傅里葉變換與拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系

1、傅里葉變換與拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系摘要通過對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，我基本上了解了傅里葉變換與拉普拉斯變換的基本理論知識，并且知道了他們在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，都能夠在解決廣義積分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應(yīng)用。下面通過對他們做一些比較研究，來更清楚地認(rèn)識他們。關(guān)鍵詞：兩種積分變換 積分與微分方程 電路理論正文（一） 前言：1、 傅里葉變換與拉普拉斯變換都屬于積分變換，是兩種常見的數(shù)學(xué)變換手段，而所謂的積分變換就是通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換，其作用就是將復(fù)雜的函數(shù)運(yùn)算變成簡單的函數(shù)運(yùn)算，當(dāng)選取不同的積

2、分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換，傅里葉變換與拉普拉斯變換就是因取不同的積分域與變換核得來的。2、 傅里葉變換是拉普拉斯變換的特例。拉普拉斯變換是將時域信號變換到“復(fù)頻域”，與變換的“頻域”有所區(qū)別。 拉普拉斯變換主要用于電路分析，作為解微分方程的強(qiáng)有力工具（將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算）。傅里葉變換則隨著FFT算法的發(fā)展已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于數(shù)字信號處理領(lǐng)域。（二）提出問題：已知傅里葉變換是拉氏變換的特例，如何用例子進(jìn)一步說明他們的關(guān)系，如何運(yùn)用它們解決積分與微分方程和電路問題。（三）解決問題：傅里葉變換與拉普拉斯變換兩種變換的性質(zhì)有許多相似之處，故兩者在求解問題時也會有許多類

3、似，另外，由于傅氏變換的積分區(qū)間為（-¥，+¥），拉氏變換的積分區(qū)間為(0，+¥），兩者又 會在不同的領(lǐng)域中有著各自的應(yīng)用。下面通過一些具體的例子來對兩種變換的應(yīng)用做一些研究：3.1 兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用例1 求解積分方程其中都是已知的函數(shù)，且、和的傅里葉變換都存在。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，故首先應(yīng)考慮用傅里葉積分變換法求解。積分項(xiàng)內(nèi)是函數(shù)與的卷積，對方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質(zhì)便可以很方便的求解該問題。解：設(shè)由卷積定義可知。因此對原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得因此有由傅里葉逆變換求得原積分方程的解為同樣，應(yīng)用拉普拉斯變換的卷積性

4、質(zhì)也可以用來求解積分方程。例2 求積分方程的解分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，考慮到拉氏變換卷積性質(zhì)中函數(shù)的積分區(qū)間是，故對原方程兩邊取拉普拉斯變換，應(yīng)用相應(yīng)的卷積性質(zhì)便可求出該積分方程的解。解：設(shè)，則有，。對原方程兩邊取拉普拉斯變換，由卷積定理得整理得取其逆變換可得，此即原積分方程的解。例3 求解線性方程組分析：利用傅氏變換與拉氏變換性質(zhì)中的微分性質(zhì)，可以將微分方程轉(zhuǎn)換為像函數(shù)的代數(shù)方程，使得問題得以解決。但是用傅里葉變換求解問題時，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在內(nèi)滿足絕對可積（）這個條件。但是本題中的、都不滿足這個條件，故不能用傅氏變換進(jìn)行求解。我們采用拉氏變換對該方程組進(jìn)行求解。解：設(shè)，對方程組

5、進(jìn)行拉氏變換得到解得，拉氏逆變換，故即為原方程組的解。3.2 兩種積分變換在電路理論中的應(yīng)用例4 如圖所示的RL電路中，求開關(guān)S閉合后回路中的電流。解：由基爾霍夫電壓定律可得回路方程為代入數(shù)值，化簡為該方程是一階非齊次線性微分方程，用高等數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行求解的話，要先求出與之對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解。求解步驟比較繁瑣，這里我們先采用傅里葉變換法進(jìn)行求解。設(shè)，由傅氏變換的微分性質(zhì)可得。又（在時電壓為0），代入上述方程中得整理得對上式取傅氏逆變換得此即電路中的電流。1 該方程也可以用拉氏變換法進(jìn)行求解。設(shè)，由拉氏變換的微分性質(zhì)可得（時電流）。對化簡后的方程兩邊去拉氏變換，得到整理得

6、再對上式取拉氏逆變換，得到電路中的電流為可以看出用傅氏變換與拉氏變換兩種方法求解的結(jié)果是完全相同的。信號與系統(tǒng)、電路分析等課程中常常會碰到各種信號的問題，一般來說傅里葉變換法適用于對連續(xù)時間系統(tǒng)的分析，這種方法也被稱為頻域分析法；而拉普拉斯變換法被稱為系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，這種方法的適用范圍更加廣泛，以致于在相當(dāng)長的時期內(nèi)，人們幾乎無法把電路理論與拉普拉斯變換分開來討論。下面我們再舉兩個用拉氏變換法解決電路問題的例子：例5 如圖所示，電路為完全耦合互感電路，互感量，電阻,電壓，開關(guān)S閉合前。求開關(guān)閉合后電路中的電流。圖2解：由基爾霍夫電壓定律可列出電路的微分方程如下：代入數(shù)據(jù)，得此方程組為二元一階

7、微分方程組，采用高等數(shù)學(xué)的知識很難得出結(jié)果來，這里采用拉氏變換法求解。令，對上述微分方程組兩邊取拉氏變換，考慮到初始條件，可得解得對其取拉氏逆變換，得到電路中的電流為推廣應(yīng)用  傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，是問題得以解決。在工程學(xué)上拉普拉斯的重大意義在于將一個信號從時域上轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域上來表示，在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用。總結(jié)通過半個多月的搜集資料

8、，我對復(fù)變函數(shù)有了一個較全面地了解，對于復(fù)變函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用也知道了不少，尤其是拉普拉斯變換與傅里葉變換的應(yīng)用，它解決了一些我們?nèi)粘Ｉ钪胁荒芙鉀Q的問題，為物理、數(shù)學(xué)和一些工程技術(shù)的發(fā)展起到了促進(jìn)作用，復(fù)變函數(shù)還有許多知識需要我們?nèi)プ屑?xì)探索與研究，通過寫這篇論文，我感覺收獲很多，不僅是知識方面的提高，而且也教會了我如何去靠自己解決問題，鍛煉了我自主學(xué)習(xí)的能力，相信在以后在寫作方面一定有了提高。致謝這篇論文的寫成，光靠我一個人的努力是不夠的，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的過程中，秦老師耐心教導(dǎo)我們，每節(jié)課都認(rèn)認(rèn)真真的對待，對于我們不理解的問題都會耐心的講解，這令我們每一個學(xué)生都非常感動和傾佩，感謝有這樣一個兢兢業(yè)業(yè)的老師陪我們走了半個學(xué)期，他教給我們的不光是知識，而且是一種對待事物的態(tài)度；另外感謝的就是一直陪在我身邊的同學(xué)們，我在寫論文中遇到好多問題，比如說公式上的書寫，知識上的不理解，他們都耐心的幫我去解決，我真的慶幸有這么一幫朋友，他