一階線性微分方程

1、復(fù)習(xí) 1 微分方程的概念。2 微分方程的階數(shù)。3 一階線性微分方程的概念。4 分離變量法。講解新課第三節(jié) 一階線性微分方程形如 (1)的方程，叫做一階線性微分方程其中為已知函數(shù)。當(dāng)，方程（1）變形為 （2）稱其為方程（1）的一階齊次線性微分方程.當(dāng)不恒等于零，方程叫做一階非齊次線性微分方程.一 一階線性齊次微分方程的解法一階線性齊次方程（2）顯然是可分離變量的方程，下面先求其通解。將分離變量得，兩邊積分得，。這就是的通解公式。例1 求微分方程的通解.解：分離變量，可得 ，兩端積分 ，得 ，因此 ，其中即為齊次線性方程的通解.（或直接代入公式）例2 如圖，電路在換路前已處于穩(wěn)態(tài)，電感的電流為。時

2、開關(guān)閉合，它將串聯(lián)電路短路，求短路后的電路中的零輸入響應(yīng)電流。解 在所選參考方向下，由得換路后的電路方程，元件的電壓電流關(guān)系為，代入方程得，它是一階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為，由，得，解得電感的零輸入響應(yīng)電流為二 一階線性分齊次微分方程的解法因?yàn)榈耐ń夤綖?，顯然當(dāng)為常數(shù)時，它不是的解，由于非齊次線性方程右端是的函數(shù)，因此，可設(shè)想將中的常熟換成待定函數(shù)后，式子有可能是的解。令為非齊次線性方程的解，并將其代入后得，即，兩邊積分得。將代入即得非齊次線性方程的通解為。上式稱為一階非齊次線性方成通解公式。 這種求解方法稱為常數(shù)變異法。用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的通解的步驟為：（1）首先求解非

3、齊次線性方程所對應(yīng)的齊次線性方程的通解.（2）將齊次線性方程通解中的任意常數(shù)，變易為待定函數(shù)，設(shè)為非齊次線性方程的解，將含有待定函數(shù)的解代入原方程，解出.（3）寫出所求方程的通解.例3 求微分方程的通解.解：所給方程的齊次線性方程為 ，它是可分離變量的微分方程。分離變量，可得 ，兩端積分 ，得 ，因此 ，其中即為齊次線性方程的通解.因?yàn)樗簖R次方程的通解為，因此設(shè)原方程的通解為.將和 代入到方程中去，有，整理，得，此為可分離變量的微分方程，可以解得. 因此原微分方程的通解為 ，其中為任意常數(shù).例4 求微分方程（1），（2）的通解.（1）解一 原方程可化為 ，令 ，則 ，即 ，兩邊取積分 ，積分

4、得 ，將代入原方程，整理得原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對應(yīng)的齊次方程 ，得其通解為 .設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡得 ， ，所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數(shù)）.（2）解一 原方程對應(yīng)的齊次方程 分離變量，得，兩邊積分，得 ，用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得 ，故原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 這里，代入通解的公式得 =（為任意常數(shù)）.例5 求方程的通解。解 將原方程改寫成 這是一階非齊次線性方程。此時，由公式得方程的通解為。例6求方程的特解，初始條件。解 原方程可改寫為 ，由通解公式得方程的通解為 =，將代人，求得特解為。練習(xí) 求下列微分方程的通解.（1），（2），（3），（4），（5）。答案 (1)，(2)，(3)(4)，(5)。小結(jié) 常數(shù)變易法主要適用線性的一階微分方程，若方程能化為標(biāo)準(zhǔn)形式，也可直接利用公式