五年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題09：圖形的計(jì)數(shù)

1、九 圖形的計(jì)數(shù)(A) 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題A3A1OA2A4A5A7A6A8A9A10A11A121下圖中一共有（ ）條線(xiàn)段.ADCB2. 如右上圖,O為三角形A1A6A12的邊A1A12上的一點(diǎn),分別連結(jié)OA2,OA3,OA11，這樣圖中共有_個(gè)三角形.3. 下圖中有_個(gè)三角形.4. 右上圖中共有_個(gè)梯形.5. 數(shù)一數(shù)(1)一共有( )個(gè)長(zhǎng)方形.BCDA(2)一共有( )個(gè)三角形. (1) (2)6. 在下圖中,所有正方形的個(gè)數(shù)是_.7. 在一塊畫(huà)有44方格網(wǎng)木板上釘上了25顆鐵釘(如下圖),如果用線(xiàn)繩圍正方形,最多可以圍出_個(gè).ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWYX

2、hhhhhhhhhhhhhhhh8. 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有44個(gè)釘(如右圖).以每個(gè)釘為頂點(diǎn),你能用皮筋套出正方形和長(zhǎng)方形共_個(gè).9. 如下圖,方格紙上放了20枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有_個(gè).hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh10. 數(shù)一數(shù),下圖是由_個(gè)小立方體堆成的.要注意那些看不見(jiàn)的.二、解答題11. 右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比.NMFEDCBAO7654321 12. 下圖中,AB、CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少？14將 ABC的每一邊4等分，過(guò)各分點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)，在所得下圖中有多

3、少個(gè)平行四邊形？九 圖形的計(jì)數(shù)（B） 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1. 下圖中長(zhǎng)方形（包括正方形）總個(gè)數(shù)是_.2. 右上圖中有正方形_個(gè),三角形_個(gè),平行四邊形_個(gè),梯形_個(gè).3. 下圖中共出現(xiàn)了_個(gè)長(zhǎng)方形.4. 先把正方形平均分成8個(gè)三角形.再數(shù)一數(shù),它一共有_個(gè)大小不同的三角形.5. 圖形中有_個(gè)三角形.6如右上圖,一個(gè)三角形分成36個(gè)小三角形.把每個(gè)小三角形涂上紅色或藍(lán)色,兩個(gè)有公共邊的小三角形要涂上不同的顏色,已知涂成紅色的三角形比涂成藍(lán)色的三角形多,那么多_個(gè).7. 下圖是由小立方體碼放起來(lái)的,其中有一些小方體看不見(jiàn).圖中共有_個(gè)小立方體. 8. 右上圖中共有_個(gè)正方形.9.

4、有九張同樣大小的圓形紙片,其中標(biāo)有數(shù)碼“1”的有1張；標(biāo)有數(shù)碼“2”的有2張；標(biāo)有數(shù)碼“3”的有3張，標(biāo)有數(shù)碼“4”的也有3張。把這九張圓形紙片如下圖所示放置在一起，但標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起，問(wèn)：如果M位上放置標(biāo)有數(shù)碼“3”的紙片，一共有_種不同的放置方法.M10. 如下圖,在2×2方格中,畫(huà)一條直線(xiàn)最多可穿過(guò)3個(gè)方格,在3×3方格中,畫(huà)一條直線(xiàn)最多可穿過(guò)5個(gè)方格.那么10×10方格中,畫(huà)一條直線(xiàn)最多可穿過(guò)_個(gè)方格.二、解答題11. 把一條長(zhǎng)15cm的線(xiàn)段截為三段，使每條線(xiàn)段的長(zhǎng)度是整數(shù)，用這三條線(xiàn)段可以組成多少個(gè)不同的三角形？（當(dāng)且僅當(dāng)兩三角形的三條邊可

5、以對(duì)應(yīng)相等時(shí)，我們稱(chēng)這兩個(gè)三角形是相同的.）12. 有一批長(zhǎng)度分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的細(xì)木條,它們的數(shù)量都足夠多,從中適當(dāng)選取3根木條作為三條邊.可圍成一個(gè)三角形,如果規(guī)定底邊是11厘米長(zhǎng),你能?chē)啥嗌賯€(gè)不同的三角形?13. 下圖中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形,它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)(共同的頂點(diǎn)算一個(gè)),以其中不在一條直線(xiàn)上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中,與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個(gè)?14. 有同樣大小的立方體27個(gè),把它們豎3個(gè),橫3個(gè),高3個(gè),緊密地沒(méi)有縫隙地搭成一個(gè)大的立方體(見(jiàn)圖).如果用1根很直的細(xì)鐵絲扎進(jìn)這個(gè)大立方體的話(huà),

