利用反證法解幾何問題

1、1利用反證法解幾何問題作者：宋海峰 單位：新鄉(xiāng)市第十一中學(xué) 專業(yè)：數(shù)學(xué) 時(shí)間：2008、6利用反證法解幾何問題新鄉(xiāng)市第十一中學(xué) 宋海峰摘要 ： 闡明反證法的定義、種類以及證明的一般步驟，探索了反證法在中學(xué)數(shù)學(xué) 幾何問題中的應(yīng)用。2關(guān)鍵詞： 反證法、證明、矛盾、補(bǔ)集反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法， 我們對(duì)一些數(shù)學(xué)命題的證明， 如果從正面入手實(shí) 行解答比較困難或較為繁雜時(shí)， 可從反面或側(cè)面實(shí)行考慮，通過先解決其反面問題，利 用補(bǔ)集思想，進(jìn)而使問題得到解決，這樣解決問題的方法，就是正反則反的思想方法 反證法就是正反則反的思想方法的重要體現(xiàn)。反證法 特別適用于否定性、存有性、唯一 性問題。應(yīng)該說“反證法

2、是一個(gè)積極的、主動(dòng)的證明大法” 。反證法也稱為歸謬法。英 國數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）對(duì)于這樣證法給過一個(gè)很有意思的評(píng)論。在棋 類比賽中，經(jīng)常采用一種策略，叫“棄子取勢” ，即犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢。哈代指 出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略。棋手能夠犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué) 家能夠犧牲的整個(gè)一盤棋。歸謬法就是作為一種能夠想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。用反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：（1） 假定命題的結(jié)論不成立，（2） 實(shí)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛 盾，（3） 因?yàn)樯鲜雒艿某霈F(xiàn)，能夠斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)

3、誤的，（4） 肯定原來命題的結(jié)論是準(zhǔn)確的。 反證法在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在幾何題目的應(yīng)用極為廣 泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應(yīng)用，在這里選擇幾個(gè)有代表性的題目，加3以介紹說明:、證明幾何量之間的關(guān)系例 1 1 已知：四邊形 ABCDABCD 中，E E、F F 分別是 ADAD、BCBC 的中點(diǎn),1EF (AB CD)。2求證：AB/CD。證明：假設(shè) ABAB 不平行于 CDCD。如圖，連結(jié) E E、F F、G G 分別是 ADAD、BCBC、ACAC 的中點(diǎn)，1 GE/CD,GE CD；GF /AB,2ACAC ,取 ACAC 的中點(diǎn)G G,連結(jié) EGEG、FG

4、FG。G1AB。2 ABAB 不平行于 CDCD , GEGE 和 GFGF 不共線， GE GF EF1GEGE、 GFGF、EFEF 組成一個(gè)三角形。但GE GF (AB CD)二EF2與矛盾。 AB/CD例 2 2 :直線PO與平面：相交于O POA = POB = POC。求證：PO _。證明：假設(shè) POPO 不垂直平面。作PH _ :-并與平面:-相交于H，此時(shí) I I 由 P P作PE _ OA于 E E,PF _ OB于 F F, 根據(jù)三垂線定理可知，HE _ OA,HF . POA二.POB, POPO 是公共邊， Rt POE二Rt POF OE =OF又OH -OHRt O

5、FH三Rt OEHFOH所以，OHOH 同理可證， 但是，OBOB二/EOH是.AOB的平分線。0H0H 是.AOC的平分線。和 OCOC 是兩條不重合的直線,，過點(diǎn)0在平面：內(nèi)引直線OA、OB、OC，H H、0 0 不重合，連結(jié) 0H0H。盾。PO _：。例 3 3:已知 A A、B B、C C、D D 是空間的四個(gè)點(diǎn)， ABAB、CDCD 是異面直線。求證：ACAC 和 BDBD 是異面直線。證明：假設(shè) ACAC 和 BDBD 不是異面直線，那么 ACAC 和 BDBD 在同一平面內(nèi)。所以，A A、C C、B B、D D 四點(diǎn)在同一平面內(nèi)， 這樣，ABAB、CDCD 就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平

