導數各類題型方法總結(絕對經典)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一章 導數及其應用一， 導數的概念1.已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2變式1：（ ）A2C3D1變式2：（ ）ABCD導數各種題型方法總結請同學們高度重視：首先，關于二次函數的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系 （2）端點處和頂點是最值所在 其次，分析每種題型的本質，你會發(fā)現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。 最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區(qū)

2、間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；（請同學們參看2010省統(tǒng)測2）例1：設函數在區(qū)間D上的導數為，在區(qū)間D上的導數為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數在區(qū)間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，（1）若在區(qū)間上為“凸函數”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數

3、，函數在區(qū)間上都為“凸函數”，求的最大值.解:由函數 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法： 當時, 恒成立, 當時, 恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數，則(2)當時在區(qū)間上都為“凸函數” 則等價于當時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關于m的一次函數最值問題）-22 例2：設函數 （）求函數f（x）的單調區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數區(qū)間最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的單調遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當

4、x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數 的對稱軸 （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。上是增函數. （9分）于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3；已知函數圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值；（）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減又 的值域是（）令思路1

5、：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數區(qū)間最值二、題型一：已知函數在某個區(qū)間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數（）如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；（）如果函數是上的單調函數，求的取值范圍解：. （） 是偶函數， . 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增

6、 可知：的極大值為， 的極小值為. （）函數是上的單調函數，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數 （I）求的單調區(qū)間； （II）若在0，1上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、 當且僅當時取“=”號，單調遞增。 2、 a-1-1單調增區(qū)間： 單調增區(qū)間：（II）當 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調遞增 符合題意2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、題型二：根的個數問題題1函數f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”

7、還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數，且在區(qū)間上為增函數（1） 求實數的取值范圍；（2） 若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數知道，部分根可求或已知。例7、已知函數（1）若是的極

8、值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網解：（1）的圖像過原點，則 ，又是的極值點，則-1 （2）設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數問題=以切點為未知數的方程的根的個數例7、已知函數在點處取得極小值4，使其導數的的取值范圍為，求：（1）

9、的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法例8、解：函數的定義域為（）當m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間為和（5，），單調遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數，（1

10、）求的單調區(qū)間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1） 當時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數有且僅有3個極值點其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數的解析式；（）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大 因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，為此只

11、需，即， 解得，所以所求實數的取值范圍是0，1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（1）已知函數() 若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當在取得極大值且在取得極小值時, 設點所在平面區(qū)域為S, 經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (). 由, 函數在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積

12、比為1:3的兩部分, 設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為: 由 得點G的橫坐標為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: , , 所求直線方程為: 或 3、（根的個數問題）已知函數的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數的圖象在點處的切線方程為，

13、求函數f ( x )的解析式；（）若方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0得 （）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當且僅當 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 當a3時，方

14、程f ( x ) = 8a有三個不同的根。 12分4、（根的個數問題）已知函數 （1）若函數在處取得極值，且，求的值及的單調區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點個數 解：（1）2分令得令得的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為5分（2）由題得即令6分令得或7分當即時此時，有一個交點；9分當即時， ,當即時,有一個交點；當即時，有兩個交點； 當時，有一個交點13分綜上可知，當或時，有一個交點； 當時，有兩個交點14分5、（簡單切線問題）已知函數圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數（） 若函數在處有極值，求的解析式；（） 若函數在區(qū)間上為增函數，且在區(qū)間上都成立，求實數的取值范圍函數中任意性和存在性問

15、題探究高考中全稱命題和存在性命題與導數的結合是近年高考的一大亮點，下面結合高考試題對此類問題進行歸納探究一、相關結論：結論1：；【如圖一】結論2：；【如圖二】結論3：；【如圖三】結論4：；【如圖四】結論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：已知兩個函數;(1) 若對,都有成立，求實數的取值范圍；(2) 若,使得成立，求實數的取值范圍；(3) 若對,都有成立，求實數的取值范圍；解：（1）設,（1）中的問題可轉化為：時，恒成立，即。；當變化時，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函數極大值減函數極小值增函數k-9因為,所

16、以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小結：對于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對xI時恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k對xI時恒成立f(x)min>k, xI. 此題常見的錯誤解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“f(x)maxg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價.（2）根據題意可知，（2）中的問題等價于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3時有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k7,+).(3)根據題意可知，（3）中

17、的問題等價于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函數的圖像和性質可得, x-3,3時, f(x)max=120k.仿照（1），利用導數的方法可求得x-3,3時, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出,對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量,然后再根據不同的情況采取不同的等價條件,千萬不要稀里糊涂的去猜.二、相關類型題：一、型；形如型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎是“在上恒成立，則

18、在xD上恒成立，則”.許多復雜的恒成立問題最終都可歸結到這一類型.例1 ：已知二次函數，若時，恒有，求實數a的取值范圍.解：，；即；當時，不等式顯然成立，aR.當時，由得：，而.又，綜上得a的范圍是。 二、型例2 已知函數，若對，都有成立，則的最小值為_.解 對任意xR，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值.對于函數，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是，即半個周期.又函數的周期為4，的最小值為2.三、.型例3： (2005湖北)在這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是() A.0B.1C.2D.3解：本題實質就是考察函數的凸凹性，即滿足條件的函數，應是凸函數的性質，畫草圖即知符合題意；四、.型例4 已知函數定義域為，若，時，都有，若對所有，恒成立，求實數取值范圍.解：任取，則，由已知，又，f，即在上為增函數.，恒有；要使對所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或。評注： 形如不等式或恒成立，實際上是函數的單調性的另一種表現形式，在解題時要注意此種類型不等式所