空間幾何體的表面積和體積教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高一適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體、球體的表面積與體積公式教學(xué)目標(biāo)掌握柱體、錐體、臺(tái)體、球體的表面積與體積公式會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的體積及表面積能夠通過(guò)三視圖求出常見(jiàn)幾何體的表面積與體積教學(xué)重點(diǎn)組合體的表面積與體積教學(xué)難點(diǎn)不規(guī)則幾何體的表面積與體積的求解【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入思考1正方體與長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖如圖(1)(2)所示，則相應(yīng)幾何體的表面積與其展開(kāi)圖的面積有何關(guān)系？答案相等思考2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與其展開(kāi)圖的面積是否也都相等？答案是思考3圓柱OO及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S側(cè)2rl，S表2r(r

2、l)思考4圓錐SO及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案底面周長(zhǎng)是2r，利用扇形面積公式得S側(cè)×2rlrl，S表r2rlr(rl)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圖形的實(shí)際操作與求解，討論出相關(guān)公式。二、知識(shí)講解考點(diǎn)1柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖1. 圓柱：側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，長(zhǎng)是圓柱底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的高（母線）， S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長(zhǎng)；.2. 圓錐：側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)扇形，半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開(kāi)圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長(zhǎng). （S為底面面積，h為高）3. 圓臺(tái)：側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外

3、弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)中心角為，S=，S=. （S，分別上、下底面積，h為高） （r、R分別為圓臺(tái)上底、下底半徑）考點(diǎn)2 柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式的關(guān)系表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱其中圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)）棱臺(tái)圓臺(tái)（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長(zhǎng)）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺(tái)棱錐圓錐圓臺(tái)考點(diǎn)3 球的表面積和體積公式1. 球的體積是對(duì)球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的體積2. 球的表面積是對(duì)球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的表面

4、積為，它是球的大圓面積的4倍3. 用一個(gè)平面去截球，所得到的截面是一個(gè)圓三 、例題精析類型一 柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖例題1如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A、 B、5cm C、 D、7cm【規(guī)范解答】B【總結(jié)與反思】在做立體圖的題目時(shí)，對(duì)基本立體圖形的展開(kāi)圖要有一定的了解，類似于求最短距離的題，只需將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行求解即可。類型二柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式例題1已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)【規(guī)范

5、解答】解析：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則，圓臺(tái)的上底面面積為，圓臺(tái)的上底面面積為，所以圓臺(tái)的底面面積為.又圓臺(tái)的側(cè)面積，于是，即為所求.【總結(jié)與反思】清晰準(zhǔn)確的記憶立體圖形表面積公式和體積公式是解題的關(guān)鍵。 類型三球的表面積和體積公式例題1正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是 A. B. C. D. 【規(guī)范解答】D正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO與平面ABCD垂直，是棱錐的高，PO=R，所以，解得R=2，則球的表面積是，選D.【總結(jié)與反思】清晰準(zhǔn)確的記憶立體圖形表面積公式和體積公式是解題的關(guān)鍵。例題2一個(gè)長(zhǎng)方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面

6、積分別是2，3，6，則長(zhǎng)方體的體積是 .【規(guī)范解答】6解析：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，求出的值，再求體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長(zhǎng)方體的體積為6【總結(jié)與反思】明確共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積是怎么回事是解題關(guān)鍵。四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，則它的側(cè)面積是()A.BSC2SD4S2如圖，已知ABCDA1B1C1D1為正方體，則正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是()A.B.C.D.3已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是()A2cmB3cmC4cmD8cm

7、4.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A.B.C.D.1圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，則它的側(cè)面積是()A.BSC2SD4S答案B解析圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，圓柱的母線長(zhǎng)為，底面圓的直徑為，圓柱的側(cè)面積S××S.故選B.2如圖，已知ABCDA1B1C1D1為正方體，則正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是()A.B.C.D.答案B解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則正方體的表面積為6，正四面體DA1BC1的棱長(zhǎng)為，表面積為4××sin60°×

