分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題典型解法的整理和復(fù)習(xí)

1、分?jǐn)?shù)(百分?jǐn)?shù))應(yīng)用題典型解法的整理和復(fù)習(xí)浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)教 研 室 李加漢（318000）浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)人民路小學(xué) 潘小滿（318000） 分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要內(nèi)容之一，它是整、小數(shù)倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用題的繼續(xù)和深化，是研究數(shù)量之間份數(shù)關(guān)系的典型應(yīng)用題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題涉及的知識(shí)面廣，題目變化的形式多，解題的思路寬，既有獨(dú)特的思維模式，又有基本的解題思路。小學(xué)即將畢業(yè)階段，如何通過分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題方法的復(fù)習(xí)，讓孩子們掌握一些基本解題方法，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，從而達(dá)到培養(yǎng)初步的邏輯思維能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力之目的，筆者根據(jù)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)，總結(jié)出以下一些典型方法

2、，以饗讀者。一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想，畫線段圖能將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系，直觀形象地表示出來(lái)，進(jìn)行分析、推理和計(jì)算，從而降低解題難度。畫線段圖常常與其它解題方法結(jié)合使用，可以說(shuō)，它是學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題題意、分析其數(shù)量關(guān)系的基本方法。【例1】一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，還剩下22千克。原來(lái)這桶油有多少千克？分析與解從圖中可以清楚地看出：這桶油的千克數(shù)×（1）=20+22則這桶油的千克數(shù)為：（20+22）÷（1）=70（千克） 【例2】一堆煤，第一次用去這堆煤的20%，第二次用去290千克，這時(shí)剩下的煤比原來(lái)這堆煤的一半還多1

3、0千克，求原來(lái)這堆煤共有多少千克？ 分析與解 顯然，這堆煤的千克數(shù)×（120%50%）=290+10則這堆煤的千克數(shù)為：（290+10）÷（120%50%）=1000（千克）二、對(duì)應(yīng)思想 量率對(duì)應(yīng)是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的根本思想，量率對(duì)應(yīng)是通過題中具體數(shù)量與抽象分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)分析問題和解決問題的思想。（量率對(duì)應(yīng)常常和畫線段圖結(jié)合使用，效果極佳。） 【例3】縫紉機(jī)廠女職工占全廠職工人數(shù)的，比男職工少144人，縫紉機(jī)廠共有職工多少人？分析與解解題的關(guān)鍵是找到與具體數(shù)量144人的相對(duì)應(yīng)的分率。 從線段圖上可以清楚地看出女職工占，男職工占1=，女職工比男職工少占全廠職工人數(shù)的=，也

4、就是144人與全廠人數(shù)的相對(duì)應(yīng)。全廠的人數(shù)為： 144÷（1）=480（人） 【例4】菜農(nóng)張大伯賣一批大白菜，第一天賣出這批大白菜的，第二天賣出余下的，這時(shí)還剩下240千克大白菜未賣，這批大白菜共有多少千克？分析與解 從線段圖上可以清楚地看出240千克的對(duì)應(yīng)分率是第一天賣出后余下的（1）。則第一天賣出后余下的大白菜千克數(shù)為： 240÷（1）=400（千克） 同理400千克的對(duì)應(yīng)分率為這批大白菜的（1），則這批大白菜的千克數(shù)為： 400÷（1）=600（千克）三、轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，可以這樣說(shuō)，任何一個(gè)解題過程都離不開轉(zhuǎn)化。它是把某一個(gè)數(shù)學(xué)問題，

5、通過適當(dāng)?shù)淖兓D(zhuǎn)化成另一個(gè)數(shù)學(xué)問題來(lái)進(jìn)行思考、求解，從而實(shí)現(xiàn)從繁到簡(jiǎn)、由難到易的轉(zhuǎn)化。復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，常常含有幾個(gè)不同的單位“1”，根據(jù)題目的具體情況，將不同的單位“1”轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。1、從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，把分?jǐn)?shù)變成份數(shù)進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例5】男生人數(shù)是女生人數(shù)的，男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？分析與解 男生人數(shù)是女生的，是將女生人數(shù)看作單位“1”，平均分成5份，男生是這樣的4份，學(xué)生總?cè)藬?shù)為這樣的（4+5）份，求男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？就是求4份是（4+5）份的幾分之幾？ 4÷（4+5）= 【例6】兄弟兩人各有人民幣若干元，其中弟的錢

