高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量

1、第四章平面向量高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望1.平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景；(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示(1)了解平面向量的基本定理及其意義；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量

2、積的含義及其物理意義；(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；(2)會用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題及其他一些實際問題.本章重點：1.向量的各種運(yùn)算；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想；3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應(yīng)用.本章難點：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用；2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點間距離中的應(yīng)用

3、.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，同時又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點.在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查.在考試要求的層次上更加突出向量的實際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價值.知識網(wǎng)絡(luò)4.1平面向量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】 下列命題：向量的長度與的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；

4、向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯；顯然錯；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯.故是真命題的只有.【點撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：|a|；(ab) ca (bc)；在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點，N為BC的中點，則2；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a與b不共線，則(ab)(ab).其中正確的個數(shù)為() A.1B.2C.3D.4【解

5、析】選D.| a|正確；(ab) ca (bc)； 正確；如下圖所示，=+且=+，兩式相加可得2，即命題正確；因為a，b不共線，且|a|b|1，所以ab，ab為菱形的兩條對角線，即得(ab)(ab).所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點O，點M在線段DO上，且=，點N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在ABCD中，AC，BD交于點O，所以()(ab)，()(ab).又， ，所以bb×(ab)ab，×(ab)(ab). 所以(ab)(ab)ab.【點撥】向量的線性運(yùn)算的一個重要作用就是可以

6、將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線的三點，平面內(nèi)的動點P滿足()，若時，則()的值為.【解析】由已知得()，即()，當(dāng)時，得()，所以2，即，所以，所以0，所以 ()00，故填0.題型三向量共線問題【例3】 設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若ab， 2a8b， 3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線.【解析】(1)證明：因為ab， 2a8b， 3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以， 共線.又因為它們有

7、公共點B，所以A，B，D三點共線.(2)因為kab和akb共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)，所以(k)a(k1)b.因為a與b是不共線的兩個非零向量，所以kk10，所以k210，所以k±1.【點撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點，+2+3=0，則OAC的面積與OAB的面積之比是（）A.B.C.2D.【解析】如圖，

8、在三角形ABC中， 230，整理可得2()0.令三角形ABC中AC邊的中點為E，BC邊的中點為F，則點O在點F與點E連線的處，即OE2OF.設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則SOACSOAESOECOE ()OE·h，SOABABhAB·h，由于AB2EF，OEEF，所以AB3OE，所以.故選B.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數(shù)，使這個實數(shù)能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當(dāng)向量a與b共線同向時，|ab|a|b|；當(dāng)

9、向量a與b共線反向時，|ab|a|b|；當(dāng)向量a與b不共線時，|ab|a|b|.4.2平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示典例精析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖ABCD中,M,N分別是DC，BC中點.已知=a,=b,試用a，b表示，與【解析】易知，即所以(2ba)， (2ab).所以(ab).【點撥】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟.【變式訓(xùn)練1】已知D為ABC的邊BC上的中點，ABC所在平面內(nèi)有一點P，滿足0，則等于()A.B.C.1D.2【解析】由于D為BC邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知2，因此結(jié)合0即得

10、2，因此易得P，A，D三點共線且D是PA的中點，所以1，即選C.題型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】 已知a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若u3v，求x；(2)若uv，求x.【解析】因為a(1，1)，b(x，1)，所以u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1).(1)u3v(2x1，3)3(2x，1)(2x1，3)(63x，3)，所以2x163x，解得x1.(2)uv (2x1，3)(2x，1) (2x1)3(2x)0x1.【點撥】對用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點在解題中很重要，應(yīng)引起重視.【變式訓(xùn)練2】已

11、知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.則函數(shù)y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值為.【解析】設(shè)b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos，sin)(cos ，sin )(a141)2b22(cos，sin)(cos ，sin )2822cos()，所以y的最大值為284.題型三平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角

12、C，求ABC的面積.【解析】(1)證明：因為mn，所以asin Absin B.由正弦定理，得a2b2，即ab.所以ABC為等腰三角形.(2)因為mp，所以m·p0，即a(b2)b(a2)0，所以abab.由余弦定理，得4a2b2ab(ab)23ab，所以(ab)23ab40.所以ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C×4×.【點撥】設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20.【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，

13、且ab10，則ABC周長的最小值為()A.105B.105C.102D.102【解析】由mn得2cos2C3cos C20，解得cos C或cos C2(舍去)，所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab，由10ab2ab25，所以c275，即c5，所以abc105，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時，等號成立.故選B.總結(jié)提高1.向量的坐標(biāo)表示，實際是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.向量方法是幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體，很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.2.向量的運(yùn)算中要特別注意方程思想的運(yùn)用.3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐

14、標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則，坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).4.3平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用典例精析題型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題【例1】 已知a，b夾角為120°，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b) ·(ab)；(3)a與(ab)的夾角.【解析】(1)(ab)2a2b22a·b1642×4×2×12，所以|ab|2.(2)(a2b) ·(ab)a23a·b2b2163×4×2×2×412.(3)a·(ab)a2a

15、·b164×2×12.所以cos ，所以.【點撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓(xùn)練1】已知向量a，b，c滿足：|a|1，|b|2，cab，且ca，則a與b的夾角大小是.【解析】由cac·a0a2a·b0，所以cos ，所以120°.題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在ABC中，(2，3)， (1，k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值.【解析】當(dāng)A90°時，有·0，所以2×13·k0，所以k；當(dāng)B90°時，有·0，又(

16、12，k3)(1，k3)，所以2×(1)3×(k3)0k；當(dāng)C90°時，有·0，所以1k·(k3)0，所以k23k10k.所以k的取值為，或.【點撥】因為哪個角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】ABC中，AB4，BC5，AC6，求···.【解析】因為2·2·2·(··)(··)(··)·()·()·()··&#

17、183;42625277.所以···.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點O，且xOy，構(gòu)成一個平面斜坐標(biāo)系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設(shè)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且xe1ye2，則點P的坐標(biāo)為(x，y)，已知Q(1，2).(1)求|的值及與Ox的夾角；(2)過點Q的直線lOQ，求l的直線方程(在斜坐標(biāo)系中).【解析】(1)依題意知，e1·e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1·e23.所以|.又·e1(e12e2) ·e1e2e1e20.所以e1，即與Ox成90°

18、角.(2)設(shè)l上動點P(x，y)，即xe1ye2，又l，故，即(x1)e1(y2)e2 ·(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) ·2(y2)0，所以y2，即為所求直線l的方程.【點撥】綜合利用向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢.【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(5，0).對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f(x)ax2(a0)，使得 ()(為常數(shù))，其中點P，Q的坐標(biāo)分別為(1，f(1)，(k，f(k)，則k的取值范圍為()A.(2，)B.(3，)C.(4，)D.(8，)【解析】如圖所示，設(shè)，則.因為P(1，a)，Q(k，ak2)，(1，0)，(，)，(1，)，則直線OG的方程為yx，又，所以P(1，a)在直線OG上，所以a，所以a21.因為|1，所以10，所以