導(dǎo)數(shù)典型例題 1

1、導(dǎo)數(shù)典型例題高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的定義,公式及應(yīng)用總結(jié)導(dǎo)數(shù)的定義:當(dāng)自變量的增量xxx0，x0時函數(shù)增量yf（x） f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo)，稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)（或變化率).函數(shù)yf（x）在x0點的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0x0，f（x0） 點的切線斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）。 一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性（單調(diào)性)的法則：設(shè)yf(x )在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）>0,則f（x）在這個區(qū)間是單調(diào)增加的（該點切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡

2、峭”，呈上升狀）。如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）<0,則f（x）在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f'（x）=0時，yf(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值求導(dǎo)數(shù)的步驟:求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：   求函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均變化率 取極限，得導(dǎo)數(shù)。 導(dǎo)數(shù)公式： C'=0(C為常數(shù)函數(shù))； (xn)'= nx(n-1) (nQ*)；熟記1/X的導(dǎo)數(shù) (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)2=

3、(secx)2=1+(tanx)2 (ex)' = ex； (ax)' = axlna （ln為自然對數(shù)） (Inx)' = 1/x（ln為自然對數(shù)） (logax)' =(xlna)(-1),(a>0且a不等于1) (x1/2)'=2(x1/2)(-1) (1/x)'=-x(-2) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:1函數(shù)的單調(diào)性(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性 利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)，那么函數(shù)y=f(x)在

4、這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'(x)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù) 注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f'(x)是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f'(x)0。 (2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言？1.定義最基礎(chǔ)求法2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性) 確定f(x)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)； 由（或）解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)f'(x)0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是

5、增函數(shù)；當(dāng)f'(x)0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的判定 如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點； 如果在附近的左右側(cè)符號不同，那么，是極大值或極小值.3求函數(shù)極值的步驟確定函數(shù)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)； 在定義域內(nèi)求出所有的駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點，即求方程及的所有實根； 檢查在駐點左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值4函數(shù)的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)內(nèi)一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有

6、的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念 (2)求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟 求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值5生活中的優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題解決這些問題具有非?，F(xiàn)實的意義這些問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┲祮栴}導(dǎo)數(shù)作為考試內(nèi)容的考查力度逐年增大.考點涉及到了導(dǎo)數(shù)的所有內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意

7、義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最（極）值等等，考查的題型有客觀題（選擇題、填空題）、主觀題（解答題）、考查的形式具有綜合性和多樣性的特點.并且，導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容如二次函數(shù)、二次方程、三角函數(shù)、不等式等的綜合考查成為新的熱點. 一、與導(dǎo)數(shù)概念有關(guān)的問題【例1】函數(shù)f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f(0)= =(x-1)(x-2)(x-100)=（-1）（-2）（-100）=100！ 選D.解法二 設(shè)f(x)=a101x101+ a100x100+ a1x+a0，則f(0)= a1，而a1=（-1）（-2

8、）（-100）=100！. 選D.點評 解法一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義直接求解，函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點平均變化率的極限.解法二是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則使問題獲解.【例2】 已知函數(shù)f(x)=，nN*，則= .解 =2+=2f(2)+ f(2)=3 f(2)，又f(x)=，f(2)= （2）=(1+2)n-1= (3n-1).點評 導(dǎo)數(shù)定義中的“增量x”有多種形式，可以為正也可以為負(fù)，如，且其定義形式可以是，也可以是（令x=x-x0得到），本題是導(dǎo)數(shù)的定義與多項式函數(shù)求導(dǎo)及二項式定理有關(guān)知識的綜合題，連接交匯、自然，背景新穎.【例3】 如圓的半徑以2 cm/s的等速度增加，則圓半徑R=10

9、cm時，圓面積增加的速度是 .解 S=R2，而R=R(t)，=2 cm/s，=2R·=4R，/R=10=4R/R=10=40 cm2/s.點評 R是t的函數(shù)，而圓面積增加的速度是相當(dāng)于時間t而言的（R是中間變量），此題易出現(xiàn)“S=R2，S=2R，S/R=10=20 cm2/s”的錯誤.本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，須注意導(dǎo)數(shù)的物理意義是距離對時間的變化率，它是表示瞬時速度，因速度是向量，故變化率可以為負(fù)值.2004年高考湖北卷理科第16題是一道與實際問題結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)物理意義的填空題，據(jù)資料反映：許多考生在求出距離對時間的變化率是負(fù)值后，卻在寫出答案時居然將其中的負(fù)號舍去，

10、以致痛失4分.二、與曲線的切線有關(guān)的問題【例4】 以正弦曲線y=sinx上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是A. B. C. D. 解 設(shè)過曲線y=sinx上點P的切線斜率角為，由題意知，tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又，.故選A.點評 函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)表示曲線，y=f(x)在點（x0，f(x0)）處的切線斜率，即k=tan(為切線的傾斜角)，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.本題若不同時考慮正切函數(shù)的圖像及直線傾斜角的范圍，極易出錯.【例5】 曲線y=x3-ax2的切線通過點（0，1），且過點（0，1）的切線有兩條，求實數(shù)a的值.解

