圓錐曲線練習(xí)試題及詳細答案

1、圓錐曲線歸納總結(jié)for Yuri第部分：知識儲備1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率點到直線的距離 夾角公式：（3）弦長公式直線上兩點間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1) 橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2) 雙曲線的方程的形式有兩種 標準方程： 距離式方程：(3) 三種圓錐曲線的通徑 橢圓：；雙曲線：；拋物線：(4) 圓錐曲線的定義 黃楚雅，分別回憶第一定義和第二定義！(5) 焦點三角形面積公式：在橢圓上時，在雙曲線上時，

2、（其中）(6) 記住焦半徑公式：橢圓焦點在時為，焦點在軸上時為 雙曲線焦點在軸上時為拋物線焦點在軸上時為，焦點在軸上時3333333333333333333333333333333333333333333333333華麗的分割線3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第部分：三道核心例題例1橢圓長軸端點為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，。（1）求橢圓的標準方程；（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。分析：第一問比較容易，第二問關(guān)鍵是垂心（小

3、黃同學(xué)，你還記得三角形的“四心”嗎？）的處理。由待定系數(shù)法建立方程求解。解（1）建立坐標系，設(shè)橢圓方程為,由得又即 ， 易得，故橢圓方程為 （2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心， 設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又得 即 由韋達定理得 解得或（舍） 經(jīng)檢驗符合條件。例2已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于、兩個不同點。 （1）求橢圓的方程； （2）求的取值范圍； （3）求證直線、與軸始終圍成一個等腰三角形。分析：小黃同學(xué)，直線、與軸始終圍成一個等腰三角形這個怎么理解，怎么處理？關(guān)鍵是把它轉(zhuǎn)化成。解：（1）設(shè)橢圓方程為則 橢

4、圓方程為（2）直線平行于，且在軸上的截距為又 由直線l與橢圓交于A、B兩個不同點， （3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 則由 而故直線、與軸始終圍成一個等腰三角形。例3已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”（小黃同學(xué)，你還記得三角形的“四心”嗎？），利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用

5、聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程。解：（1）設(shè)B(,)，C(,)，BC中點為()，焦點為F(2,0)，則有兩式作差有 ，整理得 （其中為點弦BC的斜率） (1)又F(2,0)為三角形重心，所以由，得由 得，代入（1）得 ，從而得到直線BC的方程為（2）由ABAC得 （2）設(shè)直線BC方程為，得又由韋達定理有 ， 與直線方程結(jié)合，易得 代入（2）式得 ，解得或直線過定點（0，設(shè)D（x,y），則，即所以所求點D的軌跡方程是。77777777777777777777777777777777777777777777777777777優(yōu)雅的分割線7777777777777777777777777777

6、77777777777777777777777第部分：七種常見題型1、中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為、，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的情況），消去參數(shù)。例如：設(shè)、，為橢圓的弦中點則有，；兩式相減得=歸納：（1）橢圓與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為，則有。 （2）雙曲線與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為，則有。（3）拋物線與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為，則有，即。典型例題 給定雙曲線，過的直線與雙曲線交于兩點 及，求線段的中點的軌跡方程。2、焦點三角形問題 橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構(gòu)成的

7、三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)為橢圓上任一點，為焦點，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。3、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題 拋物線方程，直線與軸的交點在拋物線的右邊。 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設(shè)直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求關(guān)于的函數(shù)的表達式。4、圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常

8、用代數(shù)法和幾何法解決。 1）若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。2）若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。處理思路1、建立目標函數(shù)。用坐標表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題 已知拋物線)，過且斜率為1的直線與拋物線交于不同的兩點，。（1） 求的取值范圍；（2） 若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求NAB面積的最大值

9、。5、求曲線的方程問題（1）曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決典型例題已知直線已知直線過原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸正半軸上。若點和點關(guān)于的對稱點都在上，求直線和拋物線的方程。MNQO（2）曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長|MN|與|MQ|的比等于常數(shù)(0)，求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。6、存在兩點關(guān)于直線對稱問題 在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓的方程，試確定的取值范圍，使得對于直