6、最多可以穿透幾個(gè)小立方體?答 案 1 30由例1注可知圖形中每邊有3+2+1=6（條）線(xiàn)段，因此整個(gè)圖形中共有65=30條線(xiàn)段.2. 37將 A1A6A12分解成以O(shè)A6為公共邊的兩個(gè)三角形. OA1A6中共有5+4+3+2+1=15(個(gè))三角形, OA6A12中共有6+5+4+3+2+1=21(個(gè))三角形,這樣,圖中共有15+21+1=37(個(gè))三角形. 3. 15這樣的問(wèn)題應(yīng)該通過(guò)分類(lèi)計(jì)數(shù)求解.此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn)C的和不含頂點(diǎn)C的兩大類(lèi).含頂點(diǎn)C的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上的和在線(xiàn)段BD上的兩小類(lèi).分類(lèi)圖解如下:DCCBBAAADBDCB 所以原圖有 (3+2+1)+(3+2

7、+1)+3 =15(個(gè))三角形. 4. 18梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(個(gè)),所以一共有63=18(個(gè))梯形.5. 108,36(1)因?yàn)殚L(zhǎng)方形是由長(zhǎng)和寬組成的,因此可分別考慮所有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的可能種數(shù).按照前面所介紹的線(xiàn)段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長(zhǎng)和寬的線(xiàn)段條數(shù),將它們相乘就是所有長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù).因?yàn)锳B邊上有8+7+6+2+1=36條線(xiàn)段，AD邊上有2+1=3條線(xiàn)段，所以圖中一共有363=108個(gè)長(zhǎng)方形.(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(個(gè)),所以一共有66=36(個(gè))三角形.6. 30由例5注可知整個(gè)圖形中共有12+22+32+42=30個(gè)正方形.7. 50此類(lèi)問(wèn)題

8、一般用分類(lèi)方法計(jì)數(shù).對(duì)正方形的邊長(zhǎng)分八類(lèi)計(jì)數(shù)如下:邊長(zhǎng)為AB的正方形有16個(gè)；邊長(zhǎng)為AC的正方形有9個(gè)；邊長(zhǎng)為AD的正方形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為AE的正方形有1個(gè)；邊長(zhǎng)為DF的正方形有9個(gè)；邊長(zhǎng)為CF的正方形有8個(gè)；邊長(zhǎng)為BF的正方形有2個(gè)；邊長(zhǎng)為CG的正方形有1個(gè).所以,最多可圍出50個(gè)正方形.8. 44因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L(zhǎng)方形,所以可以把正方形看成長(zhǎng)方形,這樣就不必分別求正方形和長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù),仍用分類(lèi)計(jì)數(shù)的方法求解.先考慮有一組對(duì)邊平行于BC的長(zhǎng)方形有多少個(gè).這一類(lèi)按其水平邊的位置可分為6小類(lèi),即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC.同樣,其豎直邊也分為6類(lèi).所以這一類(lèi)有66=36個(gè)長(zhǎng)方形.A

9、BCDEF 另一類(lèi)是沒(méi)有邊平行于BC的.這一類(lèi)又分類(lèi)兩小類(lèi),分解圖如下頁(yè)圖所示,其中分別有6個(gè)和2個(gè)長(zhǎng)方形.hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh所以，一共可套出正方形和長(zhǎng)方形36+6+2=44個(gè).9 21以正方形的面積大小分類(lèi)計(jì)數(shù).設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1，則正方形面積為1的有9個(gè)；面積為2的有4個(gè)；面積為5的有2個(gè)；面積為8的有4個(gè)；面積為13的有2個(gè)；所以，共有9+4+2+4+2=21個(gè)正方形.10 30將原立體圖形從左至右分類(lèi)計(jì)算，共有11+7+5+7=30個(gè).11. 白色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+6=21，黑色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+7=28，所以它們的比=.

