專題復習二相似的綜合應用

1、專題復習二 相似的綜合應用相似三角形的判定與性質與圓、函數、特殊三角形等知識的綜合應用要注意知識之間的關聯，應用轉化化歸思想化繁為簡1.如圖所示，將ABC沿DE翻折，折痕DEBC，若=，BC=9，則DE等于(B).A.2 B.3 C.4 （第1題）（第2題） （第3題）2.如圖所示，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB邊上有一點D，且AD=AC，過點D作DEAB交BC于點E，則BDE的周長是(B).A.3 B.4 C.5 D.63.如圖所示，E為ABCD的邊CB的延長線上一點，若=，則的值為(C).A. B. C.2 D.34.如圖所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，

2、如果對角線AC與BD交于點O，AOB，BOC，COD，DOA的面積分別記作S1，S2，S3，S4，那么下列結論中，不正確的是(B).A.S1=S3 B.S2=2S4 C.S2=2S1 D.S1S3=S2S4（第4題） （第5題） （第6題）5.如圖所示，在ABC中，BC=3，G是ABC的重心，如果DGBC，那么DG= 1 6.如圖所示，四邊形ABCD內接于O，BD是O的直徑，AC和BD交于點E，AC=BC，DE=2cm，AD=5cm，則O的半徑為 cm（第7題）7.如圖所示，在ABC中，AB=AC，過點C作CFAB交ABC的中位線DE的延長線于點F，連結BF，交AC于點G.（1）求證：=.（2

3、）若AH平分BAC，交BF于點H，求證：BH是HG和HF的比例中項.【答案】(1)CFAB，DE是中位線，四邊形BCFD是平行四邊形.DE=EF.（第7題答圖）(2)如答圖所示，連結CH.AH平分BAC，BAH=CAH.在ABH與ACH中，,ABHACH.BH=CH，HCG=DBH=HFC.又GHC=CHF，GHCCHF.=.CH2=HGHF.又BH=CH，BH2=HGHF.BH是HG和HF的比例中項.8.如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點（不與點A，B重合），EFDE交BC于點F（1）求證：ADEBEF（2）設正方形的邊長為4，AE=x，BF=y.求y關于x的函數表達式及x的取值范

4、圍（3）當x取什么值時，y有最大值？求出這個最大值，并指出該函數圖象的變化情況（第8題）【答案】(1)四邊形ABCD是正方形，DAE=EBF=90.ADE+AED=90.EFDE，AED+BEF=90.ADE=BEF.ADEBEF.(2)ADEBEF，=.=，即y=-x2+x.y關于x的函數表達式為y=-x2+x(0x4).(3)y=-x2+x=- (x2-4x)=- (x-2)2+1.當x=2時，y有最大值，y的最大值為1.該函數圖象在對稱軸x=2的左側部分是上升的，右側部分是下降的.9.在RtABC中，C=90，P是BC邊上不同于點B，C的一動點，過點P作PQAB于點Q，連結AP（1）試說

5、明不論點P在BC邊上何處，都有PBQ與ABC相似（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，APQ面積最大？求出最大值（3）在RtABC中，兩條直角邊BC，AC滿足關系式BC=AC，是否存在一個的值，使RtAQP既與RtACP全等，也與RtBQP全等？（第9題）【答案】(1)PQB=C=90，B=B，PBQABC.(2)設BP=x（0x4）.AB=5.PBQABC，.SAPQ=當x=時，APQ的面積最大，最大值是.(3)存在.RtAQPRtACP，AQ=AC.RtAQPRtBQP，AQ=BQ.AQ=QB=AC.在RtABC中，BC2=AB2-AC2.BC=AC.當=時，RtAQP既與RtACP

6、全等，也與RtBQP全等.10.如圖所示，矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE，BF，DF，DG，CG分別相交于點P，Q，K，M，N.設BPQ，DKM，CNH的面積依次為S1，S2，S3.若S1+S3=20，則S2的值為(B).A.6 B.8 C.10 D.12（第10題）（第11題） （第12題）11.如圖所示，在RtABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB的平分線相交于點E，過點E作EFBC交AC于點F，則EF的長為(C). 12.已知有一塊等腰三角形紙板，在它的兩腰上各有一點E和F，把這兩點分別與底邊中點連結，并沿著這兩條線段剪下兩個三角形，所得的這兩個三角形

7、相似，剩余部分（四邊形）的四條邊的長度如圖所示，那么原等腰三角形的底邊長為(B). 13.如圖所示，ACBC于點C，AC=BC，D是BC上一點，連結AD，與ACB的平分線交于點E，連結BE.若SACE=，SBDE=，則AC= 2 .（第13題） （第14題）14.如圖所示，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，DME=A=B=45，且DM交AC于點F，ME交BC于點G，連結FG，若AB=4，AF=3，則BG= ，FG= 15.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中點，ADAE.（1）求證：AC2=CDBC.（2）過點E作EGAB，并延長EG至點K，使EK=EB.

