全概率公式貝葉斯公式的應(yīng)用及推廣

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目錄誠信申明···············································

2、;··········3課題及摘要·······································

3、;················4引言·································&#

4、183;···························51. 全概率公式和貝葉斯公式····················

5、;····················61.1 全概率公式····························&

6、#183;··················61.2 貝葉斯公式·····························

7、83;·················61.3 全概率公式和貝葉斯公式的關(guān)系·····························6

8、2. 全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用··································7 2.1 商業(yè)市場(chǎng)中的應(yīng)用···········

9、;······························7 2.2 醫(yī)療診斷中的應(yīng)用·················

10、83;·······················9 2.3 實(shí)際比賽中的應(yīng)用························&

11、#183;················10 3. 全概率公式和貝葉斯公式的推廣及應(yīng)用···························12 3.1 全概率公式的推

12、廣·········································12 3.2貝葉斯公式的推廣······

13、83;··································15 3.4 全概率和貝葉斯推廣公式的應(yīng)用············

14、·················17 總結(jié)································&

15、#183;···························19 參考文獻(xiàn)·····················

16、···································20河西學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)），是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭(zhēng)議，除文中已經(jīng)注明

17、引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 作者簽名： 二O 年 月 日（打?。Ｐ?專注-專業(yè)全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用及推廣摘 要：全概率公式和貝葉斯公式是計(jì)算復(fù)雜事件概率的公式，本文對(duì)兩個(gè)公式在醫(yī)療診斷、商業(yè)市場(chǎng)和實(shí)際比賽等的應(yīng)用舉例說明了其用法和使用的概型。為了解決更多的實(shí)際問題，對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的推廣及推廣后的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；應(yīng)用；推廣Abstract: The total probability formula and B

18、ias formula is to calculate the complex event probability formula, the application of two formulas in medical diagnosis, the commercial market and the actual game, illustrates its use and the use of probability. In order to solve the actual problem more, for the two formula for the application and p

19、romotion of simple after.Key words：Total Probability Formula ;Bayes Formula; Application; Promotion引言全概率公式與貝葉斯公式是概率論中重要的公式，主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,起源于17 世紀(jì)。發(fā)展到現(xiàn)在,已經(jīng)深入到科學(xué)和社會(huì)的許多領(lǐng)域。從十七世紀(jì)到現(xiàn)在很多國家對(duì)這兩個(gè)公式有了多方面的研究。概率論的重要課題之一, 就是希望從已知的簡(jiǎn)單事件概率推算出未知的復(fù)雜事件的概率。為了達(dá)到這個(gè)目的, 經(jīng)常把一

20、個(gè)復(fù)雜的事件分成若干個(gè)互不相容事件, 再通過分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率, 最后利用概率的可加性得到最終結(jié)果。 這就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率論中一個(gè)非常重要的基本公式，通過對(duì)概率論課程的研究，發(fā)現(xiàn)有多內(nèi)容可以進(jìn)一步深化與挖掘，從而得到更廣泛，更簡(jiǎn)潔，更實(shí)用的結(jié)論，以豐富和完善概率論的理論體系。它提供了計(jì)算復(fù)雜事件概率的一條有效途徑,使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題化繁就簡(jiǎn)。在概率論中起著很重要的作用,靈活使用全概率公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便。蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法：全概率公式蘊(yùn)含了化整為零，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想；全概率公式的本質(zhì)：全概率公式中的P(B

21、)是一種平均概率，是條件概率PBAi的加權(quán)平均，其中加在每個(gè)條件概率上的權(quán)重就是作為條件的事件Ai發(fā)生的概率.貝葉斯公式首先出現(xiàn)在英國學(xué)者T·貝葉斯（1702-1761）去世后的1763年的一項(xiàng)著作中。從形式推導(dǎo)上看，這個(gè)公式平淡無奇，它不過是條件概率定義與全概率公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)。其之所以著名，在于其現(xiàn)實(shí)乃至哲理意義的解釋上：原以為不甚可能的一種情況，可以因某種事件的發(fā)生變得甚為可能；或者相反，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化。目前，社會(huì)在飛速發(fā)展，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，決策概率分析這門學(xué)科越來越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先

