流體混沌的生與滅

1、流體混沌的生與滅Marianne Freiberger關(guān)鍵詞： 流體動力學(xué), 混沌, 納維-斯托克斯方程人類空間充滿了流體“大部分宇宙充滿著類型不一的流體，”對流體動力學(xué)有特別興趣的美國Haverford學(xué)院物理教授Jerry Gollub說，“它們的重要性體現(xiàn)在天體物理、工程、醫(yī)藥、健康、化學(xué)、地球物理等眾多學(xué)科里。流體運動構(gòu)成多尺度意義下的自然現(xiàn)象，具有影響社會的許多應(yīng)用?！比藗儗α黧w的迷戀歷史悠久。流體的代表物水具有如此多樣的能力屈服卻強大、包容卻自由、寧靜、混亂、甚而憤怒已經(jīng)激勵一代代詩人和科學(xué)家；流體的科學(xué)研究可以追溯到阿基米德，或可能更早些。今天科學(xué)家

2、研究所有的流體，包括氣體、顆粒狀流體、粘性流體及彈性流體。應(yīng)用范圍從納米技術(shù)的微觀流體用途，到了解血液流動、眼淚的形成、空氣動力學(xué)、預(yù)測天氣模式，以至了解外層空間的氣體云行為。關(guān)于流體流動本質(zhì)的問題比比皆是?！傲黧w動力學(xué)不像基本粒子物理那樣被幾個特殊問題所左右，”Gollub說?！傲黧w動力學(xué)中包含著巨大的多樣性?！彪m然流體力學(xué)的許多研究由應(yīng)用驅(qū)動，但很有意思的是它同樣存在著一些需要回答的根本問題。其中最基本的問題數(shù)學(xué)上如何最佳刻畫流體的流動在最一般情形下仍然未被解答。當(dāng)流體平滑地流過一個通道時，相關(guān)的數(shù)學(xué)刻畫沒有問題。但是你怎樣對付混沌的甚至湍急的流動，比如說急促的山澗激流？傳統(tǒng)處理圖1：二維

3、流體的速度向量場示意圖。藍色和紅色分別表示正時針和反時針旋轉(zhuǎn)。給定的磁場和電流導(dǎo)致了流體的運動。為設(shè)置場景，我們先來看看關(guān)于流體流動的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)處理。想象在某個容器內(nèi)運動著的一種流體，你想描繪它在一個時間段內(nèi)的運動。這個運動的最重要的描繪物是空間中每一點和時間上每一點的流體速度。速度是向量；它的方向表示了流體的流動方向，而它的大小則是流體的速度值。因為空間和時間是連續(xù)的，一個完整的描述將需要無窮多個向量，在每個位置和每個時刻都要有一個。空間點和時刻相應(yīng)的速度向量函數(shù)稱為一個速度場。在某些情況下，19世紀(jì)初期法國工程師與物理學(xué)家Claude-Louis Navier和英國數(shù)學(xué)家George Gab

4、riel Stokes共同建立的流體運動的納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程可用來得到速度場。他們的方程基于質(zhì)量與動量守恒律，將不同位置和不同時刻的速度變化聯(lián)系起來。因為這些方程包含了變化率，以導(dǎo)數(shù)的方式成形，因此被稱為偏微分方程組。這些方程組在給定條件下的解（假如存在并能被找到）恰恰就是可能的速度向量函數(shù)。上述描述僅是理論刻畫，但實際情形并非那么簡單。偏微分方程組一般難以求解，尤其當(dāng)它們是非線性的時候，納維-斯托克斯方程也不例外。在某些簡單情形下，有可能得到解析解，即能顯式寫下來的解，但在眾多物理上有趣的情形下，例如湍流，解析解根本得不到。更有甚者，沒人知道一般情形下三維不可壓

