三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計(jì)

1、目錄摘要11 設(shè)計(jì)內(nèi)容21.1 設(shè)計(jì)題目21.2 設(shè)計(jì)任務(wù)2 繪制三階系統(tǒng)的根軌跡32.1 常規(guī)方法繪制根軌跡32.2用MATLAB繪制根軌跡43 不同條件下K的取值53.1 當(dāng)-8為閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，K的取值53.2 主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比為0.7時(shí)的k值54 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差64.1 位置誤差系數(shù)74.2 速度誤差系數(shù)74.3 加速度誤差系數(shù)84.4 輸入信號(hào)為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差85 繪制單位階躍響應(yīng)曲線86 頻域特性分析96.1繪制Bode圖和Nyquist曲線96.2相角裕度和幅值裕度127 加入非線性環(huán)節(jié)判斷穩(wěn)定性137.1 求死區(qū)特性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)137.2 根據(jù)負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist

2、圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性148 設(shè)計(jì)體會(huì)15參考文獻(xiàn).17 摘要三階系統(tǒng)是以三級(jí)微分方程為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。在控制工程中，三階系統(tǒng)非常普遍，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜。在工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)三階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，或直接用MATLAB軟件進(jìn)行高階系統(tǒng)分析。在課程設(shè)計(jì)中，要掌握用MATLAB繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡和系統(tǒng)響應(yīng)曲線，用系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)估算三系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，以及在比較點(diǎn)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間加一個(gè)非線性環(huán)節(jié)判斷其穩(wěn)定性。1 設(shè)計(jì)內(nèi)容1.1 設(shè)計(jì)題目三階系統(tǒng)的綜合分析和設(shè)計(jì)初始條件：某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-1所示： 圖1-1 圖1-21.2 設(shè)計(jì)任務(wù)要求完成的主要任務(wù): （包括

3、課程設(shè)計(jì)工作量及其技術(shù)要求，以及說(shuō)明書(shū)撰寫(xiě)等具體要求）1、試?yán)L制隨根軌跡2、當(dāng)-8為閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，K=?3、求取主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比為0.7時(shí)的K值（以下K取這個(gè)值）4、分別求取位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)及輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)及單位加速度信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差5、用Matlab繪制單位階躍相應(yīng)曲線6、繪制Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和相角裕度7、如在比較點(diǎn)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間加1個(gè)死區(qū)非線性環(huán)節(jié)，如圖1-2所示，其中，試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并根據(jù)負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性8、認(rèn)真撰寫(xiě)課程設(shè)計(jì)報(bào)告。 繪制三階系統(tǒng)的根軌跡圖2 系統(tǒng)結(jié)

4、構(gòu)圖由圖1可得，三階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G（s）= 2.1 常規(guī)方法繪制根軌跡根據(jù)繪制根軌跡的規(guī)則，可知該系統(tǒng)的根軌跡繪制步驟如下：（1）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。根軌跡起于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別為0、-3、-6，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。（2）根軌跡的分支數(shù)。n=3，m=0，所以分支數(shù)為3 。且它們是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。（3）根軌跡的漸進(jìn)線。本系統(tǒng)根軌跡的漸近線有三條，據(jù)其與實(shí)軸的夾角公式: 把n=3,m=0代入求得：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為： (4)根軌跡在實(shí)軸上的分布。實(shí)軸上的某一個(gè)區(qū)域，若其右邊開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。因此實(shí)軸上-，-6 -3,0必為根軌跡。(5)確

5、定根軌跡的分離點(diǎn)。該系統(tǒng)中沒(méi)有有限零點(diǎn)，由法則五得：于是分離點(diǎn)方程為：因此可以求得分離點(diǎn)d=-1.3,d=-4.7（不合題意，舍去）(6)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。閉環(huán)特征方程式為 對(duì)上式應(yīng)用勞斯判據(jù)，有： 1 18 9 k k令勞斯表中行的首項(xiàng)為零，得k= 162,根據(jù)行的系數(shù)，得輔助方程 9+k=0代k=162并令s=jw,解得交點(diǎn)坐標(biāo)2.2用MATLAB繪制根軌跡MATLAB為繪制根軌跡編程如下：num=1; den=1 9 18 0; syms=tf(num,den); rlocus(syms)MATLAB產(chǎn)生的根軌跡如圖2所示： 圖3 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡3 不同條件下K的取值3.1 當(dāng)-8為