22、驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策的重要工具。概率論對(duì)醫(yī)學(xué)的滲透與結(jié)合，已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的顯著特征。利用數(shù)學(xué)方法，充分利用好全概率公式和貝葉斯公式及其推廣形式，定量地對(duì)醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論更具有可信度，更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治。利用好全概率公式和貝葉斯公式可以用來解決投資、保險(xiǎn)、工程等一系列不確定的問題中。兩個(gè)概率公式及推廣形式的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)過程的試驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率，有助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系，為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息。靈活使用全概率公式和貝葉斯公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便，而其推廣形式將進(jìn)一步拓展公式的適用范圍，成為我

23、們解決更復(fù)雜問題的有效工具1.全概率公式和貝葉斯公式定義 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1, B2,···Bn為E的一組事件，若（i）BiBj = ，ij，i，j=1,2···n；（ii）B1B2 ···Bn =S，則稱B1，B2···Bn為樣本空間的一個(gè)劃分，那么，對(duì)每次試驗(yàn)，事件B1，B2···Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。例如，設(shè)試驗(yàn)E為“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。它的樣本空間為S=1,2,3,4,5,6。E的一組事件 B1=1,2,3，B2=4

24、,5，B3=6是S的一個(gè)劃分。而事件組C1=1,2,3，C2=3,4，C3=5,6不是S的劃分。1.1 全概率公式定理 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2···Bn為S的一個(gè)劃分，且P（Bi）>0(i=1,2,···n)，則P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) +···+ P(A丨Bn)P(Bn) （1.1）（1.1）式稱為全概率公式。在很多實(shí)際問題中P(A)不易直接求得，但卻容易找到S的一個(gè)劃分B1，B2···Bn，且P（B

25、i）和P(A丨Bi)或?yàn)橐阎?，或容易求得，那么就可以根?jù)（1.1）式求出P(A)。1.2 貝葉斯公式定理 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2···Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0，P（Bi）>0(i=1,2,···n)，則P(Bi丨A)=P(A丨Bi)P（Bi）j=1nP(A丨Bj)P（Bj） （1.2）（1.2）式稱為貝葉斯公式1.3全概率公式和貝葉斯公式的關(guān)系全概率公式的“全”是指要把能影響A事件的因素找全。定理說明目標(biāo)事件A發(fā)生的概率是在劃分（i=1,2，···，n）基礎(chǔ)

26、上兩兩互斥事件組A(i=1,2，···，n)的概述之和，可視為為事件A的誘發(fā)事件，P(AiB)為誘發(fā)成功的可能；若A已經(jīng)發(fā)生，則來自誘發(fā)成功的可能是P(BiA)P(A) ，這本是一個(gè)條件概率PBiA,使用乘法公式和全概率公式之后成為貝葉斯公式。在全概率公式和貝葉斯公式中，B1,B2,···Bn是伴隨結(jié)果A發(fā)生的各種原因，P（Bi）是各種原因發(fā)生的概率，它一般是有經(jīng)驗(yàn)給出的，稱為先驗(yàn)概率。PBiA反映試驗(yàn)后各種情況發(fā)生的概率的新結(jié)果，可用來修正P（Bi）?！坝梢蛩鞴庇萌怕使剑坝晒饕颉庇秘惾~斯公式。2.全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)

27、用2.1 在商業(yè)市場(chǎng)中的應(yīng)用例 1.某電子設(shè)備制造廠所用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄三家廠的次品率分別為0.02,0.01,0.03，三家廠所提供的份額分別為0.15,0.80,0.05。設(shè)這三家廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。（1）在倉庫中隨機(jī)取一只元件，求它是次品的概率；（2）在倉庫中隨機(jī)取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此品出自何廠，需求出此品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？解：設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi（i=1,2，3）表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”。易知B1，B2，B3是樣本空間S的一個(gè)劃分，且有P(B1)=0.15 P(B2)=

