拉普拉斯變換及反變換（課堂PPT）

1、第第1頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院拉普拉斯變換及反變換拉普拉斯變換及反變換一、拉氏變換及其特性一、拉氏變換及其特性1 1、 拉氏變換定義拉氏變換定義t tf0t tf 0edstF sL f tf tt如果有一個以時間 為自變量的實變函數(shù) ，它的定義域是 ，那么 的拉普拉斯變換定義為第第2頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院式中，s是復變數(shù)，js0ste sF sF tf tf tf sF（ 、 均為實數(shù)），稱為拉普拉斯積分；是函數(shù)的拉氏變化，它是一個復變函數(shù)，通常稱為的象函數(shù)，而稱為 的原函數(shù)；L是表示進行拉氏變換的符號。第第3頁頁控制工程基礎控制工程

2、基礎黃河科技學院黃河科技學院)()(tfLsF)()(1sFLtf tf拉氏變換是這樣一種變換，即在一定的拉氏變換是這樣一種變換，即在一定的條件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù)條件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù) sF變換為一個在復數(shù)域內(nèi)與之等價的變換為一個在復數(shù)域內(nèi)與之等價的復變函數(shù)復變函數(shù) 。第第4頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院1 1）、）、 典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換000)(tkttf（k =const） ttt)(tr0000tRa0t)(t0ttt00)(tr（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦

3、函數(shù)k)(tf)(tf)(tf1skdtketfLsFst0)()(單位階躍函數(shù)，記作單位階躍函數(shù)，記作1( t ) 0100)( 1tttstL1)( 1 （1 1）階躍函數(shù)（位置函數(shù)）階躍函數(shù)（位置函數(shù)）第第5頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（2 2）斜坡函數(shù)（又稱速度函數(shù)）斜坡函數(shù)（又稱速度函數(shù)）（k =const） 000)( 1)(tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦函數(shù)20)()(skdtktetfL

4、sFst單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)000)( 1)(ttttttf21)(ssF第第6頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（3）拋物函數(shù)（又稱加速度函數(shù)）拋物函數(shù)（又稱加速度函數(shù)）（k =const） 02100)( 121)(22tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 階躍函數(shù)（b） 斜坡函數(shù)（c） 拋物函數(shù)（d） 脈沖函數(shù)（e） 單位脈沖函數(shù)（f） 正弦函數(shù)30221)()(skdtekttfLsFst單位拋物函數(shù)單位拋物函數(shù)02100)( 121)(22ttttttf31)(ssF第第7頁頁控制工程基礎

5、控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（4）單位脈沖函數(shù)）單位脈沖函數(shù)000)(ttt)(tft)(tf00)(tt01tete1t1)()()(0dtetdtettLstst重要性質(zhì)重要性質(zhì) )0()()(fdttft001)()(dttdtt第第8頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))(tft)(tf00)(tt01tete1t)( 1)( 1)(tetetftt0sdteeeLsttt10指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)增長函數(shù)sdteeeLsttt10指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù) 指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)增長函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù) 第第9頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河

6、科技學院黃河科技學院)( 1sin)(tttf)(tft)(tf00)(tt01tete1t220)(21sinsdteeejtLsttjtj（6）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù))( 1cos)(tttf220)(21cosssdteeetLsttjtj第第10頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院第第11頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院第第12頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院2 2、拉氏變換的運算法則、拉氏變換的運算法則)()(sFetfLs)()()()(sbGsaFtbgtafL（1 1）線性定理）線性定理（2 2）延遲定

7、理）延遲定理)( tftt)(tf0)( tt0第第13頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院)()()()(0)(0sFdtetfdtetfetfeLtssttt)()(sFtfeLt（3 3）位移定理）位移定理第第14頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（4 4）相似定理）相似定理)(1)(asFaatfL（5 5）微分定理）微分定理)0()()(fssFtfL第第15頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院微分定理推論微分定理推論)0()0()0()0()()()1()2(21)( nnnnnnfsffsfssFstfL0)0()0()0()1(

8、 nfff特別在零初始條件下特別在零初始條件下 )()()(sFstfLnn第第16頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（6 6）積分定理）積分定理000)(1)(1)(tttdttfssFsdttfL)(1)(0sFsdttfLt)(1)(00sFsdttfLntnt 當初始條件為零時，則當初始條件為零時，則第第17頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（7 7）初值定理）初值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)0(ssFfs（8 8）終值定理）終值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(0ssFfs第第18頁頁控制工程基礎控制工程

