數(shù)列與極限部分復(fù)習(xí)講義

1、數(shù)列與極限部分復(fù)習(xí)講義上南中學(xué) 歐陽民一、復(fù)習(xí)目標(biāo)定位1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題4.會(huì)應(yīng)用歸納法的原理進(jìn)行歸納和猜想，知道數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題.5.理解直觀描述的數(shù)列極限的意義，掌握數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則；會(huì)求無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，會(huì)用數(shù)列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；通過數(shù)列概念的

2、建立及其應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力.二、知識(shí)點(diǎn)歸納1 一般數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系：2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，(其中為首項(xiàng)、為已知的第項(xiàng)) 當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次式；當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)3 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的二次式且常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)（），是關(guān)于的正比例式4 等差數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系：5 等差中項(xiàng)公式： （有唯一的值）6 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，(其中為首項(xiàng)、為已知的第項(xiàng)，)7 等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，(是關(guān)于的正比例式)；當(dāng)時(shí)，=8 等比中項(xiàng)公式： （，有兩個(gè)值）9 等差數(shù)列的任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列10 等差數(shù)列中，若則11 等比數(shù)列中，若，則12

3、等比數(shù)列的任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列（當(dāng)為偶數(shù)且公比為的情況除外）13 兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列14 兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、仍為等比數(shù)列15 等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列16 等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列17 三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：。18 三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：。(因?yàn)槠涔葹?gt;0,對(duì)于公比為負(fù)的情況不能包括)19為等差數(shù)列，則 ()是等比數(shù)列20（）是等比數(shù)列，則(且) 是等差數(shù)列21.研究一個(gè)數(shù)列的極限，關(guān)注的是數(shù)列“后面”無限項(xiàng)的數(shù)值問題，改變?cè)摂?shù)列“前面”任何

4、項(xiàng)的值，都不會(huì)影響這個(gè)數(shù)列的極限22.數(shù)列前項(xiàng)和不同于無窮數(shù)列各項(xiàng)和，前者表示有窮項(xiàng)和，后者表示無窮項(xiàng)和（所有項(xiàng)和），兩者表述的項(xiàng)數(shù)范圍不同23.歸納法屬特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，用它推斷出的結(jié)論有時(shí)正確有時(shí)不一定正確（除完全歸納法推出的結(jié)論是正確外）.這種推理雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，有時(shí)會(huì)推測(cè)錯(cuò)誤的結(jié)論，但它卻是探索新問題、學(xué)習(xí)新知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的重要途徑24.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍，僅限于有關(guān)自然數(shù)（或）的命題.整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)等都是無限集，它們有關(guān)的命題用數(shù)學(xué)歸納法是不適用的。三、復(fù)習(xí)教學(xué)點(diǎn)睛1 數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同。 因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意

5、函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性；2 數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系式；3 求通項(xiàng)常用方法； 作新數(shù)列法：作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法最基本形式是 歸納、猜想法4 數(shù)列前項(xiàng)和常用求法；重要公式 等差數(shù)列中 裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng) 應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng) 錯(cuò)項(xiàng)相消法 并項(xiàng)求和法數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法5求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法；如，如研究函數(shù)的增減性 如6. 數(shù)列極限的理解；7. 等比數(shù)列的各項(xiàng)和及其應(yīng)用 ；8. 數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用 。四、題型、方法1、等差數(shù)列中，通項(xiàng)，前項(xiàng)和（為公差，）.證明某數(shù)列是等差（比）

6、數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證：是常數(shù)(=常數(shù)，)，也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（比）數(shù)列.即對(duì)于任意的自然數(shù)有：（）。例數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式。分析：注意證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要證明是常數(shù)，而，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列。又，則，所以。2、等差數(shù)列前項(xiàng)和、次項(xiàng)和、再后項(xiàng)和（即連續(xù)相等項(xiàng)的和）仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列前項(xiàng)和（和不為0）、次項(xiàng)和、再后項(xiàng)和仍成等比數(shù)列.類比還可以得出：等比數(shù)列的前項(xiàng)的積、次項(xiàng)的積、再后項(xiàng)的積仍成等比數(shù)列。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，則；分析：注意到是等差數(shù)列的連續(xù)4項(xiàng)的和，它們成等差數(shù)列，可以得到，所以。例2已

7、知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的積，則。分析：由成等比，則，所以。3、在等差數(shù)列中，若，則；在等比數(shù)列中，若，則等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)。例數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為整數(shù)，則的值為。分析：由得或，又此數(shù)列的公比為整數(shù)，所以公比，則。4、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)且公差，前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)且公差，前項(xiàng)和存在最小值，求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值可以利用不等式組來確定的值；也可以利用等差數(shù)列的前項(xiàng)的和是的二次函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0）轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來求解。例1若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則（1）使前項(xiàng)和最大的自然數(shù)是；（2）使前項(xiàng)和的最大自然數(shù)；分析：由條件可以看出，可知最大，則使最大的自然數(shù)為2006；由知

