3正方形基礎(chǔ)知識(shí)講解練習(xí)

1、正方形（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2掌握正方形的性質(zhì)及判定方法【要點(diǎn)梳理】【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形） 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

2、4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì)1、（2015揚(yáng)州校級(jí)一模）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上下列結(jié)論：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)

3、可以判斷的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷的正誤【答案與解析】解：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等邊三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，說法正確；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，ACEF，且AC平分EF，CAFDAF，DFFG，BE+DFEF，說法錯(cuò)誤；EF=2，CE=CF=，設(shè)正方形的邊長為a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，則a2=

4、2+，S正方形ABCD=2+，說法正確，正確的有故選C【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩舉一反三：【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CECF，連接DE，BF求證：DEBF【答案】證明：四邊形ABCD是正方形，BCDC，BCD90°E為BC延長線上的點(diǎn)，DCE90°，BCDDCE在BCF和DCE中，BCFDCE（SAS），BFDE【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形） 例1】【變式2】（2015咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外

5、側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則BFC為（）A75° B60° C55° D45°【答案】B；提示：四邊形ABCD是正方形，BAD=90°，AB=AD，BAF=45°，ADE是等邊三角形，DAE=60°，AD=AE，BAE=90°+60°=150°，AB=AE，ABE=AEB=（180°150°）=15°，BFC=BAF+ABE=45°+15°=60°；故選：B2、如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)G是BC延長線

6、上一點(diǎn)，連接AG，點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF，12，34（1）證明：ABEDAF；（2）若AGB30°，求EF的長【思路點(diǎn)撥】要證明ABEDAF，已知12，34，只要證一條邊對(duì)應(yīng)相等即可要求EF的長，需要求出AF和AE的長【答案與解析】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，12，34，DAFABE（2）解：四邊形ABCD是正方形，AGB30°，ADBC，1AGB30°，14DAB90°，34，1390°，AFD180°（13）90°，DFAG，DFAFABEDAF，AEDF1，EF【總結(jié)升華】通過證三角形全

7、等得到邊和角相等，是有關(guān)四邊形中證邊角相等的最常用的方法而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件 舉一反三：【變式】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，AB2BC，分別以AB，BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN，EC求證：FNEC【答案】證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，ABBEEF，BCBN，F(xiàn)ENEBC90°，AB2BC，即BCBNBN，即N為BE的中點(diǎn)，ENNBBC，F(xiàn)NEECB，F(xiàn)NEC要點(diǎn)三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再

8、證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.類型二、正方形的判定3、如圖所示，在RtABC中，C90°，BAC、ABC的平分線相交于點(diǎn)D，且DEBC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，那么四邊形CEDF是正方形嗎?請(qǐng)說明理由【答案與解析】解：是正方形，理由如下： 作DGAB于點(diǎn)G AD平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG 同理可得：DGDE DFDE DFAC，DEBC，C90°， 四邊形CEDF是矩形 DFDE 四邊形CEDF是正方形【總結(jié)升華】(1)本題運(yùn)用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形(2)證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個(gè)直角或四個(gè)角都是

9、直角來證明正方形舉一反三：【變式】如圖，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OAOC，OD平分AOC交AC于點(diǎn)D，OF平分COB，CFOF于點(diǎn)F（1）求證：四邊形CDOF是矩形；（2）當(dāng)AOC多少度時(shí)，四邊形CDOF是正方形？并說明理由【答案】（1）證明：OD平分AOC，OF平分COB（已知），AOC2COD，COB2COF，AOCBOC180°，2COD2COF180°，CODCOF90°，DOF90°；OAOC，OD平分AOC（已知），ODAC，ADDC（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），CDO90°，CFOF，CFO90°四邊形CDOF是矩

10、形；（2）當(dāng)AOC90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形；理由如下：AOC90°，ADDC，ODDC；又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形；因此，當(dāng)AOC90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊

11、形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形. （2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.類型三、正方形綜合應(yīng)用4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為(為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)(軸的正半軸、軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O)，頂點(diǎn)C、D都在第一象限 (1)當(dāng)BAO45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求證：無論點(diǎn)A在軸正半軸上、點(diǎn)B在軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在AOB的平分線上；【答案與解析】解：(1)當(dāng)BAO45°時(shí)，PAO90°， 在RtAO

12、B中，OAAB，在RtAPB中，PAAB 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)如圖過點(diǎn)P分別作軸、軸的垂線垂足分別為M、N，則有PMAPNBNPMBPA90°，BPNBPMAPMBPM90°APMBPN，又PAPB， PAMPBN， PMPN，又 PNON，PMOM 于是，點(diǎn)P在AOB的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 正方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸共有（）A1條 B2條 C3條 D4條2. （2015漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（） A. 四條邊相等 B. 對(duì)角線互相垂直平分C. 對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.

13、對(duì)角線相等3. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，則圖中陰影部分的面積為( ) A.6 B.8 C.16 D.不能確定4. 順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形5.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長MD至點(diǎn)E，使MEMC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長為（）A B. C. D. 6.如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中的等腰三角形有（）A4個(gè) B6個(gè) C8個(gè) D10個(gè)二.填空題7若正方形的邊長為，則其對(duì)角線長為_，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD

14、的對(duì)角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于_8. 如圖，在四邊形ABCD中，ABBCCDDA，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是_.9. 如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是1，則它移動(dòng)的距離等于_.10. 如圖，邊長為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是_.11. 如圖邊長為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個(gè)正方形重疊

15、部分的面積是_12.（2015長春）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上若ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為三.解答題13已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CEMN，MCE35°，求ANM的度數(shù)14（2015鐵力市二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC于點(diǎn)E；PFCD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：AP=EF；APEF；PFE=BAP；PD=EC；PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個(gè)？15如圖，邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的長【答案

16、與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】正方形的對(duì)稱軸是兩對(duì)角線所在的直線，兩對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線，對(duì)稱軸共4條2.【答案】D；【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等；故選：D3【答案】B； 【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM，即ME的長，有DMDE，所以可以求出DE，進(jìn)而得到DG的長6.【答案】C；二.填空題7.【答案】，2

17、1 ； 【解析】正方形ACEF與正方形ABCD的邊長之比為.8.【答案】ACBD或ABBC；【解析】在四邊形ABCD中，ABBCCDDA四邊形ABCD是菱形要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是ACBD或ABBC.9.【答案】1； 【解析】移動(dòng)距離為，重疊部分面積為CE×，所以，得，所以.10.【答案】1；【解析】由題可知DEOBFO，陰影面積就等于三角形BOC面積11.【答案】； 【解析】，重疊部分面積為.12.【答案】5；【解析】解：過E作EMAB于M，四邊形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB，EM=AD，BM=CE，ABE的面積為8，×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，CE=3，由勾股定理得：BE=5，故答案為：5三.解答題13.【解析】解：作NFBC于FABCD是正方形，CDBCFN則在RtBEC和RtFMN中，BNFM90°，RtBECRtFMNMNFMCE35°ANM90