9、基礎黃河科技學院黃河科技學院 sFdsdttfL)(ttf（1010）象函數(shù)的積分性質(zhì)象函數(shù)的積分性質(zhì) dssFttfLsttf)(（9 9）象函數(shù)的微分性質(zhì)）象函數(shù)的微分性質(zhì)的拉氏變換的拉氏變換的拉氏變換的拉氏變換第第19頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院（1111）卷積定理）卷積定理dtgftgtf)()()(*)(tdtgf0)()()()()()()(*)(sFsGsGsFtgtfL第第20頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院二、二、 拉氏反變換及其計算方法拉氏反變換及其計算方法jcjcstdsesFjsFLtf)(21)()(1式中式中表示拉普拉斯反

10、變換的符號表示拉普拉斯反變換的符號1L1 1、拉氏反變換、拉氏反變換第第21頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院2 2、拉氏反變換的計算方法、拉氏反變換的計算方法第第22頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院 應用部分分式展開式計算拉氏逆變換的應用部分分式展開式計算拉氏逆變換的一般步驟一般步驟 ：（1 1）計算有理分式函數(shù)）計算有理分式函數(shù)F F（s s）的極點；）的極點；（2 2）根據(jù)極點把）根據(jù)極點把F F（s s）的分母多項式進行因）的分母多項式進行因式分解、并進一步把式分解、并進一步把F F（s s）展開成部分分式；）展開成部分分式；（3 3）對）對F F

11、（s s）的部分分式展開式兩邊同時進）的部分分式展開式兩邊同時進行拉氏逆變換。行拉氏逆變換。第第23頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院1）當解出 為單根時，對 F(s) 作因式分解：ips ),.,2 , 1(ni nnnpskpskpskpspspssNsF.221121 ipsiipssFk)(其中第第24頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院例例651)(2ssssF0652 ss21s解：解：（1）F（s）的極點的極點32s（2）對）對F（s）的分母多項式進行因式分解、并把的分母多項式進行因式分解、并把F（s）展開展開成部分分式成部分分式32) 3)(2

12、(1651)(212scscsssssssF1)3)(2(1)2(21sssssc2) 3)(2(1) 3(32sssssc第第25頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院3221651)(2ssssssF（3）進行拉氏反變換）進行拉氏反變換tteesLsLsFLtf3211123221)()(第第26頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院2）當解出s有重根時，對F(s)作因式分解：)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)(1psrrpssFb 1)(11psrrpssFdsdb 1)(!11psrjjjrpss

13、Fdsdjb 1)()!1(11111psrrrpssFdsdrb其中 第第27頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院例例) 3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF1)3(123sssc2)3(122sssdsdc2) 3(1212221sssdsdc解：解：2) 3()2(1) 3(334sssssc第第28頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院3）當解出 s 有共軛復根時，對 F(s) 作因式分解：nnpsapsapspsasasF 332121)()( 11)(2121pspspspssFasa第

14、第29頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院例例)52(1)(2sssssF52)52(1)(23212sscscscsssssF212252jssss解：解：兩邊同乘以兩邊同乘以32)21(21121cjcjj512c533c51)52(1021ssssssc得得乘共軛(-1-j2)第第30頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF32)2(1)2(222) 3()2(1)(323ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(tte

15、ettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(第第31頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院52)52(1)(23212sscscscsssssF4) 1(44) 1() 1(4) 1(3212121sLssLssL)2sin(5)2sin22cos(tettett523151)52(1)(22sssssssssF21tan其中其中第第32頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院 tessLsLtft2sin555141351151211第第33頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院 用MATLAB展開部分分式 p

16、=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126設：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()( 在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126第第34頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函數(shù)residue用于實現(xiàn)部分分式展開，其句法為：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分別為展開后的留數(shù)及極點構成的

17、列向量、k為余項多項式行向量。第第35頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第第36頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院例例：求的部分分式展開。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)

18、r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展開式為：115 . 02335 . 241)(sssssF第第37頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院例例：求的部分分式展開。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1

19、 -5展開式為：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第第38頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院num, den = residue(r, p, k)函數(shù) residue 也可用于將部分分式合并，其句法為： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第第39頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院l 應用拉氏變換解線

20、性微分方程應用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表 達式；q 應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 第第40頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第第41頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院解解：對微分方程左邊進行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL 實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。第第42頁頁控制工程基礎控制工程基礎黃河科技學院黃河科技學院) 0() 0() 5()() 65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttx