從梯子的傾斜程談起

1、第一章 直角三角形的邊角關(guān)系§1.1 從梯子的傾斜程度談起課時(shí)安排 2課時(shí)從容說課 直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問題，一般來說，這些實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問題. 本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第個(gè)銳角三角函數(shù)正切.因?yàn)橄啾戎?，正切是生活?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)

2、系的過程中，理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算. 本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義.并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計(jì)算，難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵(lì)他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對概念的理解.第一課時(shí)課 題§ 從梯子的傾斜程度談起(一)教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)

3、系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系. 2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算. (二)能力訓(xùn)練要求 1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn). 2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.提高解決實(shí)際問題的能力. 3.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲. 2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn) 1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系. 2.理解正切、

4、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn) 理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學(xué)方法 引導(dǎo)探索法.教具準(zhǔn)備 FLASH演示教學(xué)過程 1.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 用FLASH課件動(dòng)畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)： 問題1在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎? 問題2隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的

5、實(shí)際高度嗎? 通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決. 這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題§1.1從梯子的傾斜程度談起). .講授新課用多媒體演示如下內(nèi)容： 師梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的?請同學(xué)們看下圖，并回答問題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法? 生梯子AB比梯子EF更陡. 師你是如何判斷的? 生從圖中很容易發(fā)現(xiàn)ABC>EFD，所以梯子AB比梯子EF陡. 生我覺得是因?yàn)锳CED，所以只要比較BC

6、、FD的長度即可知哪個(gè)梯子陡.BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡. 師我們再來看一個(gè)問題(用多媒體演示)(2)在下圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的? 師我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問中得到什么啟示呢? 生在第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡. 師這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個(gè)更陡呢？生,.

7、,梯子EF比梯子AB更陡. 多媒體演示：想一想如圖，小明想通過測量B1C1：及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2)和有什么關(guān)系?(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論? 師我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學(xué)們思考上面的三個(gè)問題，再來討論小明和小亮的做法. 生在上圖中，我們可以知道RtAB1C1，和RtAB2C2是相似的

8、.因?yàn)锽2C2AB1C1A90°，B2AC2B1AC1，根據(jù)相似的條件，得RtAB1C1RtAB2C2. 生由圖還可知：B2C2AC2，B1C1AC1，得 B2C2/B1C1，RtAB1C1RtAB2C2.生相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得. 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到RtB2C2ARtRtB1C1A，仍能得到因此，無論B2在梯子的什么位置(除A外)， 總成立. 師也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的. 現(xiàn)在如果改變A的大小，A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎? 生A的大小改變，A的對邊與鄰邊的比值會改變. 師你又能得出什么結(jié)論呢? 生A的對

9、邊與鄰邊的比只與A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無關(guān).也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定. 師這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價(jià)? 生小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無關(guān)，即與直角三角形的大小無關(guān). 生但我覺得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成. 師這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地

10、應(yīng)用數(shù)學(xué). 由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示) 如圖，在RtABC中，如果銳角A確定，那么A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)比叫做A的正切(tangent)，記作tanA，即 tanA= . 注意： 1.tanA是一個(gè)完整的符號，它表示A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“”. 2.tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比. 3.tanA不表示“tan”乘以“A”. 4.初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，A是銳角的正切. 思考：1.B的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本

11、圖13，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎? 生1.B的正切記作tanB，表示B的對邊與鄰邊的比值，即 tanB=. 2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在圖13中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.師正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度. 如圖，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角的正切tan就是tan=. 這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡. .例題講解 多媒體演示例1如圖是甲，

12、乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡? 分析：比較甲、乙兩個(gè)自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tan、tan的值，比較大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中， tan= . 乙梯中， tan=.因?yàn)閠antan，所以乙梯更陡.例2在ABC中，C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值. 分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長度. 解：在ABC中，C90°，所以AC=16(cm),tanA=tanB=所以tanA=，tanB=. ，隨堂練習(xí) 1.如圖，ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎? 分析：要求tan

13、C.需從圖中找到C所在的直角三角形，因?yàn)锽DAC，所以C在RtBDC中.然后求出C的對邊與鄰邊的比，即的值. 解：ABC是等腰直角三角形，BDAC， CDAC×31.5. 在RtBDC中，tanC =1. 2.如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn)B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001) 分析：由圖可知，A是坡角，A的正切即tanA為山的坡度. 解：根據(jù)題意： 在RtABC中，AB=200 m，BC55 m，AC=192.30(m).TanA=所以山的坡度為0.286. .課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊

14、角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt”中定義了tanA. 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的一個(gè)很重要的概念. .課后作業(yè) 1.習(xí)題1.1第1、2題. 2.觀察學(xué)校及附近商場的樓梯，哪個(gè)更陡. .活動(dòng)與探究 (江蘇鹽城)如圖，RtABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結(jié)果保留根號) 過程要求DB的長，需分別在RtABC和RtACD中求出B

15、C和DC.根據(jù)題意，在RtABC中，ABC=45°，AB12 m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在RtADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BCAC，可求出CD. 結(jié)果根據(jù)題意，在RtABC中，ABC=45°，所以ABC為等腰直角三角形.設(shè)BC=ACxm，則 x2+x2122， x=6， 所以BCAC=6. 在RtADC中，tanD=, 即CD=9. 所以DBCD-BC9-6=3(m).板書設(shè)計(jì)§ 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：在RtABC中，銳角A確定，那么A的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個(gè)比叫做A的正切，記作tanA，即tanA.注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時(shí)小結(jié)備課資料 例1(浙江沼興)若某人沿坡度i3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高_(dá)米. 分析