28、0.80 P(B3)=0.05P(A丨B1)=0.02 P(A丨B2)=0.01 P(A丨B3)=0.031>.由全概率公式P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) +···+ P(A丨Bn)P(Bn) =0.01252>.由貝葉斯公式P(B1丨A) = P(A丨B1)P（B1）P(A) = 0.02*0.150.0125 = 0.24P(B2丨A) = 0.64 P(B3丨A) = 0.12以上結(jié)果表明，這只產(chǎn)品來自第二家工廠的可能性最大。例2.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為01 ，但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)有

29、人聲稱發(fā)明一種儀器可以用來檢驗(yàn)，誤判的概率僅為5試問廠長(zhǎng)能否采用該人所發(fā)明的儀器?分析“5的誤判率”給檢驗(yàn)帶來怎樣的可信度，這是廠長(zhǎng)決策的依據(jù)，即弄清“被檢驗(yàn)出的正(或次)品中實(shí)際正(或次)品率”解：設(shè)事件A表示“客觀的次品”，事件B表示“經(jīng)榆驗(yàn)判為次品的產(chǎn)品”，由題意知P(A)=0.001 P()=0.999P(A丨B) = 0.95 P(B丨) = 0.05由貝葉斯公式可計(jì)算“被檢驗(yàn)出次品的實(shí)際次品率”為P(A丨B) = P(A丨B)P（B）PB丨APA +P(B丨)P（） = (0.001×0.95)/(0.001×0.95+0.999×0.05) =0.同

30、理，“被檢驗(yàn)出的正品中實(shí)際正品率”為P(A丨B) 0.99947由P(A丨B)=0.可知，如果產(chǎn)品的成本較高，廠長(zhǎng)就不能采用這臺(tái)新儀器，因?yàn)楸粌x器判為次品的產(chǎn)品中實(shí)際上有98以上的是正品，這樣導(dǎo)致?lián)p耗過高同時(shí)，我們也注意到該儀器對(duì) 正品的檢驗(yàn)還是相當(dāng)精確的，若檢驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品沒有破壞作用，倒是可以在“被認(rèn)定次品”的產(chǎn)品中反復(fù)檢驗(yàn)，挑出“假次品”，這就降低了損耗，叉保證了正品具有較高的可信度例3. 一種新產(chǎn)品，一個(gè)推銷員去推銷，成功記為“S”，失敗記作“D”，推銷員的主觀概率P(S)=0.3，P(D)=0.7，成功的收益為50000元，失敗的收益為-3000元，請(qǐng)咨詢公司作預(yù)測(cè)調(diào)查，有兩種調(diào)整方法1，

31、2，其費(fèi)用分別為2000元，3000元，若同時(shí)進(jìn)行1，2，費(fèi)用為4000元，了解咨詢公司的業(yè)績(jī)，預(yù)報(bào)的結(jié)論為： 對(duì)1： PFS=0.6 PFD=0.1對(duì)2：PFS=0.8 PFD=0.1 (F：可行；E：不可行)現(xiàn)有如下六種決策:a.不進(jìn)行調(diào)查 ； b.只進(jìn)行1 ； c.只進(jìn)行2 ; d.1，2同時(shí)進(jìn)行；e.先做1，視情況后做2 ； f.先做2，視情況后做1.若效益系數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)中性，請(qǐng)?jiān)囘x擇一種最好的決策？解: 分別計(jì)算各決策的期望效益(收支)：.不進(jìn)行調(diào)查：推銷EU=50000P(S)+(-30000)P(D) =50000×0.3-30000×0.7=-6000 不推銷，

32、期望效益(收支)為0. EU(a)=-6000×12+0×12=-3000.只進(jìn)行調(diào)查方法1. P(F1)=PF1SPS +PF1DPD=06×0.3+0.1×0.7=0.25；. P(E1)=0.75E1表示調(diào)整結(jié)果為不可行，已用咨詢費(fèi)2000元.F1表示可行，導(dǎo)致推銷，此時(shí)運(yùn)用貝葉斯公式:PSF1)=PF1SPSPF1SPS+PF1DPD=0.72因而PDF1=0.28 期望收支(效益)：EU(F1)=50000×0.72-30000×0.28=27600EU(b)=27600×0.25-2000×0.75=5

