3正方形基礎(chǔ)知識講解練習(xí)

1、正方形（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2掌握正方形的性質(zhì)及判定方法【要點梳理】【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形） 知識要點】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角四個角都是直角；3.對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；

2、4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì)1、（2015揚州校級一模）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上下列結(jié)論：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4 【思路點撥】根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識

3、可以判斷的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷的正誤【答案與解析】解：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等邊三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，說法正確；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點，ACEF，且AC平分EF，CAFDAF，DFFG，BE+DFEF，說法錯誤；EF=2，CE=CF=，設(shè)正方形的邊長為a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，則a2=

4、2+，S正方形ABCD=2+，說法正確，正確的有故選C【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩舉一反三：【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點，F(xiàn)是CD邊上一點，且CECF，連接DE，BF求證：DEBF【答案】證明：四邊形ABCD是正方形，BCDC，BCD90°E為BC延長線上的點，DCE90°，BCDDCE在BCF和DCE中，BCFDCE（SAS），BFDE【高清課堂 特殊的平行四邊形（正方形） 例1】【變式2】（2015咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外

5、側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則BFC為（）A75° B60° C55° D45°【答案】B；提示：四邊形ABCD是正方形，BAD=90°，AB=AD，BAF=45°，ADE是等邊三角形，DAE=60°，AD=AE，BAE=90°+60°=150°，AB=AE，ABE=AEB=（180°150°）=15°，BFC=BAF+ABE=45°+15°=60°；故選：B2、如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線

6、上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，12，34（1）證明：ABEDAF；（2）若AGB30°，求EF的長【思路點撥】要證明ABEDAF，已知12，34，只要證一條邊對應(yīng)相等即可要求EF的長，需要求出AF和AE的長【答案與解析】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，12，34，DAFABE（2）解：四邊形ABCD是正方形，AGB30°，ADBC，1AGB30°，14DAB90°，34，1390°，AFD180°（13）90°，DFAG，DFAFABEDAF，AEDF1，EF【總結(jié)升華】通過證三角形全

7、等得到邊和角相等，是有關(guān)四邊形中證邊角相等的最常用的方法而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件 舉一反三：【變式】如圖，A、B、C三點在同一條直線上，AB2BC，分別以AB，BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN，EC求證：FNEC【答案】證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，ABBEEF，BCBN，F(xiàn)ENEBC90°，AB2BC，即BCBNBN，即N為BE的中點，ENNBBC，F(xiàn)NEECB，F(xiàn)NEC要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再

8、證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.類型二、正方形的判定3、如圖所示，在RtABC中，C90°，BAC、ABC的平分線相交于點D，且DEBC于點E，DFAC于點F，那么四邊形CEDF是正方形嗎?請說明理由【答案與解析】解：是正方形，理由如下： 作DGAB于點G AD平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG 同理可得：DGDE DFDE DFAC，DEBC，C90°， 四邊形CEDF是矩形 DFDE 四邊形CEDF是正方形【總結(jié)升華】(1)本題運用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形(2)證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個直角或四個角都是

9、直角來證明正方形舉一反三：【變式】如圖，點O是線段AB上的一點，OAOC，OD平分AOC交AC于點D，OF平分COB，CFOF于點F（1）求證：四邊形CDOF是矩形；（2）當(dāng)AOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由【答案】（1）證明：OD平分AOC，OF平分COB（已知），AOC2COD，COB2COF，AOCBOC180°，2COD2COF180°，CODCOF90°，DOF90°；OAOC，OD平分AOC（已知），ODAC，ADDC（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），CDO90°，CFOF，CFO90°四邊形CDOF是矩

10、形；（2）當(dāng)AOC90°時，四邊形CDOF是正方形；理由如下：AOC90°，ADDC，ODDC；又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形；因此，當(dāng)AOC90°時，四邊形CDOF是正方形要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：要點五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.（1）若原四邊

11、形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形. （2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.類型三、正方形綜合應(yīng)用4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為(為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在軸正半軸上運動，頂點B在軸正半軸上運動(軸的正半軸、軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C、D都在第一象限 (1)當(dāng)BAO45°時，求點P的坐標(biāo)；(2)求證：無論點A在軸正半軸上、點B在軸正半軸上怎樣運動，點P都在AOB的平分線上；【答案與解析】解：(1)當(dāng)BAO45°時，PAO90°， 在RtAO

12、B中，OAAB，在RtAPB中，PAAB 點P的坐標(biāo)為(2)如圖過點P分別作軸、軸的垂線垂足分別為M、N，則有PMAPNBNPMBPA90°，BPNBPMAPMBPM90°APMBPN，又PAPB， PAMPBN， PMPN，又 PNON，PMOM 于是，點P在AOB的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）A1條 B2條 C3條 D4條2. （2015漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（） A. 四條邊相等 B. 對角線互相垂直平分C. 對角線平分一組對角 D.

13、對角線相等3. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，則圖中陰影部分的面積為( ) A.6 B.8 C.16 D.不能確定4. 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形5.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使MEMC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A B. C. D. 6.如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，則圖中的等腰三角形有（）A4個 B6個 C8個 D10個二.填空題7若正方形的邊長為，則其對角線長為_，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD

14、的對角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于_8. 如圖，在四邊形ABCD中，ABBCCDDA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是_.9. 如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到，若兩個三角形重疊部分的面積是1，則它移動的距離等于_.10. 如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是_.11. 如圖邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形重疊

15、部分的面積是_12.（2015長春）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上若ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為三.解答題13已知：如圖，正方形ABCD中，點E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CEMN，MCE35°，求ANM的度數(shù)14（2015鐵力市二模）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PEBC于點E；PFCD于點F，連接EF，給出下列五個結(jié)論：AP=EF；APEF；PFE=BAP；PD=EC；PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個？15如圖，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的長【答案

16、與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】正方形的對稱軸是兩對角線所在的直線，兩對邊中點所在的直線，對稱軸共4條2.【答案】D；【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都是直角，對角線互相垂直平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等；故選：D3【答案】B； 【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM，即ME的長，有DMDE，所以可以求出DE，進而得到DG的長6.【答案】C；二.填空題7.【答案】，2

17、1 ； 【解析】正方形ACEF與正方形ABCD的邊長之比為.8.【答案】ACBD或ABBC；【解析】在四邊形ABCD中，ABBCCDDA四邊形ABCD是菱形要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是ACBD或ABBC.9.【答案】1； 【解析】移動距離為，重疊部分面積為CE×，所以，得，所以.10.【答案】1；【解析】由題可知DEOBFO，陰影面積就等于三角形BOC面積11.【答案】； 【解析】，重疊部分面積為.12.【答案】5；【解析】解：過E作EMAB于M，四邊形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB，EM=AD，BM=CE，ABE的面積為8，×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，CE=3，由勾股定理得：BE=5，故答案為：5三.解答題13.【解析】解：作NFBC于FABCD是正方形，CDBCFN則在RtBEC和RtFMN中，BNFM90°，RtBECRtFMNMNFMCE35°ANM90