8、，所以，則使的最大自然數(shù)為4012。例2在等差數(shù)列中，滿足且是數(shù)列前項(xiàng)的和，若取得最大值，則。分析：首項(xiàng)、公差（比）是解決等差（比）數(shù)列的最基本出發(fā)點(diǎn)，等差（比）數(shù)列的運(yùn)算多可以通過首項(xiàng)與公差（比）來解決.由知，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以。5、數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和是關(guān)于的分段函數(shù)，在求和過程中若公比不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論.例1數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，求的取值范圍。分析：注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù)，前項(xiàng)和存在的前提條件是，且，知，則，有，則。例2數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，求的值。分析：涉及到等比數(shù)列的前項(xiàng)和的問題不能直接的應(yīng)用公式，要考慮到公比的取值情況.當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，

9、則=。6、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項(xiàng)、公差（比），若不知如何用性質(zhì)求解時(shí)，可以把問題轉(zhuǎn)化成“基本元”解決.學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系：若是等差數(shù)列，則對(duì)于任意自然數(shù)有；若是等比數(shù)列，則對(duì)于任意的自然數(shù)，有，在這兩關(guān)系式中若取，這就是等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，且.若此數(shù)列的前項(xiàng)和為，問是否存在最值？若存在，為何值？若不存在，說明理由。分析：對(duì)于本題來說，等差數(shù)列的基本性質(zhì)用不上，可以化歸為首項(xiàng)與公差來解決。設(shè)此數(shù)列的公差為，則，即，由知，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故有最大值而無最小值.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以最大.綜上知，當(dāng)時(shí)，最大，不存在最小值。例

10、2已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，且.若此數(shù)列的前項(xiàng)積為，問是否存在最值？說明理由。分析：與例1聯(lián)系起來，這是數(shù)列中的“類比”問題.其解決的思想方法是一樣的，對(duì)于單調(diào)正項(xiàng)數(shù)列，前項(xiàng)積最大（?。瑒t應(yīng)滿足。設(shè)此數(shù)列公比為，則，則.由知：時(shí)，時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，最大，沒有最小值。特別注意等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列之間存在的類比關(guān)系實(shí)際上是運(yùn)算上的變化，這種變化可以由等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來揭示.我們知道：若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，記，則數(shù)列是等差數(shù)列.反之若數(shù)列是等差數(shù)列，記，則數(shù)列是等比數(shù)列。7、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分段，當(dāng)滿足時(shí)，才能用一個(gè)公式表示。例已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若是等差數(shù)列

11、，求的通項(xiàng)公式。分析：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或是等比數(shù)列，要從等差、等比數(shù)列的定義出發(fā)。等差、等比數(shù)列的性質(zhì)不能作為證明的理由。由知，時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，而.若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以，則。8、形如：+的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用疊加（消項(xiàng)）法；形如：的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用連乘（約項(xiàng)）法。例數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：解決這種遞推數(shù)列的思想方法實(shí)質(zhì)上是等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關(guān)系：，等比數(shù)列的遞推關(guān)系：。由題知：相加得：，又，所以，而滿足此式，則。9、一次線性遞推關(guān)系：數(shù)列滿足：是常數(shù)）是最重要的遞推關(guān)系式，可以看出當(dāng)時(shí)，此數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)（時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決

12、此遞推的方法是通過代換（令化成等比數(shù)列求解。例已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：由得：知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，所以，知。10、在解以數(shù)列為模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，要選擇好研究對(duì)象，即選擇好以“哪一個(gè)量”作為數(shù)列的“項(xiàng)”，并確定好以哪一時(shí)刻的量為第一項(xiàng)；對(duì)較簡(jiǎn)單的問題可直接尋找“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系，對(duì)較復(fù)雜的問題可先研究前后項(xiàng)之間的關(guān)系（即數(shù)列的遞推公式），然后再求通項(xiàng)。例某企業(yè)去年底有資金積累萬元，根據(jù)預(yù)測(cè)，從今年開始以后每年的資金積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%，但每年底要留出萬元作為獎(jiǎng)勵(lì)金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使資金積累翻一番，求的最大值。分析：與年數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題在

13、解答過程中要注意項(xiàng)數(shù)與年數(shù)之間的關(guān)系，在設(shè)數(shù)列時(shí)就要指明.特別注意年底、年初的不同。設(shè)從今年開始每年底該企業(yè)的資金積累為萬元，則（萬元），則.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，。由題知，則，求得：。即的最大值大約為8%。11、常見的極限要記牢：，注意存在與是不相同的，特別注意此式的結(jié)構(gòu)形式；若是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)，要會(huì)求。例1求下列各式的值：（1）。分析：對(duì)于指數(shù)型的分式型極限，一般是分子、分母同除以冪底數(shù)絕對(duì)值較大的冪，這樣可以求出極限。（1）當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式。例2若，則；。分析：對(duì)于分子分母是關(guān)于的整式的分式型極限，若分子的最高的冪指數(shù)大于分母的最高的冪指數(shù)，則此式極限不存在；當(dāng)分子的最高的冪指數(shù)與分母的最高的冪指數(shù)相同時(shí)，