2004高考數(shù)學(xué)試題(福建理)及答案

1、 精誠(chéng)凝聚=A，=成就夢(mèng)想 2004年普通高等學(xué)校招生福建卷理工類數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 的.1,復(fù)數(shù)(L10的值是1 i第I卷(選擇題共60分)5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求A. - 12. tan15° +cot15B. 1 的值是C. 32D.32B. 2+ V3C. 4D.4.333.命題命題A.4.已知形,p：若 a、bC R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;q：函數(shù) y= Jpx=1J2 的定義域是(一0°, 1 U 3, +8).則“p或q”為假 8.5且4”為真 C

2、. pM q假 D.p假q真Fi、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) 則這個(gè)橢圓的離心率是F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若 ABF2是真正三角,32-.2333m、n是不重合的直線，a、 a , m / 3 ,則 a / 3 ；若 aI5.已知命題的個(gè)數(shù)是A. 0B. 1( )_、3D .23是不重合的平面，有下列命題：若3 =n,m / n,則 m / a 且 m / 3 ;若 ( )mU am± a則 a / 3若m 淇中真C. 2D. 36.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 的安排方案種數(shù)為4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排( )2名,則不同A. A2C2

3、1 八 2八 2B. 一 A6c4222c. A2A22D. 2A27.已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是 y;y=fT(x),則函數(shù)y= 1% x)的圖象是yy.OQ(A)(B)O 18.已知a、b是非零向量且滿足(a 2b )，a , (b 2a)JiA.一671B.一39.若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288,則|im(1nf： xA. 2B. 110.如圖，A、B、O為球心，則直線A. arcsin 史1(C)5 二D.6)的值是D.BC=4 ,D.32 二2 二AB=2 , )arccos_3X2 x1C. 一C. arcsin3f(x)=2-|x-4|,則(北u處，河流PQ上n2

4、二C. 一25/ ABC=60 ° ,(D)± b ,則a與b的夾角是2C是表面積為48 Tt的球面上三點(diǎn)， OA與截面ABC所成的角是(B. arccosl!11.定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)xC3, 5時(shí),A . f(sin )<f(cos )B . f(sin1)>f(cos1) C. f(cos- )<f(sin )12.如圖，的沒(méi)岸 選一處B地在A地的正東方向 4 km處，C地在B地的北偏東 30°方向2 kmPQ (曲線)上任意一點(diǎn)到 A的距離比到 B的距離遠(yuǎn)2 km.現(xiàn)要在曲線M建一座碼頭，向 B、C兩

5、地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算，從 M到B、M到C修建公 翻點(diǎn)亮心燈/(AvA) 照亮人生 .D. f(cos2)>f(sin2) 精誠(chéng)凝聚=A，=成就夢(mèng)想 A . (2 J7 2) a 萬(wàn)兀C. (27+1) a 萬(wàn)元路的費(fèi)用分別是 a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是()B. 5a萬(wàn)元D. (2 <3 +3) a 萬(wàn)元第II卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置 13,直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x- 2y15=0所截得的弦長(zhǎng)等于 .1 x -1 (x = 0)14 .設(shè)函數(shù)f(x)=(；在x=

6、0處連續(xù)，則實(shí)數(shù)a的值為a x (x=0)15 .某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是 0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.有下列結(jié)論：他第 3次擊中目標(biāo)的概率是 0.9;他恰好擊中目標(biāo) 3次的概率是0.93X0.1； 他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (寫出所有正 確結(jié)論的序號(hào)).16 .如圖1,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起， 做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)，其容積最大. 三、解答題：本大題共 6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17 .(本小題滿分

7、12分)_設(shè)函數(shù) f(x)=a b ,其中向量 a=(2cosx, 1), b =(cosx, v'3sin2x), xC R.(i)若 f(x) =1 - /3且 x6 - -,求 x；- 五m、n的值.(n)若函數(shù) y=2sin2x的圖象按向量c =(m , n)(|m|<鼻)平移后得到函數(shù) y=f(x)的圖象，求實(shí)數(shù)18 .(本小題滿分12分)10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答又其中的 8甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì) 2題才算合格.(I )求甲答對(duì)試題數(shù) E的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(n)求甲、乙兩

8、人至少有一人考試合格的概率19 .(本小題滿分12分)在三錐S-ABC中， ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面 SAC，平面SA=SC=2 J3 , M、N 分別為 AB、SB 的中點(diǎn).(I )證明：AC XSB;(n )求二面角 NCM B的大??；(出)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.20 .(本小題滿分12分).若不能進(jìn)行技術(shù)改造,某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在1未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500(1+寸)萬(wàn)元(n為正整

9、數(shù)).(I )設(shè)從今年起的前 n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式；(n)依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？21 .(本小題滿分14分) 2x - a已知f(x)=、(xCR)在區(qū)間1, 1上是增函數(shù).x 2(I )求實(shí)數(shù)a的值組成的集合 A;(n)設(shè)關(guān)于x的方程f(x) =1的兩個(gè)非零實(shí)根為xx2.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù) m,使得不等式m2+tm+1 > x1xx2|對(duì)任意aCA及tC 1, 1恒成立？若存在，求 m的取值范圍；若