8、若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FHGH.若B=30，求證：四邊形AKEC是菱形.（第15題）【答案】(1)AC平分BCD，DCA=ACB.又ACAB，ADAE，DAC+CAE=90，CAE+EAB=90.DAC=EAB.又E是BC的中點，AE=BE.EAB=ABC.DAC=ABC.ACDBCA.=.AC2=CDBC.（第15題答圖）(2)如答圖所示，連結AH.由(1)知ACDBCA,ADC=BAC=90.點H，D關于AC對稱，AHBC.EGAB，AE=BE，G是AB的中點.HG=AG.GAH=GHA.點F為AC的中點，AF=FH.HAF=FHA.FHG=AHF+AHG=

9、FAH+HAG=CAB=90.FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B=30，AC=BC=EB=EC.又EK=EB，EK=AC.四邊形AKEC是平行四邊形.又AC=EC，平行四邊形AKEC是菱形.16.矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使點B落在CD邊上的點P處（1）如圖1所示，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP，OP，OA求證：OCPPDA.若OCP與PDA的面積比為14，求邊AB的長（2）如圖2所示，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連結BP.動點M在線段AP上（不與點P，A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作MEBP于點E.試問動點

10、M，N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，請說明理由（第16題） （第16題答圖）【答案】(1)四邊形ABCD是矩形，C=D=90.DPA+DAP=90.APO=B=90DPA+CPO=90.CPO=DAP.C=D，OCPPDA.OCP與PDA的面積比為14，.CP=AD=4.CO=CB-BO,CO=8-OP，在RtPCO中，OP2=CO2+CP2,即OP2=(8-OP)2+16,解得OP=5.AB=AP=2OP=10.邊AB的長為10.(2)如答圖所示，作MQAN交PB于點Q.AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQP.MP=MQ.BN=PM，B

11、N=QM.MP=MQ，MEPQ，EQ=PQ.MQAN，QMF=BNF.MFQNFB.QF=QB.EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.由(1)得PC=4，BC=8，PB=4.EF=PB=2.在(1)的條件下，點M，N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2.（第17題）17.【東營】如圖所示，在正方形ABCD中，BPC是等邊三角形，BP，CP的延長線分別交AD于點E，F，連結BD，DP，BD與CF相交于點H，有下列結論：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PHPC.其中正確的是(C).A. B. C. D.【解析】BPC是等邊三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=

12、60.在正方形ABCD中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90，ABE=DCF=30.BE=2AE.故正確.PC=CD，PCD=30，PDC=75.FDP=15.DBA=45，PBD=15.FDP=PBD.DFP=BPC=60，DFPBPH.故正確.FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30.而DFP=60，PFDPDB.PFD與PDB不會相似.故錯誤.PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD.=.DP2=PHPC.故正確.故選C.圖1 圖2（第18題）18.【常德】如圖所示，在RtABC中，BAC=90，點D在BC上，連結AD，作BFAD分別交AD于點E，交AC于點F.

13、（1）如圖1所示，若BD=BA，求證：ABEDBE.（2）如圖2所示，若BD=4DC，取AB的中點G，連結CG交AD于點M，求證：GM=2MC.AG2=AFAC.【答案】(1)在RtABE和RtDBE中，BA=BD,BE=BE,RtABERtDBE.（第18題答圖）(2)如答圖所示，過點G作GHAD交BC于點H.AG=BG，BH=DH.BD=4DC，設DC=1，BD=4，BH=DH=2.GHAD，=.GM=2MC.過點C作CNAC交AD的延長線于點N，則CNAG.AGMNCM.=.由知GM=2MC，2NC=AG.BAC=AEB=90，ABF=CAN=90-BAE.又BAF=ACN=90,BAFACN.=.AB=2AG，=.2CNAG=AFAC.AG2=AFAC.19.在ABC中，P為邊AB上一點.（1）如圖1所示，若ACP=B，求證：AC2=APAB.（2）若M為CP的中點，AC=2.如圖2所示，若PBM=ACP，AB=3，求BP的長.如圖3所示，若ABC=45，A=BMP=60，求BP的長.圖1圖圖3（第19題） 圖1 圖2（第19題答圖）【答案】(1)ACP=B，A=A，ACPABC.=.AC2=APAB.(2)如答圖1所示，取AP在中點G，連結MG，設AG=x，則PG=x，BG=3-x.M是PC的中點，MGAC，MG=AC=1.BGM=A.又ACP=PBM，APCG