5、縮流體有物理意義的解是否存在。這里“不可壓縮”表示流體的密度處處相同，數(shù)學(xué)上即流體速度場的散度處處為0。事實上，納維-斯托克斯方程通解的存在性證明是數(shù)學(xué)上最重要的問題之一；美國的克萊數(shù)學(xué)研究所(Clay Mathematics Institute)為此懸賞了一百萬美元的獎金。看到包括飛機制造在內(nèi)的眾多現(xiàn)代工程都依賴于流體動力學(xué)，這些理論上的不完善似乎令人擔(dān)憂。然而,為了實際目的，科學(xué)家和工程師利用理論方法、計算機模擬和實驗數(shù)據(jù)在時空上來近似速度場。數(shù)值方法得到的計算結(jié)果效果很好，但需要的計算能力是非常巨大的。設(shè)想你要描繪一個邊長為10厘米的立方體中的流體運動，你想知道間距為1毫米的速度，計算時

6、在每根數(shù)軸上你必須給出100個數(shù)點。你有三個數(shù)軸，故在時間的每一個時刻你總共必須指定一百萬個數(shù)。這樣面臨著計算機儲存和運算速度的需求。假設(shè)這點可以得到滿足，但對于這么多數(shù)據(jù)你能做什么呢？大量的變量即使是高速計算機處理也會變得困難。很多科學(xué)家并不欣賞蠻力的數(shù)值方法，因為這種處理方式完全談不上優(yōu)雅。問題是有描述流體流動的更好方法嗎？新思想圖2：實驗中出現(xiàn)的渦的結(jié)構(gòu)，這是一種規(guī)則渦的情形。圖3：規(guī)則的渦的形狀遭到破壞，導(dǎo)致了不可預(yù)測的混沌狀的空間結(jié)構(gòu)。Gollub相信試驗揭示隱藏模式的力量，正是試驗使得他和耶魯大學(xué)的合作者Nicholas Ouellette得到他們的新發(fā)現(xiàn)。在流體動力學(xué)里描述湍流是

7、個圣杯的東西。作為湍流的某種前兆，Ouellette和Gollub已經(jīng)提出了時空混沌的問題。展現(xiàn)時空混沌的流體在空間里是無序的，并在時間上也是不可預(yù)測的，也就是說流體目前狀態(tài)的知識并不能讓下一個瞬間可預(yù)測。相反，我們預(yù)測未來的能力隨著時間的推移逐漸變得不準(zhǔn)確，而這種不確定性依時間推移指數(shù)式地增加。另一方面，雖然該行為是復(fù)雜的，但它還不像“強湍流”那么野性，后者許多尺度（所有尺寸的渦流）的運動同時出現(xiàn)。“我們已經(jīng)感興趣于研究由漩渦集合組成的流動或流通區(qū)域,”Gollub說。這樣的流動能展示時空混沌?！澳阍鯓佑行У孛枥L這樣的流動？你真的如傳統(tǒng)上做的那樣需要整個的速度場信息，或用更簡單的東西達到目的

8、？” 在他們的試驗中，Ouellette和Gollub考慮一層薄薄的導(dǎo)電流體，在那里所有流體活動發(fā)生在一個水平面上。為跟蹤流體，他們把成千上萬的熒光聚苯乙烯示蹤粒子放進流體。然后他們用磁鐵和電流讓流體流動，并生成了一個漩渦圖案。通過改變電流，他們能夠控制流動的復(fù)雜性：對小驅(qū)動電流，漩渦停留在固定的位置上（見圖2），而當(dāng)電流大些時，這些漩渦掙脫出來，不可預(yù)測地移來移去。這就形成了一種混沌狀態(tài)?！半S著時間的推移，漩渦以一種極不規(guī)則的方式運動。十秒鐘后的模式與之前的看上去完全不同，并且似乎從不重復(fù)自己?！保ㄒ娤嚓P(guān)視頻1）圖4：在橢圓點和雙曲點附近的流體流動。英美的這個研究小組不是通過在大量

9、的點上測量速度來描述這個復(fù)雜的運動，而是決定尋找刻畫整個流動的幾何特征。他們感興趣于兩類特殊點的集合：那些稱為橢圓點的位于漩渦中心的點以及雙曲點或鞍點（見圖4）；后者這些點流入時沿著一個方向收斂而流出時則沿著另一個方向發(fā)散。橢圓點讓流線圍著它們旋轉(zhuǎn)，而雙曲點可導(dǎo)致各種復(fù)雜現(xiàn)象，比如在四個漩渦相遇之點，其相鄰漩渦對以不同方向旋轉(zhuǎn)。這些類型的點告訴你，在給定的時間點，哪里漩渦居中，哪里漩渦將結(jié)束而新的漩渦將開始。問題是這些信息可充分刻畫整個流動嗎？還有一個問題：如何找到這些特殊點？一個可能性是找速度為零的點，但這很難精確做到。但是Ouellette有一個聰明的想法。他發(fā)現(xiàn)靠近橢圓點示蹤粒子以非常小

