蘭州大學(xué)——數(shù)學(xué)物理方法期末試卷A

1、數(shù)學(xué)物理方法常用的公式（注：僅供參考）：拉普拉斯算子作用于標(biāo)量場(chǎng)在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表示：；勒讓德多項(xiàng)式的微分表示：勒讓德-傅里葉級(jí)數(shù)展開：定義在的區(qū)間的至少分段光滑函數(shù)可以展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)：其中，系數(shù)勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)： 在球坐標(biāo)下下的梯度表示得分一、（本題10分，每小題5分） （1）證明：，其中，為常矢量。 （2）計(jì)算矢量場(chǎng)的旋度。二、（本題10分，每小題5分) 將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位， （1）； （2）三、（本題10分)已知解析函數(shù)的實(shí)部，且滿足，求該解析函數(shù)。四、（本題10分) 將函數(shù)以為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級(jí)數(shù)展開。五、（本題10分) 計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分，

2、六、（本題10分) 設(shè)有一根均勻的柔軟的細(xì)弦，當(dāng)它做微小的橫振動(dòng)時(shí)，除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長(zhǎng)度的弦所受阻力。試寫出帶有阻尼的弦振動(dòng)方程。七、（本題10分) 將定解問題 的邊界條件齊次化，設(shè)，并假設(shè)滿足齊次邊界條件，請(qǐng)寫出關(guān)于的相應(yīng)的定解問題。（注：不必對(duì)邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）八、（本題15分) 求解定解問題的解 九、（本題15分) 在均勻電場(chǎng)中放置一個(gè)半徑為并接地的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場(chǎng)達(dá)到靜電平衡后，球外各點(diǎn)的電勢(shì)分布，并算出各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和導(dǎo)體表面的電荷分布。一、（本題10分，每小題5分） （1）證明：，其中，為常矢量

3、。 （2）計(jì)算矢量場(chǎng)的旋度。 （1）證明： （3分） （2分）（2）解： （3分） （2分）二、（本題10分，每小題5分) 將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位， （1）； （2）解：（1） 為整數(shù) （3分） 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， （1分） 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， （1分） （2） （3分） （2分）三、（本題10分) 已知解析函數(shù)的實(shí)部，且滿足，求該解析函數(shù)。 解：根據(jù)科西-黎曼條件：， （2分）所以有 （2分） （2分） 即有 所以 （2分） 由條件，可得 （1分） 所以有 （1分）四、（本題10分) 將函數(shù)以為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級(jí)數(shù)展開。解： （3分） （7分） 五、（本題10分) 計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分，

4、解： 設(shè)，則有 （2分） 則原積分等于 （3分） 被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn) 顯然在單位圓外，在單位圓內(nèi)，該點(diǎn)的留數(shù)為 （2分） （2分） 所以該定積分等于 （1分）六、（本題10分) 設(shè)有一根均勻的柔軟的細(xì)弦，當(dāng)它做微小的橫振動(dòng)時(shí)，除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長(zhǎng)度的弦所受阻力。試寫出帶有阻尼的弦振動(dòng)方程。解：建立坐標(biāo)系，如圖所示取弦的平衡位置為軸，且令端點(diǎn)坐標(biāo)為與設(shè)是坐標(biāo)為的弦上一點(diǎn)在時(shí)刻的(橫向)位移在弦上隔離出長(zhǎng)為的一小段(弦元)弦元的弦長(zhǎng)足夠小，以至于可以把它看成是質(zhì)點(diǎn)分析弦元受力：它在兩個(gè)端點(diǎn)及處受到張力的作用因?yàn)橄沂峭耆彳浀?，故只受到?/p>

5、向應(yīng)力張力的作用，而沒有法向應(yīng)力。因此有： . （4分）小振動(dòng)近似： 與兩點(diǎn)間任一時(shí)刻橫向位移之差與相比是一個(gè)小量，即 :在小振動(dòng)近似下， 弦的橫振動(dòng) 這樣，就有 (3分)于是， 即 （3分） 其中是弦的線密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)定義：，則有 一般情況下弦振動(dòng)的加速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力加速度，方程簡(jiǎn)化為 七、（本題10分) 將定解問題 的邊界條件齊次化，設(shè)，并假設(shè)滿足齊次邊界條件，請(qǐng)寫出關(guān)于的相應(yīng)的定解問題。（注：不必對(duì)邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）解：設(shè)，并令 則有 設(shè)，可得， 所以有 （5分） 把帶入原有的定解方程中可得關(guān)于的定解問題為 （5分八、（本題15分) 求解定解問題的解 解：設(shè)，并且

6、代入方程可得 上式左右兩邊要相等只能等于同一常數(shù)，設(shè)為 則有 （4分） 由自然周期邊條件，可得 解得，本征值，本征函數(shù) 其中 （3分）則有當(dāng)時(shí)，有 解得由有限性條件可得所以 （2分）當(dāng)時(shí)，方程的解為由有限性條件可得所以 （2分）綜上所述 其中， （1分）由邊界條件可得 解得， （2分）所以解得有 （1分）九、（本題15分) 在均勻電場(chǎng)中放置一個(gè)半徑為并接地的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場(chǎng)達(dá)到靜電平衡后，球外各點(diǎn)的電勢(shì)分布，并算出各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和導(dǎo)體表面的電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，方向?yàn)闃O軸方向取球坐標(biāo)系，顯然此問題關(guān)于極軸是對(duì)稱的，當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是個(gè)等勢(shì)面，為了考慮問題的方面，選取導(dǎo)體為電勢(shì)零點(diǎn)，則有，根據(jù)題意可知在無(wú)窮遠(yuǎn)的處電勢(shì)為球外各點(diǎn)沒有電荷，滿足拉普拉斯方程所以有定解問題為： （3分）由分離變量法，由于是軸對(duì)稱問題，可令，代入式（1），可得方程的解為： （4） （3分）由邊界條件（3）和根據(jù)勒讓德函數(shù)為基的函數(shù)的廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開，對(duì)比系數(shù)可得： （3分）方程的解（4）變