10、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22.(本小題滿分12分)如圖，P是拋物線C: y=1x2上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.2(I )若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段 PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；I ST I I ST I(n )若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與 x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)T,試求11十1的取值范圍|SP| |SQ|翻點(diǎn)亮心燈 Z/(AvA)照亮人生 精誠(chéng)凝聚=A，=成就夢(mèng)想 2004年普通高等學(xué)校招生福建卷理工類數(shù)學(xué)試題參考答案 翻點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生1.A2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、13.4.514.1/215.1 ,

11、 316.2/317.本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,12分.三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能,考查運(yùn)算能力.滿分解：(I )依題設(shè)，f(x)=2cos2x+ 73jisin2x=1+2sin(2 x+).JT由 1+2sin(2x+)=1 *3 ,得 sin(2JT.3x + ?)=-Tji- WxWrtrtn即 x=- 一4(n)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m, n)平移后得到函數(shù) y=2sin2(x m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.nf(x)=2sin2( x+ 一 )+1. |m|<，2運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力E的概率分布如下：.滿分12分.01

12、 123P1311301026甲答對(duì)試題數(shù)E的數(shù)學(xué)期望18.本小題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí), 解：(I )依題意，甲答對(duì)試題數(shù)E E =0X -+1 X +2X +3X3010(H)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為213C6 c4 c660 20 2A、B,則P(A尸C130120 13P(B尸213C8 c2 c856 56 14G012015因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，方法一：.甲、乙兩人考試均不合格的概率為P( A B )=P( A )P( B )=1 - 2 )(1 )=31545.甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1 - P( A B)=1 -=.45 45答：甲、乙兩人至少有一

13、人考試合格的概率為4445方法二：.甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為P=P(A - B)+P(A - B)+P(A - B尸P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) = 2X±+1><H+2><H=44 .315 315 315 45精誠(chéng)凝聚 =A_A=成就夢(mèng)想 _HIII答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為444519.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角, 推理能力.滿分12分.解法一：(I)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、DB. SA=SC , AB=BC , ACXSD 且 ACBD,AC，平面 SDB,又SB匚平面SDB,

14、 ACXSB.(n ) AC，平面 SDB , AC u 平面 ABC , 平面 SDB，平面 ABC.過(guò)N作NE，BD于E, NE，平面 ABC ,過(guò)E作EFCM于F,連結(jié) NF, 則 NFL CM. / NFE為二面角 N CM B的平面角. 平面 SAC，平面 ABC , SDXAC ,. SDL平面 ABC. 又. NEL平面 ABC , NE / SD.點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯 11 O 1 1 -SN=NB, NE= - SD= - JSA2 -AD2 =-，12-4*2 ,且 ED=EB.222在正 ABC中，由平幾知識(shí)可求得 EF= 1 MB= 1 ,

15、42在 RtNEF 中，tan/NFE=皿=2及EF '，二面角 N CMB的大小是 arctan2 <2 .3(出)在 RtNEF 中，NF= qEF2 +EN2 =，2Sacmn = _ CM - NF=3 , Sacmb = _ BM - CM=2 3 3 . 222設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,1. 1- Vb-cmn =V n-cmb , NE _L 平面 CMB，Sacmn ' h- - Sacmb , NE,33，h-ScMB NE-4'2 .即點(diǎn)S'CMN3B到平面CMN的距離為解法二：（I ）取 AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、OB. SA-SC

16、, AB-BC , . ACSO 且 ACBO. 平面 SAC，平面 ABC ,平面 SAC n平面 ABC-AC SO上面 ABC，.二 SOX BO.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則 A (2, 0, 0), B (0, 2 <3 , 0) , C ( 2, 0, 0),S (0, 0, 2丁2), M(1 , <3 , 0), N(0 ,石，4). . AC = ( 4, 0, 0), SB- (0, 2 屈,2五),AC SB- (4, 0, 0) (0, 2 73, 2衣)-0, ACXSB.翻點(diǎn)亮心燈Z/(AvA)照亮人生 精誠(chéng)凝聚=A，=成就夢(mèng)想 翻點(diǎn)亮心燈z/

17、(AvA)照亮人生(n)由(I)得 CM = (3,J3,0),MN = ( 1,0,J2).設(shè)n=(x,y, z)為平面 CMN的一個(gè)法I.CM - n=3x+、3 y=0,則 取 z=1,則 x= ,2 , y=- <6 ,M MN - n=-x+V2 z=0,. n=(聞,-卮 1),又OS=(0, 0, 2J2)為平面ABC的一個(gè)法向量，cos(n,，二面角(ID)由OS尸 n OS.|n|OS| 31N CMB 的大小為 arccos-3(I)(n)得 mB= ( 1, J3, 0), n= ( J2, <6 , D 為平面 CMN 的一個(gè)法向量,點(diǎn)B到平面CMN的距離d