33、400；c.只進(jìn)行2，同(b)一樣用貝葉斯公式有：EU(c)=6796 d.同時(shí)進(jìn)行1.2，有四種可能結(jié)果：F1F2，F(xiàn)1E2，E1F2，E1E2 P(F1F2) =PF1F2S+PF1F2DP(D) =PF1SPF2SP(S)+PF1DPF2DPD=0.151; 同理有P(F1F2)=0.099,P(E1F2)=0.159,P(E1E2)=0.591再運(yùn)用貝葉斯公式， 注意到此時(shí)咨詢費(fèi)用為4000元，進(jìn)一步計(jì)算有EU(d)=5808e.先進(jìn)行l(wèi)，若結(jié)論為不可行(E)，則不進(jìn)行2.若結(jié)論為可行，則進(jìn)行2，經(jīng)計(jì)算(同以前方法)有：EU(e)=4196 f.同e，有EU(f)=6188根據(jù)期望效益

34、準(zhǔn)則，通過多次貝葉斯公式的應(yīng)用，可以知道選擇期望效益最大值為6796，對(duì)應(yīng)的決策是C，即只進(jìn)行2是最好的決策，此例中還多次運(yùn)用了全概率公式，事實(shí)上全概率公式與貝葉斯公式的綜合聯(lián)用是統(tǒng)計(jì)決策中的一個(gè)重要方法.2.2在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用例1.據(jù)美國的一份資料報(bào)導(dǎo)，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，求不吸煙者患肺癌的概率是多少？解：C=患肺癌 A=吸煙依題意有P(C)=0.001 P(A)=0.20 PCA = 0.004 ,需要求條件概率PCA.由全概率公式有P(C) = PCAP(A) + PCAP(A) 將數(shù)據(jù)代入，得0.001 =

35、0.004 × 0.20 + PCAP(A) 0.004 × 0.20 + PCA × 0.80PCA = 0.00025例2.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，一C事件表示“被診斷者患有癌癥”，則有PAC = 0.95，PAC = 0.95?，F(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即P(C) = 0.005，試求PCA。解：已知PAC = 0.95， P(AC) = 0.95PAC=1-PAC=1-0.95=0.05P(C) = 0.005， P(C) = 0.995 由貝葉斯公式PC

36、A = P(A丨C)P(C) PACPC+ PACP(C) = 0.087 本題的結(jié)果表明雖然PAC = 0.95，PAC = 0.95，這兩個(gè)概率都比較高。但若將此試驗(yàn)用于普查，則有PCA = 0.087，亦即其正確性有8.7%。如果不注意到這一點(diǎn)，將會(huì)得出錯(cuò)誤的診斷，這也說明PCA和PAC混淆了會(huì)造成不良的后果 。例3.據(jù)調(diào)查，在50個(gè)耳聾人中有4人色盲，在9950個(gè)非耳聾人中有796人色盲，分析兩種疾病是否相關(guān). 分析:設(shè)事件A為耳聾人，事件B為色盲人，P(A)=p，則P(A)=1-p.依題意可得，PBA = 450 = 0.08，PBA= = 0.08 由全概率公式，P(B)=i=1n

37、PAiPBAi =P(A)PBA+P(A)PBA =p×0.08+(1-p)×0.08 =0.08 所以，P(B)=PBA=PBA=0.08,事件A與事件B相互獨(dú)立. 經(jīng)過以上分析得出結(jié)論：耳聾與色盲無關(guān).2.3 在實(shí)際比賽中的應(yīng)用 例1. 某射擊小組共有20名射手, 其中一級(jí)射手4人, 二級(jí)射手8人, 三級(jí)射手8人，一、二、三級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.4.求任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率？ 分析：?jiǎn)栴}實(shí)質(zhì)上涉及到兩個(gè)部分：第一, 選出的射手不知道是哪個(gè)級(jí)別的,由全概率公式知, 都應(yīng)該考慮到, 才為全面.第二, 某個(gè)級(jí)別的射手能通過選拔進(jìn)

