學(xué)案18理直線與圓錐曲線位置關(guān)系

1、學(xué)案18 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(理)一、要點整合1.圓錐曲線的兩個定義：（1）統(tǒng)一定義：三種圓錐曲線均可看成點集（點的軌跡）：，其中F為定點，d為P到定直線的距離，F(xiàn)。當(dāng)0e1時，點P軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時，點P軌跡是拋物線。（2）橢圓及雙曲線第一定義：橢圓：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F(xiàn)1、F2為定點，雙曲線P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為定點。注意：（1）第一定義中要重視常數(shù)與的大小限制；（2）雙曲線定義中的“絕對值”； （3）統(tǒng)一定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。2.圓

2、錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的曲線方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）；焦點在軸上時1（）。（2）雙曲線：焦點在軸上： =1；焦點在軸上：1（）。（3）拋物線：開口向右時；開口向左時；開口向上時；開口向下時。注意：（1）焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。（3）求標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟：定位（判斷它的中心（頂點）在原點、焦點在哪條坐標(biāo)軸上）；定型（確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型）；定量（建立基本量的方程或方程組，解基本量）。3.焦半徑：焦半徑公式如下圖： 4.焦點三角形問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。5.圓

3、錐曲線的幾何性質(zhì)：（圓錐曲線的對稱性、范圍、特殊點線、變化趨勢）（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：=， ，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：=， ，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾

4、何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率： 。注意：重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其頂點、焦點、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解. 注意：直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必“”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問題時，必須先有“”.直線與拋物線(相交不一定交于兩點)、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.7弦長公式：若直線與圓

5、錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。注意：焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和，或統(tǒng)一（第二）定義求解。8圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。注意：如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.9.常見的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法等),

6、以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)，這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點.注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.學(xué)案18 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系二、 典例講解.【例1】已知雙曲線 與點（1）求過點的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個交點、兩個交點、沒有交

7、點.（2）是否存在過P點的弦AB，使AB中點為P.（3）若Q（1,1），試判斷以Q點為中點的弦是否存在.【例2】給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線與相交與兩點，記O為坐標(biāo)原點.（1）求的值；（2）設(shè)，當(dāng)三角形OAB的面積時，求的取值范圍.【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點（I）若點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由ABxyNCO【例4】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，同時滿足以下條件：離心率經(jīng)過點P（1,0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，

8、且線段AB的中點在直線上；橢圓C上存在一點，與其右焦點關(guān)于直線l對稱。求直線l及橢圓C的方程.三、 高考題型總結(jié).（分析2008年高考命題趨勢，對命題難度，內(nèi)容，熱點等作總結(jié)）（一）方法總結(jié)1求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認(rèn)識橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān). 2涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準(zhǔn)線對應(yīng)，不能弄錯.3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為

9、一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來求解或證明.4對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5與圓錐曲線有關(guān)的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.（二）2008年高考預(yù)測1求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動點轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法等）。2掌握綜合運用直線的基礎(chǔ)知識和圓的性質(zhì)，解答直線與圓的位置關(guān)系的思想方法。3解析幾何是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點。綜觀近幾年的全國和部分省高考數(shù)學(xué)試題，本專題列出高考考查的熱點內(nèi)容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)；（4）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。（三）復(fù)習(xí)建議1加強(qiáng)直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，初步掌握了解決直線與圓錐曲線有關(guān)問題的基本技能和基本方法。2由于直線與圓錐曲線是高