10、12. 解法一本圖中三角形的個(gè)數(shù)為(1+2+3+4)4=40(個(gè)).下面求梯形的個(gè)數(shù).梯形由兩底唯一確定.首先在AB,CD,EF,MN中,考慮兩底所在的線(xiàn)段,共有(43)2=6(種)選法；對(duì)上述四條線(xiàn)段中確定的兩條線(xiàn)段，共有10（10=4+3+2+1）個(gè)梯形.共60個(gè)梯形.故所求差為20.解法二在圖 中可數(shù)出4個(gè)三角形,6個(gè)梯形,梯形比三角圖形圖形多2個(gè).而在題圖中,這種恰有10個(gè).故題圖中,梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為210=20(個(gè)).13. 邊長(zhǎng)2厘米的正方形:22=4(個(gè)) 紅色邊長(zhǎng)4厘米的正方形(4-1)4=12(個(gè)) 紅色(4-2)(4-2)=4(個(gè)) 白色邊長(zhǎng)8厘米的正方形(8-

11、1)4=28(個(gè)) 紅色(8-2)(8-2)=36(個(gè)) 白色邊長(zhǎng)9厘米的正方形(9-1)4=32(個(gè)) 紅色 (9-2)(9-2)=49(個(gè)) 白色 所以,紅色小正方形共有4+12+28+32=76(個(gè))白色小正方形共有4+36+49=89(個(gè))注本題的要求是由邊長(zhǎng)為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長(zhǎng)是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方陣問(wèn)題來(lái)解.四周的小正方形是涂紅色的,可看成是空心方陣,因此,涂紅色正方形的個(gè)數(shù)等于4(n-1).其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣，所以，涂白色的正方形的個(gè)數(shù)等于(n-2)(n-2).比如,由邊長(zhǎng)為1厘米的正方形組成邊長(zhǎng)

12、為9厘米的正方形,涂紅色的小正方形的個(gè)數(shù)是:4(9-1)=32(個(gè)),涂白色的小正方形的個(gè)數(shù)是:(9-2)(9-2)=49(個(gè)).14. 將平行四邊形分為三類(lèi):尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右下方.就第類(lèi)而言: 型6個(gè)； 型3個(gè)，與其對(duì)稱(chēng)的3個(gè)； 型1個(gè)，與其對(duì)稱(chēng)的1個(gè)； 型1個(gè)；共15個(gè).同理,第、類(lèi)也分別含15個(gè)，故上述三類(lèi)平行四邊形共45個(gè).注這樣數(shù)平行四邊行,很麻煩,又易出錯(cuò).我們?cè)噲D找到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系:先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形,延長(zhǎng)各邊必與BC有4個(gè)交點(diǎn),特殊情況下,第二個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)重合；反過(guò)來(lái)，BC上的任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個(gè)平行四邊形，也就是說(shuō)，邊

13、不與BC平行的平行四邊形的個(gè)數(shù)與BC上的四交點(diǎn)組和三交點(diǎn)組的數(shù)目一樣多。由于BC上有5個(gè)交點(diǎn)，其中可構(gòu)成5個(gè)4點(diǎn)組；10個(gè)3點(diǎn)組，即邊不平行于BC的平行四邊形有15個(gè)。同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行。由此可知，共有45個(gè)平行四邊形。答 案 1. 90利用例1和例4公式可直接計(jì)算:(5+4+3+2+1)×(3+2+1)=15×6=90(個(gè))注注意,由長(zhǎng)方形、正方形的意義可知，正方形一定是長(zhǎng)方形，但反之不然.故求長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)時(shí),不必把正方形分開(kāi)考慮.2. 3個(gè)正方形; 18個(gè)三角形; 6個(gè)平行四邊形; 8個(gè)梯形.3. 18根據(jù)這個(gè)圖形的特點(diǎn),我們先數(shù)出下圖(1)中長(zhǎng)方

