新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、1高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論必修必修 1第二章 函數(shù)8、映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念如果 A，B 都是非空的數(shù)集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函數(shù)，記作 y=f(x)，其中 xA，yB.原象的集合 A 叫做函數(shù) y=f(x)的定義域，象的集合 C（CB）叫做函數(shù) y=f(x)的值域.函數(shù)符號(hào) y=f(x)表示“y 是 x的函數(shù)” ，有時(shí)簡記作函數(shù) f(x).9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如 3122xxy00 xx10、求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域）分式的分母不為零；01,11:xxy則如偶次方

2、根的被開方數(shù)大于或等于零；05,5:xxy則如對(duì)數(shù)的底數(shù)大于且不等于；10),2(log:aaxya且則如對(duì)數(shù)的真數(shù)大于；02),2(log:xxya則如指數(shù)為的底不能為零；,則xmy) 1(:如01m11、函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）（1）奇函數(shù)滿足， 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；)()(xfxf（2）偶函數(shù)滿足， 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；)()(xfxf 注：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則0)0(f根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮）當(dāng)時(shí)，都有，則在該區(qū)間

3、上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；21xx )()(21xfxf)(xf當(dāng)時(shí)，都有，則在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。21xx )()(21xfxf)(xf函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做單調(diào)（增/減）區(qū)間)(xf)(xf13、一元二次方程20axbxc(0)a （1）求根公式: （2）判別式：aacbbx2422, 1acb42（3）時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根；時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根；時(shí)方程無實(shí)根。000（4）根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理:，abxx21acxx2114、二次函數(shù)：一般式； 兩根式cbxaxy2(0)a )(21xxxxay(0)a （1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2

4、）對(duì)稱軸方程為：x=；24(,)24bacbaaab2（3）當(dāng)時(shí)，圖象是開口向上的拋物線，在 x=處取得最小值0aab2abac442 當(dāng)時(shí)，圖象是開口向下的拋物線，在 x=處取得最大值0aab2abac442（4）二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式的關(guān)系：x 時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)） ；時(shí)，無交點(diǎn)。00015、函數(shù)的零點(diǎn)使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。0)(xf0 x10 x1)(2 xxf注：函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根 xfy xfy x 0 xf16、函數(shù)零點(diǎn)的判定：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。那么，函數(shù)在 xfy

5、ba,0)()(bfaf xfy 區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在。ba, 0,cfbac使得17、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （，且）0,am nN1n xy02（1）.如；(2) . 如；（3）；nmnmaa233xxnmnmnmaaa112331 xx()nnaa（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.nnnaan,0|,0nna aaaa a18、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（）Qsra, 0（1）； （2）； （3）srsraaarssraa)(rrrbaab)(19、指數(shù)函數(shù)（且） ，其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是 Rxay 0a1axa20、若，則 叫做以 為底的對(duì)數(shù)。記作：（，）NabNbNalog1, 0aa0N

6、其中，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。aN注：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN21、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即中；Nalog0N（2）1 的對(duì)數(shù)等于 0，即 ；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于 1，即01loga1logaa22、常用對(duì)數(shù)：以 10 為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為：NlgNNlglog10自然對(duì)數(shù)：以 e(e=2.71828)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為：NlnNNelnlog23、對(duì)數(shù)恒等式：NaNalog24、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3) （注意

7、公式的逆用）loglog()naaMnM nR25、對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).logloglogmamNNa0a 1a 0m 1m 0N 推論或； .1loglogabbaloglogmnaanbbm26、對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是xyalog0a1axa), 0( 1a10 a圖像定義域：(0, )值域：R過定點(diǎn)（1，0）性質(zhì)增函數(shù)減函數(shù)1a10 a圖象（1）定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點(diǎn)（0，1） ，即 x=0 時(shí)，y=1性質(zhì)（4）在 R 上是增函數(shù)（4）在 R 上是減函數(shù)1y01x0 xxy01xy013取值范圍0 x1 時(shí)，y1 時(shí)，y0