11、 點（0，1）不在曲線上，可設(shè)切點為（m,m3-am2）.而y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，則切線方程為y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切線過（0，1），2m3-am2+1=0.(*)設(shè)（*）式左邊為f(m)，f(m)=0，由過（0，1）點的切線有2條，可知f(m)=0有兩個實數(shù)解，其等價于“f(m)有極值，且極大值乘以極小值等于0，且a0”.由f(m)=2m3-am2+1，得f(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=，a0，f(0)·f()=0，即a0，-a3+1=0，a=3.點評 本題解答關(guān)鍵是把“切線有2條”的“形”轉(zhuǎn)化為“

12、方程有2個不同實根”的“數(shù)”，即數(shù)形結(jié)合，然后把三次方程（*）有兩個不同實根予以轉(zhuǎn)化.三次方程有三個不同實根等價于“極大值大于0，且極小值小于0”.另外，對于求過某點的曲線的切線，應(yīng)注意此點是否在曲線上.三、與函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值有關(guān)的問題【例6】 以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號是A.、 B.、 C.、 D.、解 由題意知導(dǎo)函數(shù)的圖像是拋物線.導(dǎo)函數(shù)的值大于0，原函數(shù)在該區(qū)間為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)的值小于0，原函數(shù)在該區(qū)間為減函數(shù)，而此拋物線與x軸的交點即是函數(shù)的極值點，把極值點左、右導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)與三次函數(shù)在極值點左右的遞增遞減結(jié)合起來考慮，可知一定不正

13、確的圖形是、，故選C.點評 f(x)>0（或<0）只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間單遞增（或遞減）的充分條件，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是：對任意x(a，b)，都有f(x)0(或0)且f(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用此充要條件可以方便地解決“已知函數(shù)的單調(diào)性，反過來確定函數(shù)解析式中的參數(shù)的值域范圍”問題.本題考查函數(shù)的單調(diào)性可謂新穎別致.【例7】函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間（-3，7）上，其導(dǎo)函數(shù)如圖所示，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（-3，7）上極小值的個數(shù)是 個.解 如圖，A、O、B、C、E這5個點是函數(shù)的極值點，觀察這5個極值點左、右導(dǎo)數(shù)的

14、正、負(fù)，可知O點、C點是極小值點，故在區(qū)間（-3，7）上函數(shù)y=f(x)的極小值個數(shù)是2個.點評 導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點不一定是函數(shù)y=f(x)的極值點，如使f(x)=0的點的左、右的導(dǎo)數(shù)值異號，則是極值點，其中左正右負(fù)點是極大值點，左負(fù)右正點是極小值點.本題考查函數(shù)的極值可以稱得上是匠心獨運.【例8】 設(shè)函數(shù)f(x)與數(shù)列an滿足關(guān)系：a1>，其中是方程f(x)=x的實數(shù)根；an+1=f(an)，nN*；f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)（0，1）.（1）證明：an>，nN*；（2）判斷an與an+1的大小，并證明你的結(jié)論.（1）證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=1時，由題意知a1>，原式成立.

15、假設(shè)當(dāng)n=k時，ak>，成立.f(x)>0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).ak+1= f(ak)> f()=，（是方程f(x)= x的實數(shù)根）即當(dāng)n=k+1時，原式成立.故對于任意自然數(shù)N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0< f(x)<1，g(x)>0.g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù).而g()=-f()=0，g(x)>g() (x>)，即x>f(x).又由（1）知，an>，an>f(an)=an+1.點評 本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識的自然鏈接，其中將導(dǎo)數(shù)知識融入數(shù)學(xué)歸納法，令人耳目一

16、新.四、與不等式有關(guān)的問題【例9】 設(shè)x0，比較A=xe-x，B=lg(1+x)，C=的大小.解 令f(x)=C-B=-lg(1+x)，則f(x)= >0，f(x)為上的增函數(shù)，f(x)f(0)=0，CB.令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，則當(dāng)x0時，g(x)=0，g(x)為上的增函數(shù)，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0時等號成立）.點評 運用導(dǎo)數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設(shè)輔助函數(shù)法，如f(a)=(a)，要證明當(dāng)x>a時，有f(a)=(a)，則只要設(shè)輔助函數(shù)F(x)= f(a)-(a)，然后證明F(x)在x>a單調(diào)遞減即可，并且這種設(shè)輔助函數(shù)法

17、有時可使用多次，2004年全國卷的壓軸題就考查了此知識點.五、與實際應(yīng)用問題有關(guān)的問題【例10】 某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：y與(a-x)和x2的乘積成正比；當(dāng)時，y=a3.并且技術(shù)改造投入比率：,其中t為常數(shù)，且t.（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求出產(chǎn)品的增加值y的最大值及相應(yīng)的x值.解：（1）由已知，設(shè)y=f(x)=k(a-x)x2，當(dāng)時，y= a3，即a3=k··，k=8，則f(x)=8-(a-x)x2.0<t，解得0<x.函數(shù)f(x)的定義域為0<x.（2）f(x)= -24x2+16ax=x(-24x+16a)，令f(x)=0，則x=0（舍去），當(dāng)0<x<時，f(x)>0，此時f(x)在（0，）上單調(diào)遞增；當(dāng)x>時，f(x)<0，此時f(x)是單調(diào)遞減.當(dāng)時，即1t