6、數(shù)是兄的，若弟給兄4元，則弟的錢數(shù)是兄的，求兄弟兩人原來(lái)各有多少元？分析與解兄弟兩人的總錢數(shù)是不變量，把它看作單位“1”，原來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的，后來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的，則兩人的總錢數(shù)為： 4÷（）=90（元） 弟原來(lái)的錢數(shù)為：90×=40（元） 兄原來(lái)的錢數(shù)為：9040=50（元）2、直接運(yùn)用分率計(jì)算進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例7】甲是乙的，乙是丙的，甲是丙的的幾分之幾？分析與解 甲是乙的，乙是丙的，求甲是丙的的幾分之幾？就是求的是多少？ ×= 【例8】某工廠計(jì)劃一月份生產(chǎn)一批零件，由于改進(jìn)生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn)了計(jì)劃的，下半月比上半月多生產(chǎn)了，這樣全月實(shí)際

7、生產(chǎn)了1980個(gè)零件，一月份計(jì)劃生產(chǎn)多少個(gè)？分析與解 是以上半月的產(chǎn)量為“1”，下半月比上半月多生產(chǎn)，即下半月生產(chǎn)了計(jì)劃的×（1+）=。則計(jì)劃的（+）為1980個(gè)，計(jì)劃生產(chǎn)個(gè)數(shù)為： 1980÷+×（1+）=1500（個(gè)）3、通過恒等變形，進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例9】甲的等于乙的，甲是乙的幾分之幾？分析與解 由條件可得等式：甲×=乙× 方法1：等式兩邊同除以得：甲×=乙×÷ 甲=乙× 方法2：根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：甲乙=化簡(jiǎn)得：甲乙=15：28 即甲是乙的。 【例10】五（2）班有學(xué)生54人，男生人數(shù)的75%

8、和女生人數(shù)的80%都參加了課外興趣小組，而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相等，這個(gè)班男、女生各有多少人？分析與解由條件可得等式： 男生人數(shù)×（175%）= 女生人數(shù)×（180%） 男生人數(shù)女生人數(shù)=4：5就是男生人數(shù)是女生人數(shù)的。 女生人數(shù)：54÷（1+）=30（人） 男生人數(shù)：5430=24（人） 四、變中求定的解題思想 分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題中有許多數(shù)量前后發(fā)生變化的題型，一個(gè)數(shù)量的變化，往往引起另一個(gè)數(shù)量的變化，但總存在著不變量。解題時(shí)要善于抓住不變量為單位“1”，問題就會(huì)迎刃而解。1、部分量不變 【例11】有兩種糖放在一起，其中軟糖占，再放入16塊硬糖

9、以后，軟糖占兩種糖總數(shù)的，求軟糖有多少塊？分析與解 根據(jù)題意，硬糖塊數(shù)、兩種糖的總塊數(shù)都發(fā)生變化，但軟糖塊數(shù)不變，可以確定軟糖塊數(shù)為單位“1”，則原來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的（1）÷=倍。加入16塊硬糖以后，后來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的（1）÷=3倍，這樣16塊硬糖相當(dāng)于軟糖的3=倍，從而求出軟糖的塊數(shù)。 16÷（1）÷（1）÷=9（塊）2、和不變 【例12】小明看一本課外讀物，讀了幾天后，已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的，后來(lái)他又讀了20頁(yè)，這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的，這本課外讀物共有多少頁(yè)？分析與解 根據(jù)題意，已讀頁(yè)數(shù)和未讀頁(yè)數(shù)都發(fā)生了變化，但這本書的總頁(yè)數(shù)

10、不變，可把總頁(yè)數(shù)看作單位“1”，原來(lái)已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的，又讀了20頁(yè)后，這時(shí)已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的，這20頁(yè)占這本書總頁(yè)數(shù)的（），則這本課外讀物的頁(yè)數(shù)為： 20÷（）=630（頁(yè)） 【例13】兄弟三人合買一臺(tái)彩電，老大出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老二出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老三比老二多出400元。問這臺(tái)彩電多少錢？分析與解 從字面上看和的單位“1”都是其他兩人出錢的總數(shù)，但含義是不同的，是以老二和老三出錢的總數(shù)為單位“1”， 是以老大和老三出錢的總數(shù)為單位“1”。但三人出錢的總數(shù)（彩電價(jià)格）是不變的，把它確定為單位“1”，老大出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的，老二出的錢相當(dāng)于彩電價(jià)格的，老三