8、0 x0 x1 時(shí)，y 0 時(shí)，有. 小于取中間22xaxaaxa 或.大于取兩邊22xaxaxaxa (2)、解一元二次不等式 的步驟：)0( , 02acbxax求判別式 acb42000求一元二次方程的解： 兩相異實(shí)根 一個(gè)實(shí)根 沒有實(shí)根畫二次函數(shù)的圖象 cbxaxy2結(jié)合圖象寫出解集解集 R02cbxax12xxxxx交abxx2解集 02cbxax21xxxx注：解集為 R 對(duì)恒成立 02cbxax)0(a02cbxaxRx0（3）高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)（4）分式不等式：先移項(xiàng)通分，化一邊為 0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。如解分式不等式 ：先移

9、項(xiàng) 通分再除變乘，解出。11xx; 011xx; 0) 1(xxx0) 12(xx87、線性規(guī)劃：（1）一條直線將平面分為三部分（如圖）：（2）不等式表示直線0CByAx0CByAx某一側(cè)的平面區(qū)域，驗(yàn)證方法：取原點(diǎn)（0，0）代入不等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點(diǎn)所在的一側(cè)。假如直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則取其它點(diǎn)來驗(yàn)證，例如取點(diǎn)（1，0） 。（3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，最大的為最大值。z0CByAx直線0CByAx0CByAx11選修選修 1-188、充要條件 （1）若，則是充分條件，是必要條件.pqpqqp（2）若，且，則是充要條件.pqqp

10、pq注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.89、邏輯聯(lián)結(jié)詞。 “p 或 q”記作：pq; “p 且 q”記作：pq; 非 p 記作：p 90、四種命題： 原命題：若 p，則 q 逆命題：若 q，則 p否命題：若p，則q 逆否命題：若q，則p注意：（1）原命題與逆否命題同真同假，但逆命題的真假與否命題之間沒有關(guān)系； （2）p 是指命題 P 的否定，注意區(qū)別“否命題” 。例如命題 P：“若，則” ，那么 P 的“否命題”0a0b是：“若，則” ，而p 是：“若，則” 。0a0b0a0b91、全稱命題：含有“任意” 、 “所有”等全稱量詞（記為）的命題，如 P：0) 1( ,2xR

11、x特稱命題：含有“存在” 、 “有些”等存在量詞（記為）的命題，如 q：1,2xRx注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如上述命題 p 和 q 的否定：p：， q：0) 1( ,2mRm1,2xRx92、橢圓定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P 為動(dòng)點(diǎn)，且(為常數(shù))則 P 點(diǎn)的軌跡是橢圓。aPFPF221a標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸: ； 焦點(diǎn)在 y 軸: ；12222byax)0( ba12222bxay)0( ba 長軸長=，短軸長=2b 焦距：2c 恒等式：a2-b2=c2 離心率：a2ace 93、雙曲線定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，（為常數(shù)） ，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是雙曲

12、線。aPFPF221a圖形：如圖標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸: 12222byax)0, 0(ba焦點(diǎn)在 y 軸: 12222bxay)0, 0(ba實(shí)軸長=，虛軸長=2b， 焦距：2c a2恒等式：a2+b2=c2 離心率：ace 漸近線方程：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸時(shí)，漸近線方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸時(shí)，漸近線方程為xabyxbay等軸雙曲線：當(dāng)時(shí)，雙曲線稱為等軸雙曲線，可設(shè)為。ba 22yx94、拋物線 定義：到定點(diǎn) F 距離與到定直線 的距離相等的點(diǎn) M 的軌跡是拋物線（如左下圖 MF=MH） 。l 圖形：方程 )0( ,22ppxy22,(0)ypxp 22,(0)xpyp22,(0)xpyp 焦

13、點(diǎn)： F F F F)0 ,2(p(,0)2p(0,)2p(0,)2p準(zhǔn)線方程： 2px2px 2py 2py 注意：幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=；2ppF)0 ,2(p準(zhǔn)線FMH1295導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示曲線在處的切線的斜率；)(0/xf)(xf0 xx k 導(dǎo)數(shù)的物理意義：表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度。)(0/xf0 x96、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) （C 為常數(shù)）. (2) .0C)()(1Qnnxxnn(3) . (4) .xxcos)(sinxxsin)(cos (5) ；. (6) ;. （7）xx1)(lnaaaxxln)(xxee )(21)1(xx97

