變限積分的性質

1、變限積分的性質摘 要變限積分是微積分學基本定理之一，是一類很重要的函數(shù)，是產生新函數(shù)的重要工具，同時它也是連接不定積分和定積分的橋梁，可見它在微積分學中的重要地位。本文通過對變限積分的定義進行簡介，對變限積分的性質進行介紹及舉例，包括變限積分的連續(xù)性、可微性、奇偶性、單調性和周期性，還介紹了變限積分的一些應用。通過這些介紹及得到的有關結論，希望可以讓我們更加理解變限積分的作用、地位和價值，在以后研究學習中有所幫助。關鍵詞：變限積分；連續(xù)性；可微性；奇偶性；單調性；周期性；應用 引言隨著時代的要求和科技的進步，由于函數(shù)概念的產生和運用的加深，一門新的數(shù)學分支微積分學產生了，而極限的思想是微積分的

2、基礎，它是用一種運動的思想看待問題，微積分是與實際聯(lián)系著發(fā)展起來的在許多科學領域中，有越來越廣泛地應用，可見微積分在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。積分學是微積分中重要的一部分內容，積分學可分為不定積分和定積分，而變限積分就是一種特殊的定積分，它具有許多特殊的性質，比如連續(xù)性、可微性、奇偶性等，它是我們學習積分學經?？疾斓囊粋€知識點，研究它的性質對我們學習微積分有重要的意義。下面我們將介紹變限積分的概念、性質和應用。1. 變限積分的概念與理解1.1變限積分的定義設在上可積，根據定積分的性質，對任何，在也可積，于是，由 （1）定義了一個以積分上限為自變量的函數(shù)

3、，稱為變上限的定積分或積分上限函數(shù).類似地，又可定義變下限的定積分： （2）與統(tǒng)稱為變限積分; 變量復合函數(shù)定義為： 其中、是定義在上的函數(shù)且，. 注：在變限積分（1）與（2）中，不可再把積分變量寫成（例如），以免與積分上、下限的混淆。 1.2對變限積分基本概念的理解 例題 ，計算（1）（2）（3）并由此說明不定積分、定積分、變上限積分三者之間的聯(lián)系。 解：（1）=（2）（3） 不定積分表示的含有任意常數(shù)的原函數(shù)；積分是上限變量的函數(shù)，也是的一個原函數(shù)；而定積分表示一個數(shù)，它是的任意一個原函數(shù)在與兩點處函數(shù)值之差?；\統(tǒng)地說，定積分是數(shù)，變上限積分是一個函數(shù)，而不定積分是一族函數(shù)。即為；此處取可

4、得，;取時，三者既有聯(lián)系又有區(qū)別。2. 變限積分的性質2.1連續(xù)性： 若在上可積，則 在都連續(xù).2.2可微性（原函數(shù)存在定理） 若在上連續(xù)，則2.1中的在上可導且. 這就是說：函數(shù)是在上的一個原函數(shù);函數(shù)是在上的一個原函數(shù)。 注:2.2建立了導數(shù)、積分這兩個看起來似乎毫不相關的概念之間的內在聯(lián)系，它證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”的基本結論，而且說明了是的一個原函數(shù)。此2.2的這個結論在微積分學中具有十分重要的地位，被稱為“微積分基本定理”.推論若在連續(xù)，在上可導且，則在上可導，且.推論若在連續(xù)，、在上可導且，、，則在上可導，且牛頓-萊布尼茨公式由微積分基本定理，我們還能得出一個重要的公式，即牛頓

5、-萊布尼茨公式：若函數(shù)在上連續(xù)，且是在上的一個原函數(shù)，則 例1 下列計算是否正確？若有錯，請訂正. （1）； （2）； （3） 解 （1）正確.因被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，變上限定積分 對上限變量求導數(shù)，就等于被積函數(shù)在上限變量x處的值，即 （2）錯誤.因為上限是的函數(shù)，需要利用復合函數(shù)求導公式， （3）錯誤.因為下限是的函數(shù)，需轉化為變上限函數(shù)積分求導問題 例2 設函數(shù)連續(xù)，且，試求 分析 由于的變上限積分表示式的被積函數(shù)中出現(xiàn)了積分上限變量，故不能直接利用公式來求導數(shù).需先將改寫成積分的被積表達式中只含積分變元t的形式，在對其求導. 解 = - = 如果忽略了被積函數(shù)中含有積分上限變量這一事實，

6、而硬套變上限積分求導公式，就會釀成錯誤結果： 例3 設連續(xù)， 故 從而 =- = 例4 設,求. 解：· =· 所以 （C為常數(shù)） 而 所以 2.3奇偶性 若在上可積且為偶（奇）函數(shù)，則是上奇（偶）函數(shù). 證明：設，其中函數(shù)在區(qū)間上可積.若函數(shù)為 上的奇函數(shù)，由變量替換有：,即為偶函數(shù)；若函數(shù)為上的偶函數(shù)，由變量替換有：，即為奇函數(shù)。 例 設函數(shù)在連續(xù)，且 證明（1）若，則； （2）若非增（即：<時，），則非減. 證明：（1） = （2） = （）當>0時，由非增可知：， 因此； （）當x<0時，有,因此 綜上所述，對任意的再利用拉格朗日中值定理，當<