11、出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的1=，400元相當(dāng)于彩電價(jià)格的=。這臺(tái)彩電的價(jià)格為： 400÷（1）=2400（元）五、假設(shè)思想 假設(shè)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，常用有推測(cè)性假設(shè)法和沖突式假設(shè)法。1、推測(cè)性假設(shè)法 推測(cè)性假設(shè)法是通過假定，再按照題的條件進(jìn)行推理，然后調(diào)整設(shè)定內(nèi)容，從而得到正確答案。 【例14】一條公路修了1000米后，剩下部分比全長(zhǎng)的少200米，這條公路全長(zhǎng)多少米？分析與解 由題意知，假設(shè)少修200米，也就是修1000200=800（米），那么剩下部分正好是全長(zhǎng)的，因此已修的800米占全長(zhǎng)的（1），所以這條公路全長(zhǎng)為： （1000200）÷（1）=2000（米）2、沖

12、突式假設(shè)法 沖突式假設(shè)法是解應(yīng)用題中常用的一種思維方法。通過對(duì)某種量的大膽假設(shè)，再依照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾沖突，進(jìn)行比較，作適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案的方法。 【例15】甲、乙兩班共有96人，選出甲班人數(shù)的和乙班人數(shù)的，組成22人的數(shù)學(xué)興趣小組，問甲、乙兩班原來(lái)各有多少人？分析與解 假設(shè)兩班都選出，則選出96×=24（人），假設(shè)比實(shí)際多選出2422=2（人）。 調(diào)整：這是因?yàn)榘堰x出乙班人數(shù)的假設(shè)為選出，多算了=，由此可先算出乙班原來(lái)的人數(shù)。 （96×22）÷（）=40（人） 甲班原來(lái)的人數(shù)： 9640=56（人） 【例16】某書店出售一種掛歷，每

13、售出1本可得18元利潤(rùn)。售出一部分后每本減價(jià)10元出售，全部售完。已知減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的。書店售完這種掛歷共獲利潤(rùn)2870元。書店共售出這種掛歷多少本？分析與解 根據(jù)減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的，我們假設(shè)減價(jià)前出售的掛歷為3本，減價(jià)出售的掛歷為2本，則售出這2+3=5（本）掛歷所獲的利潤(rùn)為： 18×3+（1810）×2=70（元） 這與實(shí)際共獲利潤(rùn)2870元相矛盾，這是什么原因造成的呢？ 調(diào)整：這是因?yàn)榘殉鍪鄣膾鞖v假設(shè)為5本，根據(jù)實(shí)際共獲利潤(rùn)是假設(shè)所獲利潤(rùn)的2870÷70=41倍，實(shí)際共售出掛歷的本數(shù)也應(yīng)該是假設(shè)5本的41倍。即5

14、×41=205（本）六、用方程解應(yīng)用題思想 在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，特別是逆向思考的應(yīng)用題，往往棘手，而這些的應(yīng)用題用列方程解答則簡(jiǎn)單易行。列方程解應(yīng)用題一開始就用字母表示未知量，使它與已知量處于同等地位，同時(shí)運(yùn)算，組成等式，然后解答出未知數(shù)的值。列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)題中已知條件找出的等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。 【例17】某工廠第一車間人數(shù)比第二車間的多16人，如果從第二車間調(diào)40人到第一車間，這時(shí)兩個(gè)車間的人數(shù)正好相等，原來(lái)兩個(gè)車間各有多少人？分析與解 根據(jù)題意，有如下數(shù)量關(guān)系： 第一車間人數(shù)+40人=第二車間人數(shù)40人 解：設(shè)第二車間有X人。 X+16+40=X40 解得： X=480 第一車間人數(shù)為：X+16=×480+16=400（人） 【例18】老師買來(lái)一些本子和鉛筆作獎(jiǎng)品，已知本子本