38、入比賽的概率這是已知道的, 記為：Ai =“選出的級(jí)射手”，i=1,2,3，則A1，A2，A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組，有： ，且， 由題意：, “選出的射手能通過選拔進(jìn)入比賽”，要求： 則： = =62% 即任選一名選手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為62%.這個(gè)數(shù)比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因?yàn)槿N可能性都考慮到了.例2. 甲乙兩個(gè)比賽射擊，每次射擊勝者得1分，每次甲勝的概率為，乙勝的概率為，平局概率為,( +=1).比賽進(jìn)行到一方比對(duì)方多2分為止，多2分者獲勝，求甲獲勝的概率.解：由題意每次比賽與上一次比賽是獨(dú)立進(jìn)行的，設(shè)為甲獲勝的概率，考慮前兩次比賽作為條件以1作為第一、二甲勝的概率，

39、2作為第一、二次均平局的概率，3作為第一、二次各勝一局的概率，1，2，3滿足定理1的條件但不滿足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以 ；即 .例1. 某射擊小組共有20名射手, 其中一級(jí)射手4人, 二級(jí)射手8人, 三級(jí)射手8人，一、二、三級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.4.求任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率？ 分析：?jiǎn)栴}實(shí)質(zhì)上涉及到兩個(gè)部分：第一, 選出的射手不知道是哪個(gè)級(jí)別的,由全概率公式知, 都應(yīng)該考慮到, 才為全面.第二, 某個(gè)級(jí)別的射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率這是已知道的, 記為：=“選出的級(jí)射手”，則構(gòu)成一個(gè)完備事件組，有： ，且， 由題意：, “

40、選出的射手能通過選拔進(jìn)入比賽”，要求： 則： = =62% 即任選一名選手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為62%.這個(gè)數(shù)比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因?yàn)槿N可能性都考慮到了.例2. 甲乙兩個(gè)比賽射擊，每次射擊勝者得1分，每次甲勝的概率為，乙勝的概率為，平局概率為,( +=1).比賽進(jìn)行到一方比對(duì)方多2分為止，多2分者獲勝，求甲獲勝的概率.解：由題意每次比賽與上一次比賽是獨(dú)立進(jìn)行的，設(shè)為甲獲勝的概率，考慮前兩次比賽作為條件以1作為第一、二甲勝的概率，2作為第一、二次均平局的概率，3作為第一、二次各勝一局的概率，1，2，3滿足定理1的條件但不滿足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以

41、；即 .3.全概率公式和貝葉斯公式的推廣3.1 全概率公式的推廣及應(yīng)用全概率公式在概率論的計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用，往往能使一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的概率計(jì)算問題簡(jiǎn)化，事實(shí)上，我們可以對(duì)全概率公式進(jìn)行推廣，從而拓展全概率公式的使用范圍3.1.1全概率公式推廣1幾何概率的嚴(yán)格定義:設(shè)某一事件A(也是S中的某一區(qū)域),S包含A,它的量度大小為(A),若以P(A)表示事件A發(fā)生的概率,考慮到“均勻分布”性,事件A發(fā)生的概率取為:P(A)=(A)/(S),這樣計(jì)算的概率稱為幾何概率。 設(shè)（）。是n+1維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為:F(x,y)F()。其中是n維連續(xù)型隨機(jī)變量。為一維取值為0、1的離散型隨機(jī)變量。易見F(x,

42、0.5)/F()和F(x,)分別是某個(gè)隨機(jī)向量的分布函數(shù),設(shè)它們都有密度函數(shù)(x,0.5),(x,)。設(shè):p(x,y) (x,0.5) F(x,0.5) （當(dāng)y=0） p(x,y)0 （當(dāng)y0，y1） p(x,y)(x,)-(x,) F() （當(dāng)y=1）則y0時(shí), F(x,y)0 (x,0.5)dx當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)（x,y） F(x,0.5)+ F(x,)- F(x,0.5) F()(x,0.5)dx+(x,)-(x,0.5) F()dx P(x,0)dx+P(x,1)dx同理y1時(shí), F（x,y） P(x,0)+P(x,1)dx故可將P( x, y)看成（）的“ 密度函數(shù)”。記