10、的圓圈流通，而靠近雙曲點它們則以尖角相轉(zhuǎn)。在這兩種情況下，粒子的運動軌跡表現(xiàn)出非常大的曲率。這樣微分幾何的思想就可以派上用場了。通過測量示蹤粒子的運動軌跡的曲率，就可以給出找到這些特殊點的一個可靠方式。相關(guān)視頻1湍流的生與滅圖5：流體流動中的特殊點。圓圈代表橢圓點，而加號代表雙曲點。一旦找到了特殊點，通過跟蹤它們隨時間推移的行為，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了一些令人驚奇的模式。最有趣的現(xiàn)象是這些特殊點能生能滅，并且成對地出現(xiàn)或消失。 Gollub解釋道，“雙曲點和橢圓點可互相消滅對方，使其在該區(qū)域不留下特別的功能。同時也有相反的事情發(fā)生：一個雙曲點和一個橢圓點一起生成。這是非常驚人的。”（見圖5和相關(guān)視頻2）

11、盡管令人驚奇，但它能告訴我們關(guān)于系統(tǒng)有用的東西嗎？學(xué)者們使用不同的驅(qū)動電流來反復(fù)試驗，并在每個強度下測量特殊點的生滅頻率。他們發(fā)現(xiàn)了一個有趣的相關(guān)性：特殊點的發(fā)生率原來是流動中混沌烈度的一個極好測量。流體的典型速度可以由一個叫雷諾數(shù)的量來測量(參考The buzz of the bumblebees )。實驗發(fā)現(xiàn)，一旦通過某個臨界值，特殊點生滅頻率的增長速度線性依賴于雷諾數(shù)。更進一步的觀察發(fā)現(xiàn)，該速率與其它關(guān)于時空混沌強度的測度相關(guān)得很好。換言之，特殊點的生滅率為時空混沌狀態(tài)的一個典型特征。橢圓和雙曲點似乎也闡明關(guān)于流體流動的另一個重要問題，即混沌是否突然出現(xiàn)或逐步發(fā)展。Ouelle

12、tte和Gollub的實驗可以測定臨界雷諾數(shù)，這個臨界數(shù)能夠確定特殊點的生與滅，也就是時空混沌的起始點。在略低的雷諾數(shù)下，流體可能是弱依賴于時間，即弱不可預(yù)測的。Gollub說：“由于時空混沌的起始基本上是強大不可預(yù)測性的，所以了解流體不同狀態(tài)間的區(qū)別，是了解混沌的一個極重要的環(huán)節(jié)?！眻D6：在混沌流中的橢圓點和雙曲點的路徑。重要的問題是這些路徑能夠被數(shù)學(xué)描述嗎？Gollub和Ouellette的結(jié)論是實驗和復(fù)雜數(shù)學(xué)思想的一個有趣的聯(lián)姻，并且是在一個重要的方向上的充滿希望的第一步：用相對小數(shù)目的幾何特征來描述異常復(fù)雜的物理現(xiàn)象。但還有許多需要做的事情?！拔覀冞€未能以一個簡單的數(shù)學(xué)方式來表達我們的研究結(jié)果。例如，隨著時間的推移，我們的特殊點徘徊在周圍空間內(nèi)形成復(fù)雜糾纏的路徑（見圖6）。我們希望能用描述這些軌跡的方程來表達相關(guān)的流體動力學(xué)，至少在統(tǒng)計的意義上可以做到。這是一個我們還沒有達到的目標(biāo)，并且我們甚至不知道是否有可能做到這一點?！蹦軌蛴靡唤M描述幾何特征的簡單方程來取代流體運動的經(jīng)典納維-斯托克斯方程，這一遠景會激發(fā)許多流體動力學(xué)家。