高等數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)的概念-教案

1、教學(xué)對象合班1： 專業(yè) 班 合計 人合班2： 專業(yè) 班 合計 人合班3： 專業(yè) 班 合計 人授課日期地點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容課題第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念方案學(xué)時 2教學(xué)目的通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠：1. 理解導(dǎo)數(shù)概念，會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；2. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線；3. 理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。具體目標(biāo)如下：知識目標(biāo)：1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念；2. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3. 把握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。技能目標(biāo)：1 會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；2 會求曲線的切線。 素養(yǎng)目標(biāo)：1培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力；2培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、XX的作風(fēng)。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義。難點(diǎn)：理解導(dǎo)

2、數(shù)的幾何意義。教學(xué)資源教材、例子幻燈片、課件。教學(xué)后記對培養(yǎng)方案、大綱修改意見對授課方案修改意見對本教案修改意見需增加資源其他教研室主任： 系主任： 教務(wù)處： 教學(xué)活動流程教學(xué)步驟與內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)方法時間A.復(fù)習(xí)內(nèi)容 1極限的定義 2.極限的計算方法 對前面的知識進(jìn)展復(fù)習(xí)與穩(wěn)固，并為新知識和新技能的學(xué)習(xí)奠定必要的根底。簡述6minsB.板書課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要學(xué)習(xí)內(nèi)容略。詳見教案首頁板書(或PPT展示)課題明確本次課的內(nèi)容重點(diǎn)及目標(biāo)簡介輔以PPT展示2minsC.講授新知導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的根本概念，要更好地理解導(dǎo)數(shù)的概念，應(yīng)從解決實(shí)際問題的背景出發(fā)，在解決問題的過程中自然抽象出導(dǎo)數(shù)的概

3、念。導(dǎo)數(shù)與微分在理論上和實(shí)踐中都有非常廣泛的應(yīng)用。一、瞬時速度、曲線的切線斜率1. 變速直線運(yùn)動的瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行路程與時間的關(guān)系為，求質(zhì)點(diǎn)在時刻的瞬時速度分析：如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動，給時間一個增量，那么質(zhì)點(diǎn)在時刻與時刻間隔內(nèi)的平均速度也就是質(zhì)點(diǎn)在時刻的瞬時速度為在勻速直線運(yùn)動中，這個比值是常數(shù)，但是如果質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動，它的運(yùn)行速度時刻都在發(fā)生變化，為了計算瞬時速度，首先在時刻任給時間一個增量，考慮質(zhì)點(diǎn)由到這段時間的平均速度：當(dāng)時間間隔很小時，其平均速度就可以近似地看作時刻的瞬時速度且越小，接近的程度就越好因此，當(dāng)時，如果平均速度的極限存在，那么，就把這個極限稱

4、為物體在時刻的瞬時速度，即：2.曲線切線的斜率定義 設(shè)點(diǎn)P0是曲線L上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線L上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿曲線L趨向于點(diǎn)P0時，如果割線PP0的極限位置P0T存在，那么稱直線P0T為曲線L在點(diǎn)P0處的切線 設(shè)曲線方程為y =f(x)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的附近取一點(diǎn)那么割線P0 P的斜率為如果當(dāng)點(diǎn) P 沿曲線趨向于點(diǎn) P0 時，割線 P0P 的極限位置存在，即點(diǎn)P0處的切線存在，此刻，割線斜率趨向切線P0 T 的斜率 tan a，即，二、導(dǎo)數(shù)的定義定義: 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個鄰域內(nèi)有定義。在處給以增量仍在上述鄰域內(nèi))，函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果存在，那么稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).記作：或或

5、，即 此時也稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo). 如果上述極限不存在，那么稱 f (x) 在 x0 處不可導(dǎo).例1、求函數(shù)f (x) = x2 在 x0 = 1 處的導(dǎo)數(shù)，即 f / (1).解:第一步求：第二步求：第三步求極限：所以，三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線 y = f (x) 在點(diǎn) (x0 ，f (x0)處的切線的斜率,即：，圖P46由此可知曲線 y = f (x)上點(diǎn) P0 處的切線方程為：法線方程為：，其中 y0 = f ( x0).例2求曲線 y = x2 在點(diǎn) (1, 1) 處的切線和法線方程.解：從例1 知即點(diǎn) (1,

6、 1) 處的切線斜率為 2 ，所以,切線方程y 1 = 2(x - 1).，即y = 2 x - 1.法線方程，即四、導(dǎo)數(shù)的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義. 例如變速直線運(yùn)動路程 s = s(t) 的導(dǎo)數(shù)，就是速度，即. 我們也常說路程函數(shù) s(t) 對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度.五、導(dǎo)函數(shù)一般地，函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)例4求 f (x) = sin x 的導(dǎo)函數(shù) ().解：， 即： 類似可得：定義 如果存在，那么稱此極限值為f (x) 在點(diǎn) x0 處的左導(dǎo)數(shù)，記作 f-(x0)；同樣，如果存在，那么稱此極限值為 f (x) 在點(diǎn) x0 處的右導(dǎo)數(shù)，記作 f +(x0) .顯然，f (

7、x) 在 x0 處可導(dǎo)的充要條件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .定義如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上每一點(diǎn)可導(dǎo)，那么稱 f (x) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo). 如果 I 是閉區(qū)間a, b，那么端點(diǎn)處可導(dǎo)是指 f+(a)、 f-(b) 存在 .六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理如果函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo), 那么 f (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)，其逆不真.證。D.課堂小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的定義 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系E.布置作業(yè) 引入導(dǎo)數(shù)概念總結(jié)概括導(dǎo)數(shù)定義會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義會求曲線的切線了解導(dǎo)數(shù)的物理意義 理解導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)的計算方法理解左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的概念理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系建立系統(tǒng)的知識構(gòu)造，明確本節(jié)的重點(diǎn)，對重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)展復(fù)習(xí)