18、= |n MB | = llZ |n|3 ,20.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 滿分12分.解：(I )依題設(shè), A n=(500 20)+(500 40)+ +(500 20n)=490n 10n2 ；111500 B n=500(1+ )+(1+=)+ +(1+ =)600=500n ：- - 100.2222(n) BnAn=(500n 絆一100) -(490n-10n2)2n2500=10n +10n - 100=10n(n+1)2n50-10.2n因?yàn)楹瘮?shù)y= x(x+1)當(dāng) 1 w nW 3 時(shí)，n(n+1)501

19、0在(0, +8)上為增函數(shù),2n 10W 12 10<0;2n8“25050當(dāng) n>4 時(shí)，n(n+1) -10>20-10>0.216，僅當(dāng) n>4 時(shí)，Bn>An.答：至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)21.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí),數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿分14分.考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用解：(I )f/(x)=一一 24 2ax - 2x22(x2 2)222(x ax 2)22(x2 2)2, f(x)在1, 1上是增函數(shù)， f/ (x)>0

20、對(duì) xC -1, 1恒成立，即x2ax2W0對(duì)xC1, 1恒成立.設(shè)中(x)=x2- ax-2,方法cp(1)=1-a-2<0?(-1) =1 +a-2<0對(duì)xC 1, 1, f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)A= a|- 1<a< 1.方法二：a=1 時(shí)，(-1)=0 以及當(dāng) a=1 時(shí)， (1)=0精誠(chéng)凝聚 =A_A=成就夢(mèng)想 _HIIIa 一a 一->0 <0-2或 (2(-1) =1 a -2 < 0(1) =1-a-2w00 w a w 1或 一1 w a w 0:對(duì)xC 1, 1, f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng) A= a| 1w aw 1.a=1

21、 時(shí))f，( 1)=0 以及當(dāng) a=-1 時(shí)，f，(1)=0(n ) 由 =一, 得 x ax 2=0, =a +8>0x 2 x.X1, x2是方程 x2ax 2=0 的兩非零實(shí)根，x1+x2=a, x1x2=2,從而 x1一x2|=%；'(x1 +x2)2 -4x1x2 =qa2 +8.,一 1< a< 1, ' |x1-x2|= va +8 0 3.要使不等式 m2+tm+1刁x1 一x2|對(duì)任意aCA及tC1, 1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+1 >3對(duì)任意tC1, 1恒成立，即m2+tm 2>0對(duì)任意tC1, 1恒成立.設(shè) g(t)=m2

22、+tm 2=mt+(m 2- 2),方法一： v g(- 1)=m2- m- 2> 0, g(1)=m 2+m -2>0,y m>2 或 mW 2.所以，存在實(shí)數(shù) m,使不等式m2+tm+1引xi x2|對(duì)任意a C A及t C 1, 1恒成立，其取值范圍是m|m >2, 或 m< 2.方法二：當(dāng)m=0時(shí)，顯然不成立；當(dāng)m w 0時(shí)， y m>0 , g( 1)=m2 m 2> 0 或 m<0 , g(1)=m2+m 2> 0u m>2 或 mW 2.所以，存在實(shí)數(shù) m,使不等式 m2+tm+1 >|x 一x2|對(duì)任意aCA及t

23、C-1, 1恒成立，其取值范圍是m|m>2, 或 m< 2.22.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力滿分12分.解：(I)設(shè) P(x1，y1)，Q(&, y2), M(x0, y),依題意 xw0,%>0, y2>0.由y= x2,2得 y/ =x.，過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k«= x1， 11.直線l的斜率k=一=-,k切小直線 l 的方程為 y xi2= (x xi), 2 x1方法一：聯(lián)立消去y,得x2+ x - xi2_ 2=0.XiM是PQ的中點(diǎn)x1 x211 21x0= =-, y0=

24、Xi (x0 Xi)2Xi2 Xi1消去 xi,得 y0=x0 +2+1(x0W0),2x0 o1 PQ中點(diǎn)M的軌跡萬(wàn)程為 y=x2+ -+l(x 0).2xo方法二：1 2 一 12 X1 x2由 y1=一Xi ? y2= X2 ? xo= ?2 22得 y1 y2= X12 X22= (X1 + X2)(X1 X2)=X0(X1 X2),222川| Y _ y1 一 y2 _lx _1人Xo k 1 5X1 - X2X1-1 X1 ,Xo將上式代入并整理，得21yo=Xo + 2- +1(X0 豐 0),2Xo1PQ中點(diǎn)M的軌跡萬(wàn)程為 y=X + -+1(x o).2Xo(n)設(shè)直線 l:y=kx+b,依題意 kwo, bw。，則 T(o, b).分別過(guò)P、Q作PP/，x軸，QQ/，y軸，垂足分別為 PI Q-則|ST| . |ST| |OT| |OT|b|b|SP| |SQ| |PP| |QQ| |y1 | |y2由 丫=；*2 , y=kx+b 消去