察h(x)在(，2上的變化情況，然后確定k的取值范圍解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)且f(1)g

13、(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)，當a3，b9時，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的變化情況如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知當k3時，函數(shù)h(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28；當3<k<2時，函數(shù)h(x)在區(qū)間k,2上的最大值小于28.因此k的取值范圍是(，3思維升華(1)求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點，再計算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)

14、值，最后比較即得(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個區(qū)間上的變化情況已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)設函數(shù)g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函數(shù)g(x)在區(qū)間1，e上的最小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))解(1)f(x)ln x1，x>0，由f(x)0得x，所以f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增所以，x是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在(2)g(x)xln xa(x1)，則g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在區(qū)間(0，ea1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea1，)上，g(x)為遞增函數(shù)當ea11，即a1時

15、，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)0.當1<ea1<e，即1<a<2時，g(x)的最小值為g(ea1)aea1.當ea1e，即a2時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(e)aeae.綜上，當a1時，g(x)的最小值為0；當1<a<2時，g(x)的最小值為aea1；當a2時，g(x)的最小值為aeae.利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題典例：(12分)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值思維啟迪(1)解方程f(x)0列表求單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)(1)中

16、表格，討論k1和區(qū)間0,1的關(guān)系求最值規(guī)范解答解(1)由題意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)與f(x)的情況如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)6分(2)當k10，即k1時，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；8分當0<k1<1，即1<k<2時，f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當k11，即k2時，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)

17、間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.10分綜上，當k1時，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當1<k<2時，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.12分用導數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題一般可用以下幾步答題：第一步：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)；第二步：求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；第三步：求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；第四步：將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較， 確定f(x)的最大值與最小值；第五步：反思回顧：查看關(guān)鍵點，易錯點和解題規(guī)范溫馨提醒(1)本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)

18、在給定區(qū)間0,1上的最值，屬常規(guī)題型(2)本題的難點是分類討論考生在分類時易出現(xiàn)不全面，不準確的情況(3)思維不流暢，答題不規(guī)范，是解答中的突出問題方法與技巧1 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分2求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小3 在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較失誤與防范1 注意定義域優(yōu)先的原則，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行2 求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結(jié)論3

19、解題時要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好f(x)0時的情況；區(qū)分極值點和導數(shù)為0的點A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1 若函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則yf(x)的圖像可能為()答案C解析根據(jù)f(x)的符號，f(x)圖像應該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f(x)0的點可以排除B.2 下面為函數(shù)yxsin xcos x的遞增區(qū)間的是()A(，) B(，2)C(，) D(2，3)答案C解析y(xsin xcos x)sin xxcos xsin xxcos x，當x(，)時，恒有xcos x>0.故選C.3 設aR，若函數(shù)yexax，x

20、R有大于零的極值點，則()Aa<1 Ba>1Ca> Da<答案A解析yexax，yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點，則方程yexa0有大于零的解，x>0時，ex<1，aex<1.4 設函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A1<a2 Ba4Ca2 D0<a3答案A解析f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，當x0時，有0<x3，即在(0,3上原函數(shù)是減函數(shù)，a1>0且a13，解得1<a2.5 函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4

21、答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1上是減函數(shù)f(x)maxf(x)極大值f(0)2.二、填空題6 函數(shù)f(x)x的單調(diào)減區(qū)間為_答案(3,0)，(0,3)解析f(x)1，令f(x)<0，解得3<x<0或0<x<3，故單調(diào)減區(qū)間為(3,0)和(0,3)7 函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1有極大值又有極小值，則a的取值范圍是_答案a>2或a<1解析f(x)x33ax23(a2)x1，f(x)3x26ax3(a2)令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.函數(shù)f(x)有極大值

22、和極小值，方程x22axa20有兩個不相等的實根即4a24a8>0，a>2或a<1.8 設函數(shù)f(x)x32x5，若對任意的x1,2，都有f(x)>a，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a<.三、解答題9 已知函數(shù)f(x)ln x求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間解因為f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域為(0，)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以x1時，f(x)的極小值為

23、1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)10已知函數(shù)f(x)x2bsin x2(bR)，F(xiàn)(x)f(x)2，且對于任意實數(shù)x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)g(x)f(x)2(x1)aln x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依題意，對任意實數(shù)x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函數(shù)g(x)

24、在(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)內(nèi)，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2x22x)在(0,1)上單調(diào)遞減，a4為所求B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 已知f(x)是可導的函數(shù)，且f(x)<f(x)對于xR恒成立，則()Af(1)<ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)Bf(1)>ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)Cf(1)>ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)Df(1)<ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)答案D解析令g(x)，則g(x)()&l

25、t;0，所以函數(shù)g(x)是單調(diào)減函數(shù)，所以g(1)<g(0)，g(2 014)<g(0)，即<，<，故f(1)<ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)2 如圖是函數(shù)f(x)x3bx2cxd的大致圖像，則xx等于()A. B. C. D.答案C解析由圖像可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的兩根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22×.3 已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在t，t1上不單調(diào)，則t的取值范圍是_答案(0,1)(2,3)解析由題意知f(x)x4，由f(x)0得

26、函數(shù)f(x)的兩個極值點為1,3，則只要這兩個極值點有一個在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不單調(diào)，由t<1<t1或t<3<t1，得0<t<1或2<t<3.4 (2013·課標全國)已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4yf(x)在(0，f(0)處的切線方程為y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令f(x)0得x12，x2l