14、形的個(gè)數(shù)為(2+1)×(2+1)=9個(gè)；然后在圖(1)的內(nèi)部添上一個(gè)長(zhǎng)方形得到圖(2).這時(shí)新產(chǎn)生的長(zhǎng)方形有(2+1)×(2+1)=9個(gè).至此已將圖(1)還原為題圖,同時(shí)題圖中的長(zhǎng)方形已全部數(shù)完.因此,原圖中共有長(zhǎng)方形.(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(個(gè)). (1) (2) 4. 16具體分法如下圖所示.基中小三角形有8個(gè),由兩個(gè)小三角形組成的三角形有4個(gè),由四個(gè)小三角形組成的三角形有4個(gè),所以共有三角形8+4+4=16(個(gè)). 5. 72把圖中最小三角形作為基數(shù),然后按含有幾個(gè)基數(shù)的三角形分類(lèi)進(jìn)行解答.含一個(gè)基數(shù)的三角形,共有1

15、6個(gè)；含兩個(gè)基數(shù)的三角形，共有24個(gè)；含四個(gè)基數(shù)的三角形，共有20個(gè)；含八個(gè)基數(shù)的三角形，共有8個(gè)；含十六個(gè)基數(shù)的三角形，共有4個(gè).因此,整個(gè)圖形中共有16+24+20+8+4=72(個(gè))三角形.6. 6圖中的三角形可分成兩種,一種是尖頭向上的,一種是尖頭向下的.從圖上可以看出,每種三角形必須涂成同一顏色.為了使涂紅色的三角形比涂藍(lán)色的三角形多,尖頭向上的三角形要涂紅色.每一橫排,尖頭向上的三角形要比尖頭向下的三角形多一個(gè),共有6排,因此,涂紅色的比涂藍(lán)色的三角形多6個(gè).7. 38將原立體圖形從左至右分類(lèi)計(jì)算,共有16+9+5+7+1=38個(gè). 8. 115單獨(dú)的一個(gè)4×4的方格中有

16、12+22+32+42=30個(gè)正方形,兩個(gè)4×4的方格如原圖重疊后,重疊部分有5個(gè)正方形.所以原圖中一共有30×4-5×3=115個(gè)正方形.9. 6根據(jù)標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起的條件，當(dāng)M位置上放標(biāo)有數(shù)碼“3”的紙片時(shí)，其余兩個(gè)標(biāo)有數(shù)碼“3”的紙片，只能放置在下面左右兩邊兩個(gè)圓圈內(nèi).如下圖所示.41M244233 這樣圓圈繞M圓緊接著M的六個(gè)圈旋轉(zhuǎn)一周,回到初始狀態(tài),可知共有六種不同的放置方法. 10. 19如果直線(xiàn)與大正方形的兩橫邊都有交點(diǎn),則與所有的橫邊產(chǎn)生11個(gè)交點(diǎn),與豎邊至多9個(gè)交點(diǎn),共20個(gè)交點(diǎn).如果直線(xiàn)與大正方形的一橫邊和一豎邊有交點(diǎn),則與橫邊至

17、多產(chǎn)生10個(gè)交點(diǎn),與豎邊至多產(chǎn)生10個(gè)交點(diǎn),共20個(gè)交點(diǎn).20個(gè)交點(diǎn),將直線(xiàn)分成21部分,其中在大正方形有內(nèi)有19部分,故至多穿過(guò)19個(gè)方格.注穿過(guò)一個(gè)方格,在直線(xiàn)上截出一條線(xiàn)段,線(xiàn)段由直線(xiàn)上的交點(diǎn)決定,關(guān)鍵是求交點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō),通常總是從簡(jiǎn)單情況入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情況,歸納出一般的規(guī)律,從而得出10×10方格的結(jié)果.請(qǐng)同學(xué)們用歸納法試一試!11. 最大邊為7時(shí),另兩邊之和為8,可構(gòu)成4個(gè)(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大邊為6時(shí)，另兩邊之和為9，可構(gòu)成2個(gè)（3+6，4+5）不同的三角形;最大邊為5時(shí)

18、,可構(gòu)成1個(gè)(5+5)不同的三角形.所以一共可組成7個(gè)不同的三角形.12. 由三角形的一邊為11厘米,及其他邊長(zhǎng)必為1,2,.，11厘米，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，可知兩邊之和應(yīng)介于12厘米和22厘米之間（包含12厘米和22厘米）.這樣,共可圍成36個(gè)不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以圍成36個(gè)不同的三角