人教版九年級數(shù)學(xué)上冊圓知識點總結(jié)

1、第二十四章 圓24.1 圓24.1.1 圓知識點一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A 所形成的圖形叫作圓。固定的端點 O 叫作圓心，線段 OA 叫作半徑。第二種：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距離等于定長 r 的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二 圓的相關(guān)概念（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。（2） ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個

2、端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。（4）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識點一 圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二 垂徑定理（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為 CD，AB 是弦，且 CDAB，CMAM=BMAB垂足為 MAC =BCAD=BDD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

3、條弧如上圖所示，直徑 CD 與非直徑弦 AB 相交于點 M，CDAB AM=BM AC=BC AD=BD注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識點 弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此

4、時弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識點一 圓周角定理（1）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。24.2

5、點、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1 點和圓的位置關(guān)系知識點一 點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)三種。（2）用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)O 的半徑是 r，點 P 到圓的距離 OP=d，則有：點 P 在圓外dr；點 p 在圓上d=r；點 p 在圓內(nèi)dr。知識點二 過已知點作圓（1） 經(jīng)過一個點的圓（如點 A）以點 A 外的任意一點（如點 O）為圓心，以 OA 為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。·O1A ·O2·O3（2）經(jīng)過兩點的圓（如點 A、B）以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點（如點 O）為圓心，以 OA（或 OB）

6、為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。AB（3）經(jīng)過三點的圓 經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點 A、B、C 作圓，作法：連接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點 O，以點 O 為圓心，以 OA（或 OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。AOBC知識點三 三角形的外接圓與外心（1） 經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，

7、叫做這個三角形的外心。知識點四 反證法（1）反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方 法叫做反證法。（2）反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系知識點一 直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)O 的半徑是 r，直線 l 與圓心 0 的距離為 d，則有：直線 l 和O 相交d r；直線 l

8、 和O 相切d = r；直線 l 和O 相離d r。知識點二 切線的判定和性質(zhì)（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3）切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點三 切線長定理（1）切線長的定義：經(jīng)過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線和切線長是兩個完全不同

9、的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1) 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時，過三角形的頂點和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3 圓和圓的位置關(guān)系知識點一 圓與圓的位置關(guān)系（1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種； 如果兩個圓只有一

10、個公共點，就說這兩個圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2）圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為 d，兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2，則有兩圓外離dr1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交 2-r1dr1+r2兩圓內(nèi)切d=r2-r1兩圓內(nèi)含dr2-r124.3 正多邊形和圓知識點一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成 n（n 是大于 2 的自然數(shù)）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個

11、正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二 正多邊形的性質(zhì)（1）正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n 個全等的直角三角形。（2） 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正 n 邊形共有 n 條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正 n 邊形也是中心對稱圖形，正 n 邊形的中心就是對稱中心。（3）正 n 邊形的每一個內(nèi)角等于(n - 2) ´180°，中心角和外角相等，等于360°。nn24.4 弧長和扇形面積npR知識點一 弧長公式 l= 180nnpR在半徑為 R 的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長 C=2R，所以 n°的圓心角所對的弧長的計算公式 l=×2R=。360180知識點二 扇形面積公式npR 2在半徑為 R 的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積 S=R2，所以圓心角為 n°的扇形的面積為 S 扇形= 360。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：npR 2npR111S 扇形=360=180´2R =2 lR,所以s扇形=2 lR知