7、;時，有 則非減. 2.4單調性 若在上可積且>0，則在上是單調遞增函數(shù). 若在上可積且<0,則在上是單調遞減函數(shù). 證明：積分第二中值定理 由變限積分的可微性及單調性我們又可得到積分第二中值定理 設函數(shù)在上可積，則 （1）若函數(shù)在上單調減少，且，則存在，使得； （2）若函數(shù)在上單調增加，且，則存在，使得.1推論 設函數(shù)在上可積，若為單調函數(shù)，則存在，使得 2.5周期性以為周期的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)以為周期的充分必要條件是例設是在內以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則 也以T為周期。 證明：由周期函數(shù)積分性質得： 因不一定為零，所以與不一定以T為周期，而， 所以以T為周期.3、變限積分的應用學習數(shù)

8、學最重要的就是對數(shù)學思想的不斷積累并逐漸內化，將數(shù)學的精華轉化為自己的各種能力。積分變限函數(shù)這類重要的函數(shù)，除了能拓展我們對函數(shù)概念的理解外，它又是連接積分學和微分學的重要工具，它在許多場合都有重要的應用。3.1變限積分在求函數(shù)極限時的應用 例1求下列極限 （1） （2）； （3）（其中為連續(xù)函數(shù)）（4） 解：（1）=（2）= = （3）方法一= 方法二 由積分中值定理可知 于是 =·（4）=（這里用到了等價無窮小代換：當時，）3.2變限積分在研究函數(shù)性態(tài)中的應用 例1 設是上的連續(xù)凸函數(shù)，證明： 也是內的凸函數(shù). 證明：由于是上的連續(xù)凸函數(shù)，所以有恒有， 于是 = = = =，所以

9、F是內的凸函數(shù).例2 設是內的連續(xù)奇函數(shù)，且單調增加，證明：（1）F是奇函數(shù)； （2）F是內的單調減函數(shù).證（1） =， 所以F為奇函數(shù).（2），故 （介于零與之間）=，所以F為內的單調減函數(shù).（這里用到了積分第一中值定理.）例3 設函數(shù)在上連續(xù)，且，若，證明：（1）F為上的嚴格單調增函數(shù)； （2）方程在內有且只有一個根.證 （1）因為， 所以F在上嚴格單調增加. （2）因為 ， 所以由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理可知，方程在 內至少存在一個根，又由于F在上嚴格單調增加，所以方程在內只能由一個根. 例4 證明：連續(xù)奇函數(shù)的一切原函數(shù)均為偶函數(shù)，連續(xù)偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個為奇函數(shù). 證 設

10、為連續(xù)的奇函數(shù)，則的一切原函數(shù)可以表示為 由于 =， 所以的一切原函數(shù)均為偶函數(shù). 設為連續(xù)的偶函數(shù)，的一切原函數(shù)可以表示為 由于 = 要使，必須=0，即C=0.所以的一切原函數(shù)中只有是奇函數(shù).例5 設為定義在R上的一個連續(xù)周期函數(shù)，周期為T，證明： 解 于是 由于 所以 （）， 從而有 3.3變限積分在證明定積分不等式中的應用 例1 設函數(shù)在上連續(xù)且單調增加，證明： 證 令 ， 則有 由于 = （） =， 所以F在上單調增加.于是有，從而 例2 設在上有連續(xù)的導函數(shù)，證明： 證 由于連續(xù)且，于是有. 由施瓦茲不等式可得 = 對上述不等式從積分可得3.4變限積分在證明的存在性中的應用 例1 設

11、函數(shù)上連續(xù)，證明：存在，使得 證 設 . 由題設知，在上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此存在，使得，即有 例2 設函數(shù)均在上連續(xù)，且，證明：存在使得 證 方法一 設，則有由羅爾定理可知，存在，使得，即有 方法二 設 在上利用柯西中值定理，有， 即有 于是 4.結語 本文主要介紹了變限積分的概念，舉例來理解變限積分的概念。即變限積分是通過定積分定義上限x在區(qū)間a,b上任意變動的函數(shù)，它與我們接觸的其他函數(shù)不一樣，它的特殊結構決定了它有許多特殊的性質。通過借助于對定積分的認識，研究了變限積分的連續(xù)性、可微性、奇偶性、單調性和周期性，并通過舉例，更加深刻的理解這些。最后我們研究了變限積分在求函數(shù)極限

12、中、在研究函數(shù)性態(tài)中、在證明定積分不等式中和證明存在性問題中的應用。參考文獻1華中科技大學數(shù)學系 編 微積分學習輔導與習題選解 高等數(shù)學出版社，2004 2朱正佑、秦成林 編 數(shù)學分析（上冊） 上海大學出版社，2006.13周誓達 編著 微積分（經濟類與管理類） 中國人名大學出版社 20054韓玉良 隋亞莉 李宏艷 王雅芝 編 微積分學習指導 清華大學出版社 2006.95齊民友 主編 楊麗華 孟新煥 編 微積分學習指導 武漢大學出版社 2008.5謝辭 時間總是在不知不覺中流逝，轉眼間，我的大學生活即將結束，論文的完成也將給我的大學生活的畫上一個完美的句號。本論文是在我的論文指導老師李琨的悉心指導下完成的，在本論文的寫作過程中，李琨老師對我的幫助特別大。李琨老師優(yōu)秀的科學修養(yǎng)，深厚的數(shù)理功底，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度都給我留下了深刻的印象，也成了我努力奮斗的榜樣。在我思考并列提綱的過程中，經歷了苦惱和彷徨，而李琨老師對我的疑問一一作出了解答，而且對我的提綱做出了悉心的指導，嚴格的把關，循循善誘，讓我對我的論文重拾了信心。從論文的開題報告、搜集材料、列提綱，李老師給了我很多