6、面內(nèi)，則 ABAB、CDCD 在這個(gè)平面內(nèi)，即 ABAB 和 CDCD 不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。4(4(4)5所以，ACAC 和 BDBD 是異面直線上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。二、證明“唯一性”問題在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。例 3 3：過平面:-上的點(diǎn) A A 的直線a二，求證：a是唯一的。 證明：假設(shè)a不是唯一的，則過 A A 至少還有一條直線b，b _: a、b是相交直線， a、b能夠確定一個(gè)平面1。設(shè)：和：相交于過點(diǎn) A A 的直線C。 a _,b _,a _ c,b _

7、c。這樣在平面：內(nèi)，過點(diǎn) A A 就有兩條直線垂直于C，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的。例 4 4：試證明：在平面上所有通過點(diǎn)（.2,0）的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有一條且只有一條。證明：先證存有性。因?yàn)橹本€y =0，顯然通過點(diǎn)（ 2,0），且直線y= 0至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)，例如它通過（0,0）和（1,0）。這說明滿足條件的直線有一條。再證唯一性。假設(shè)除了直線y二0外還存有一條直線y二kx b（k =0或b = 0）通過點(diǎn)（ 2,0）,且該直線通過有理點(diǎn)人（&,%）與 B B（X2,y2），其中、X2、y2均為有理數(shù)。因?yàn)橹本€y =kx

8、b通過點(diǎn)（.2,0）,所以- 2k，于是y二k（x -2），且k = 0。又直線通過 A A（xi, yi）與 B B（X2, y2）兩點(diǎn)，所以力二k（xi - . 2）,y = k（x -：-；2）6一，得y1- y2= k(x x2)。因?yàn)?A A、B B 是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且k = 0，所以Xi= x2,y- y2,由，得k匸上，且k是不等于零的有理數(shù)。X X?由，得. 2 = x1- “。k此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。所以，平面上通過點(diǎn)（.2,0）的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。關(guān)于唯一性的問題，在幾何中有，在代

9、數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類題目用直接證法證明相當(dāng) 困難，所以一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時(shí)比同一法更 方便。三、證明不可能問題幾何中有一類問題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存有。它 們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個(gè) 圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存有，所以，這類問題非常適宜用反證法。例 5 5:求證：拋物線沒有漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是y2=2px（p=0）。假設(shè)拋物線有漸近線，漸近線的方程是y =ax b，易知a、b都不為 0 0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

10、于是方程組:y2=2px（1）y =ax +b（2）的兩組解的倒數(shù)都是 0 0。將（2 2）代入（1 1），得2 2 2a x 2（ab - p）x b =0（3 3）設(shè)X、X2是（3 3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知2(ab-p)b2XX2=2，X1X2_ 2aa則丄1XX22(ab -一24,XX2X1X2b2(4(4)7由(4 4)、( 5 5),可推得p = 0,這于假設(shè)p=0矛盾。所以，拋物線沒有漸近線。關(guān)于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。因?yàn)樗慕Y(jié)論是以否定形式出現(xiàn), 采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存有”或“不多于”問題在幾何

11、中存有一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。因 為這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否 定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就能夠推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例 6 6:已知：四邊形 ABCDABCD 中，對(duì)角線 AC=BD=1AC=BD=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。2證明：假設(shè)四邊形的邊都小于，因?yàn)樗倪呅沃兄辽儆幸粋€(gè)角不是鈍角(這個(gè)結(jié)論也可用反2證法證明)，不妨設(shè).A90，根據(jù)余弦定理，得BD2=AD2 AB2-2AD AB cos A，2 2 2 BD -AD AB,即BD乞AD2AB2：-. (2)2(2)2=1

12、。 2 2這與已知四邊形 BD=1BD=1 矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于。2總來說之，反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，是數(shù)學(xué)家的一個(gè)精良武器.一般地說，當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更詳細(xì)、更明確時(shí)，宜考慮用反證法去證。其次，否定型命題( (命題的結(jié)論是 不可能”，不能表示為 ”，不是”，不存有” 不等于”，不具有某種性質(zhì)”等) )，唯一性命題，存有性命題， 至少”、至多”型命題，某些命 題的逆命題等都可用反證法去證。此外，有的肯定式命題，因?yàn)橐阎?，或結(jié)論涉及到無限個(gè)元素，如“無限多個(gè)數(shù)” ，“無窮多交點(diǎn)” ，“無限不循環(huán)小數(shù)”等，因?yàn)槲覀円苯幼C明無限的情形比較困 難，因而也往往采用反證