43、= P(x,0)+P(x,1),它看成F(x,y)關(guān)于的邊際密度函數(shù)。定義在的條件下的分布列為, 則P= P( x, y)/故F(x,y)關(guān)于 的邊際分布函數(shù)為:(,) = P( x, y)dx = Pdx 上式類似于全概率公式(將全概率公式中的“”改成“”)。故可將它看成全概率公式的推廣。3.1.2 全概率公式推廣2 在實(shí)際應(yīng)用中,我們可以利用隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布及邊緣分布將全概率公式推廣, 其基本思想是將一個(gè)邊緣密度分解成條件密度,使所要解決的問題簡(jiǎn)化.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(x,y), 邊緣密度函數(shù)分別為(x) , (y) ,那么其條件密度函數(shù)可以由下式來表示:

44、= y(x) = ( x , y)/ (y)= x(y) = ( x , y)/(x)這樣就可以得到全概率公式的分布形式:f X (x) =(x,t)dt = (t)dt ,f Y (y) = (s,y)ds =f X (s)ds .在應(yīng)用時(shí), 有時(shí)會(huì)遇到混合型隨機(jī)變量, 即其中一個(gè)是離散型的,另一個(gè)是連續(xù)型的情況, 這時(shí)可以利用分布律.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 中, X 是連續(xù)型隨機(jī)變量, Y 是離散型隨機(jī)變量,其分布律為 (y) ,那么 (x) = (y)如果X 是離散型的, Y 是連續(xù)型的,則有PX ( x) = (t) dt 這些公式對(duì)解決含有不確定因素的問題有重要的作用.3.1.3全

45、概率公式推廣3 設(shè)A1,A2,···,An為樣本空間的一個(gè)分割,即A1,A2,···,An互不相容且i=1Ai,為兩個(gè)事件,當(dāng)時(shí)，有 .特別當(dāng)分別與A1,A2,···,An獨(dú)立時(shí)，. 證明： 設(shè)B,C為兩個(gè)事件，根據(jù)加法公式，有P(BC)=i=1nP(AiBC) 當(dāng)P(C) > 0, P(AiC) > 0 (i=1,2,···，n)時(shí), . 所以 PBC = i=1nPAiC PBAiC 故 PBC=P(BC)P(C)=i=1nPBC PBAiC 而當(dāng)C與A1,A

46、2,···,An獨(dú)立時(shí)，有：PAiC= P(A)此時(shí)：PBC = i=1nP(Ai) PBAiC3.1.4 全概率公式的推廣4在第一節(jié)對(duì)全概率公式的條件和結(jié)論作如下改動(dòng),就可以得到推廣的全概率公式.設(shè)n 個(gè)A1,A2,···,An事件互不相容, 且j=1nAi=,m個(gè)事件B1,B2,···,Bn中的Bi(i = 1 ,2 , ,m) 只能與事件A1,A2,···,An之一同時(shí)發(fā)生,Bi=j=1nBiAj (i=1,2,m)則有P (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1

47、,2,m)3.1.5全概率公式的推廣5因?yàn)镻 (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1,2,m)即 .按矩陣的乘法,有= 3.2貝葉斯公式的推廣 設(shè)事件A1,A2,···,An互不相容,且,在事件B1,B2,···,Bn中的Bi (i = 1 ,2 , ,m) 只能與事件A1,A2,···,An之一同時(shí)發(fā)生,則在事件Bi (i=1,2,m)發(fā)生的條件下,事件Aj (j=1,2,n)發(fā)生的概率將所有的排成如下矩陣,則由矩陣的運(yùn)算,有 =即 =容易證明3.3全概率公式及貝葉斯公式推廣的應(yīng)用例1.設(shè)甲、乙、丙三個(gè)士兵同時(shí)向一目標(biāo)射擊，每人擊中目標(biāo)的概率為，一人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是,兩人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是，三人擊中目標(biāo)被摧毀的概率是，求目標(biāo)被摧毀的概率.解：令B=“目標(biāo)被摧毀”，Ai=“有i個(gè)人擊中目