北大《多元統(tǒng)計分析》答案

1、第二章 多元正態(tài)分布及參數的估計2-1 解：利用性質2, 得二維隨機向量YN2(my,Sy)，其中：2-2(1)證明：記Y1X1 +X2(1,1)X,Y2X1X2 (1,1)X，利用性質2可知Y1 , Y2為正態(tài)隨機變量. 又故X1 +X2和X1X2相互獨立.另證：記，則因故由定理2.3.1可得X1 +X2和X1X2相互獨立.（2）解：因為所以2-3 (1)證明：令，則. 因為由定理可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2)相互獨立.（2）解：因為，所以2-6 解：（1）記B=(3,-1,1), 由性質2得，.(2)令, 顯然均服從正態(tài)分布, 故要使它們相互獨立，只需即可. 又因，故當時滿

2、足條件.2-9 解：(1)A是正交矩陣.(2)由Y=AX知，且，所以由，Y=AX知：. 而，故由定理2.3.1的推論2知相互獨立.由知均服從正態(tài)分布，且方差均為，又 所以2-11解：比較上下式相應的系數,可得:設比較上下式相應的系數,可得:解得：，所以.2-13解：(1)(2)(3)，又，.2-18解：(1)(2)Z為p維正態(tài)隨機向量的線性組合，故Z也為正態(tài)隨機向量，又 ，結合(1)知 (3)，且為非負定矩陣對任意p維向量，有即時，Z的協(xié)方差陣在非負定意義下達到極小.第三章 多元正態(tài)總體參數的假設檢驗3-1解：因為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的特征值非0即1，且只有個非0特征值，即存在正交陣（其列

3、向量為相應特征向量），使，記，令（即），則，因為，且相互獨立，所以，其中非中心參數為3-2解：記. 若，由，知，于是與相互獨立； 若時，則，則兩個二次型也是獨立的.以下設.因為階對稱陣，存在正交陣，使得其中為A的特征值.于是，令其中為r階方陣, 由于，故. 又因為滿秩陣，故有.由于為對稱陣，所以.于是令，則，且，由于相互獨立，故與相互獨立.3-11解：這是兩總體均值向量的檢驗問題. 檢驗統(tǒng)計量取為(p=3,n=6,m=9):其中故檢驗統(tǒng)計量為用觀測數據代入計算可得:顯著性概率值故H0相容.第五章 判別分析5-1 解：由題意，其錯判概率為5-2 解：由題意（1）樣品與三個總體和的馬氏距離分別為顯

4、然，則，即樣品應判歸總體.（2）樣品與三個總體和的貝葉斯距離分別為顯然，則，即樣品應判歸總體.5-4解：(1)可取(組內)(組間)類似于例的解法, A-1B的特征根就等于 取，則，且a滿足：判別效率：，Fisher線性判別函數為： 判別準則為，閾值為，其中故.當時，因，判.當時，因，判(2)故.(3),.5-5 解：.又有相同的特征值. 故； 以下驗證a就是D2對應的一個特征向量：5-6 解：記是X的線性函數，其中其中第六章 聚類分析6-2證明：設變量Xi和Xj是二值變量，它們的n次觀測值記為xti, xtj (t=1,n). xti, xtj 的值為0 or 1.由二值變量的列聯表（表6.5

5、）可知：變量Xi取值1的觀測次數為a+b,取值0的觀測次數為c+d;變量Xi和Xj取值均為1的觀測次數為a,取值均為0的觀測次數為d.利用兩定量變量相關系數的公式：又故二值變量的相關系數為：利用兩定量變量夾角余弦的公式：其中故有.6-3解：用最長距離法: 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1. 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離 D2=3.合并CL3,CL4=CL2,并類距離 D3=8.所有樣品合并為一類CL1,并類距離 D4=10.最長距離法的譜系聚類圖如下:用類平均聚類法： 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1. 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離

6、D2=3. 合并CL3,CL4=CL2,并類距離 D3=(165/4)1/2. 所有樣品合并為一類CL1,并類距離 D4=(121/2)1/2.類平均法的譜系聚類圖如下:6-6解：按中間距離法,取=-1/4,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C的類間平方距離為當把A與B，C并為一類時，并類距離故中間距離法不具有單調性。按重心法,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C的類間平方距離為：當把A與B，C并為一類時，并類距離故重心法法不具有單調性。并類過程如下： 6-7解：因樣品間的距離定義為歐氏距離,利用利用故有6-9解：計算樣品間的歐氏平方距離陣 合并 1,2 CL4,并類距離D1=(0.5)1/2 =0.707 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得合并 5,7 CL3,并類距離D2=(2)1/2 =1.414，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并類距離D3=(32/3)1/2 =3.266 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并類距離D4 =(245/6)1/2 =6.39 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得 分類法bk及相應的總離差平方和W(k):k=5