14、、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）. （2）. （3）.()uvuv()uvuvuv2( )(0)uuvuvvvv98函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（a , b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；0)( xf)(xfy 如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。0)( xf)(xfy 注：若函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則)(xfy 0)( xf 若函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則)(xfy 0)( xf99、判別是極大（?。┲档姆椒?(0 xf(1)求導(dǎo)；)(xf （2）令=0，解方程，求出所有實(shí)根)(xf 0 x（3）列表，判斷每一個(gè)根左右兩側(cè)的正負(fù)情況：0 x)( xf如果在附近的左側(cè)，右側(cè)

15、，則是極大值；0 x0)( xf0)( xf)(0 xf 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.0 x0)( xf0)( xf)(0 xf100、求函數(shù)在閉區(qū)間a , b上的最值的步驟： （1）求函數(shù)的所有極值；)(xf （2）求閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值；)(),(bfaf （3）將各極值與比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。)(),(bfaf注意：（1）無論是極值還是最值，都是函數(shù)值，即，千萬不能寫成導(dǎo)數(shù)值。)(0 xf)(0/xf （2）若在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則不用與端點(diǎn)比較也知道這個(gè)極值就是函數(shù)的最值。選修選修 1-2101、復(fù)數(shù)，其中叫做實(shí)部，叫做虛部zabiab(1)復(fù)數(shù)的相等 .（

16、） ,abicdiac bd, , ,a b c dR(2)當(dāng) a=0,b0 時(shí),z=bi 為純虛數(shù);(3)當(dāng) b=0 時(shí),z=a 為實(shí)數(shù);(4)復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是biaz(5)復(fù)數(shù)的模=.zabi| z22ab(6)i2 =-1, （-i）2 =-1.(7) 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，zabi( , )a b102、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1)加：; ;()()()()abicdiacbd i(2)減：; ;()()()()abicdiacbd i(3)乘：; ;類似多項(xiàng)式相乘()()()()abi cdiacbdbcad i(4)除：（分子、分母乘分母共軛復(fù)數(shù)，此法稱為“分母實(shí)數(shù)化” ）)(

17、)(dicdicdicbiadicbia103、常用不等式：（1）重要不等式:若，則(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”號(hào)), a bR222abab（2）基本不等式:若，則 (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”號(hào))0, 0baabba2極大值極小值13 基本不等式的適用原則可口訣表示為：一正、二定、三相等 當(dāng)為定值時(shí)，有最小值，簡稱“積定和最小”abba 當(dāng)為定值時(shí)，有最大值，簡稱“和定積最大”ba ab104、推理：（1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊）（2）演繹推理：從一般到特殊。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理） 、小前提（所研究的特殊情況） 、

18、結(jié)論（根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷）105、證明：（1）直接證明：包括綜合法（又叫由因?qū)Чǎ┖头治龇ǎㄓ纸袌?zhí)果索因法）（2）間接證明：又叫反證法，通常假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立。坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程106、極坐標(biāo)系：其中 |OM （1）如圖，點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為),(（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：; ，sin,cosyx222yx xytan107、參數(shù)方程形如（*）)( ,)()(為參數(shù)ttgytfx參數(shù)方程是借助參數(shù) ，間接給出之間的關(guān)系,而普通方程是直接給出與的關(guān)系，如tyx,xy01 yx（1）圓的參數(shù)方程

19、是222ryx)( ,sincos為參數(shù)ryrx（2）橢圓的參數(shù)方程12222byax)0,( ,sincosbabyax為參數(shù)（3）參數(shù)方程與普通方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù)，得到普通方程。 消去參數(shù)的方法有：公式法：用公式等1cossin22 代入法：方程（*）中，由解出，代入)(tfx )(xht )(tgy 加減消元法：方程（*）中，兩式相加（減）消去參數(shù)t請(qǐng)同學(xué)們試著將圓的參數(shù)方程，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_，說說你用)( ,sincos為參數(shù)rbyrax的是什么方法？提示：解參數(shù)方程問題，通常先將參數(shù)方程化為普通方程，再求解。幾何證明選講幾何證明選講108平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推論 1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 推論 2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分國一腰109平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 推論：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線） ，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例110判定兩個(gè)三角形相似的方法：預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或延長線）相交，所構(gòu)成的三角形相似判定定理 1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理 2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定