6、閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，K的取值由圖1的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 閉環(huán)特征方程式為 把s=-8代入上式中解得 K=803.2 主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比為0.7時(shí)的k值 在控制工程實(shí)踐中，通常要求控制系統(tǒng)即具有較快的響應(yīng)速度，又具有一定的阻尼程度，此外還要求減少死區(qū)間、間隙和庫(kù)侖摩擦等非線性因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響，因此高階系統(tǒng)的增益常常調(diào)整到是系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)。這時(shí)，可以用二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)來(lái)估算高階系統(tǒng)的性能。 由于主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比=0.7<1,屬于欠阻尼系統(tǒng)。由公式得： = 設(shè)系統(tǒng)的自然頻率為，阻尼比，由上述用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)分析高階系統(tǒng)的方法可知，距虛軸最近的一對(duì)閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)為： 代入數(shù)

7、據(jù)： 閉環(huán)特征方程式為 代入s的方程化簡(jiǎn)得: 0.686-12.6+k+(0.686-8.82+12.6)=0 分別令實(shí)部和虛部為零得到兩個(gè)方程： 0.686-12.6+k=00.686-8.82+12.6=0解得 （舍） 所以取。所以，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為4 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)的誤差 e(t)一般定義為輸出量的希望值與實(shí)際值之差，一般情況下采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差e(t)來(lái)進(jìn)行計(jì)算分析?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定系統(tǒng)誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示 4.1 位置誤差系數(shù)對(duì)于單位階躍輸入，R(s)=1/s,求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令，稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 對(duì)于0型系統(tǒng)，=0，則

8、=；當(dāng)1時(shí)，=。 由圖1系統(tǒng)得： 由上式得=1，則=04.2 速度誤差系數(shù) 對(duì)于單位斜坡輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。 于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 由圖1系統(tǒng)得：=0.978=1.022 4.3 加速度誤差系數(shù)對(duì)于單位拋物線輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令 稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 則對(duì)于圖1系統(tǒng)得：=0=4.4 輸入信號(hào)為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (=17.617)當(dāng)時(shí)，=，=0 當(dāng)時(shí)，=0.978，=2.556當(dāng)時(shí)，=0，=則當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí) =+=5 繪制單位階躍響應(yīng)曲線MATLAB繪制單位階躍響應(yīng)曲線編程如下：num=17.6;

9、 den=1 9 18 17.6;syms=tf(num,den);step(tf(num,den) 即系統(tǒng)單位階躍相應(yīng)曲線為圖3所示： 圖4 系統(tǒng)單位階躍相應(yīng)曲線6 頻域特性分析6.1繪制Bode圖和Nyquist曲線6.1.1 繪制Bode圖Bode圖又稱對(duì)數(shù)頻率特性曲線圖，由對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。手工繪制伯德圖的步驟如下：1、將傳遞函數(shù)寫(xiě)成伯德標(biāo)準(zhǔn)型，確定開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)和各轉(zhuǎn)折頻率。 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 由伯德標(biāo)準(zhǔn)型容易看書(shū)，開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)為，轉(zhuǎn)折頻率為，。2、 確定低頻段：由傳遞函數(shù)可知該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，即有微分環(huán)節(jié)，所以繪制低頻段，可過(guò)， 作一條斜

10、率為-20dB/dec的斜線。3、 繪制開(kāi)環(huán)對(duì)幅頻特性的漸近線：將低頻段延伸到第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率處。因?yàn)榈谝粋€(gè)轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，所以，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的漸近線下降20dB/dec,再延伸到第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處，因?yàn)橐彩菓T性環(huán)節(jié)，所以再下降20dB/dec。4、 繪制相頻特性：繪制各個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，然后逐點(diǎn)疊加。一般在一些特征點(diǎn)上進(jìn)行疊加，如各個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處。5、 修正對(duì)數(shù)幅頻特性。Matlab編寫(xiě)程序時(shí)可以利用函數(shù)Bode和margin,但是margin函數(shù)可以直接讀出相角裕度和幅值裕度，所以下面用margin函數(shù)繪制BODE圖MATLAB繪制BODE圖編程如下：num=17.6

11、; den=1 9 18 0; syms=tf(num,den);margin(num,den)繪制出的BODE圖如圖2-3所示： 圖5 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖從圖中可以看出：幅值裕度h=19.3dB,穿越頻率=4.24rad/sec。 相角裕度r=64deg，截止頻率=0.924rad/sec。從幅值裕度和相角裕度可以看出這是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。6.1.2 繪制Nyquist曲線Nyquist曲線圖又稱開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線圖，是利用Nyquist判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)。MATLAB繪制Nyquist曲線編程如下：num=17.6; den=1 9 18 0; syms=tf(num,den);n

12、yquist(syms)繪制出的Nyquist曲線如圖圖6 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist曲線 6.2相角裕度和幅值裕度相角裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性再后度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。設(shè)為系統(tǒng)的截止頻率，顯然：由上式可得： =1解得： =0.92 rad/s相角裕度： =64.1幅值裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。設(shè)為系統(tǒng)的穿越頻率，則在處的相角： = ； 由上式得 =180 4.24 rad/s幅值裕度為 =19.3上述為筆算結(jié)果，通過(guò)MATLAB繪制的Bode圖中得到的相角裕度 為，幅值裕度為19.3，兩種方法

13、得到結(jié)果基本吻合。7 加入非線性環(huán)節(jié)判斷穩(wěn)定性 圖7 加非線性環(huán)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在比較點(diǎn)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間加一個(gè)死區(qū)特性非線性環(huán)節(jié)，如圖6所示。7.1 求死區(qū)特性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)由正弦輸入信號(hào)、死區(qū)特性可得死區(qū)特性環(huán)節(jié)輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 由于為奇函數(shù)，所以=0,而又為半周期內(nèi)對(duì)稱，故 死區(qū)特性的描述函數(shù)為 代入得： 即得到描述函數(shù)為 7.2 根據(jù)負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 據(jù)圖2得，對(duì)于線性環(huán)節(jié)， 解得穿越頻率為： 非線性環(huán)節(jié)為死區(qū)特性，負(fù)倒描述函數(shù)為即的曲線如圖7中橫軸射線所示。即曲線此時(shí)在實(shí)軸上由-指向-0.5的直線，而此時(shí)奈氏曲線過(guò)負(fù)實(shí)軸交于-0.02833，沒(méi)有包圍曲線，

14、根據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)（若曲線不包圍負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定;若包圍，則系統(tǒng)不穩(wěn)定），該系統(tǒng)穩(wěn)定。圖8 負(fù)倒描述函數(shù)曲線與的Nyquist曲線8 設(shè)計(jì)體會(huì)通過(guò)這次自動(dòng)控制原理課程設(shè)計(jì)，我學(xué)到了關(guān)于MATLAB方面的很多知識(shí)，MATLAB它有著強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，處理速度快，精度高，它不僅可以用來(lái)繪制曲線，而且可以用來(lái)幫助解方程，以及做仿真處理，幫助驗(yàn)證理論分析的真確性。這次我做的是一個(gè)三階系統(tǒng)的綜合分析和設(shè)計(jì)，主要完成的任務(wù)是繪制根軌跡繪制單位階躍響應(yīng)求穩(wěn)態(tài)誤差繪制BODE圖和Nyquist曲線求幅值裕度和相角裕度以及加入非線性死區(qū)利用負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist曲線來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)

15、定性。這些問(wèn)題在課堂上老師都講過(guò)，但是做起課程設(shè)計(jì)時(shí)還是遇到了一點(diǎn)困難，對(duì)于加入非線性死區(qū)利用負(fù)倒描述函數(shù)和Nyquist曲線來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性這方面我比較陌生。但是通過(guò)翻閱資料，認(rèn)真分析，我最終還是解決了問(wèn)題。根軌跡法是一種十分便捷得分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，了解到根軌跡的基本概念、根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，并從閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系推導(dǎo)出根軌跡方程，把他轉(zhuǎn)化為常用的相角條件和模值條件形式，最終會(huì)出根軌跡。對(duì)于不能采用一、二及系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定比較復(fù)雜，通過(guò)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式。由于非線性系統(tǒng)形式多樣，一般難以求得非線性微分方程的解析解，只能采用工程上的近似方法，如相平面法、描述函數(shù)法、逆系統(tǒng)法等，本次課設(shè)中運(yùn)用 描述函數(shù)法分析含有死區(qū)特性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)。這次課程設(shè)計(jì)是對(duì)平時(shí)學(xué)習(xí)的一個(gè)檢驗(yàn)，我不僅學(xué)會(huì)了用理論來(lái)分析檢驗(yàn)實(shí)踐，也學(xué)會(huì)了用實(shí)踐來(lái)驗(yàn)證