8、2，正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是，故選B.3已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是()A2cmB3cmC4cmD8cm答案C解析銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，銅質(zhì)的五棱柱的體積V16×464(cm3)，設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊的棱長(zhǎng)為acm，則a364，解得a4cm，故選C.4.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A.B.C.D.答案D鞏固解析VSh××3.1圓臺(tái)的上、下底面半

9、徑和高的比為144，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A100B81C169D142表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)3將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為()A2B4C8D164如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)1圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為144，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A100B81C169D14答案A解析圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為144，母線長(zhǎng)為10，設(shè)圓臺(tái)上底面的半徑為r，則下底面半徑和高分別為4r和4r，由100(4r)2(4rr)2，得r2，故

10、圓臺(tái)的側(cè)面積等于(r4r)×l(28)×10100，故選A.2表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)答案2解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.3將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為()A2B4C8D16答案B解析體積最大的球是其內(nèi)切球，即球的半徑為1，所以表面積為S4×124.4如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)答案312解析設(shè)球的半徑為R，則V柱R2·2R2R3，V錐R2·

11、2RR3，V球R3，故V柱V錐V球2R3R3R3312.拔高1直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為15和20，以它的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的表面積2某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)3如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_(kāi)4如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長(zhǎng)度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)1直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為15和20，以它的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的表面

12、積解設(shè)此直角三角形為ABC，AC20，BC15，ACBC，則AB25.過(guò)C作COAB于點(diǎn)O，直角三角形繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，它的上部是圓錐(1)，它的下部是圓錐(2)，兩圓錐底面圓相同，其半徑是OC，且OC12，圓錐(1)的側(cè)面積S1×12×20240，圓錐(2)的側(cè)面積S2×12×15180.旋轉(zhuǎn)體的表面積應(yīng)為兩個(gè)圓錐側(cè)面積之和，即SS1S2420.2某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)答案3解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面積的和，即×43.3如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位

13、置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_(kāi)答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S6×424×22×12966.4如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長(zhǎng)度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱(2)直觀圖如圖所示因?yàn)樵搸缀误w的底面是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，高為2cm，所以它

14、的表面積S三棱柱2S底S側(cè)2××423×4×2(248)(cm2)五 、課堂小結(jié)1.表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱其中圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)）棱臺(tái)圓臺(tái)（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長(zhǎng)）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺(tái)棱錐圓錐圓臺(tái)2.球的表面積和體積公式六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為()AB2C3D42一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32，則母線長(zhǎng)為()A2B2C4D83正四棱臺(tái)的兩底邊長(zhǎng)分別為1cm,2cm，高是1cm，它的側(cè)面積為()A6c

15、m2B.cm2C.cm2D3cm24某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為()A80B2488C2440D1185如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于()AB2C4D86如圖，在正方體中，四棱錐SABCD的體積占正方體體積的()A.B.C.D不確定7如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.18C942D36188如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A.B.C.D.1如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為()AB

16、2C3D4答案C解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l2，圓錐的表面積為S×1×(12)3.2一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32，則母線長(zhǎng)為()A2B2C4D8答案C解析圓臺(tái)的軸截面如圖所示，由題意知，l(rR)，S圓臺(tái)側(cè)(rR)·l·2l·l32，l4.3正四棱臺(tái)的兩底邊長(zhǎng)分別為1cm,2cm，高是1cm，它的側(cè)面積為()A6cm2B.cm2C.cm2D3cm2答案D解析四棱臺(tái)的兩底邊長(zhǎng)分別為1cm,2cm，高是1cm，上底邊到上底中心的距離是cm，下底邊到下底中心的距離是1cm，那么梯形的高，就是斜高為(cm)，一個(gè)梯形的面積

17、就是(12)×(cm2)，棱臺(tái)的側(cè)面積S3(cm2)故選D.4某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為()A80B2488C2440D118答案B解析根據(jù)題意，可得該幾何體是底面是邊長(zhǎng)分別為6和8的矩形且側(cè)棱長(zhǎng)均相等的四棱錐，高為SO4，如圖所示，因此，等腰三角形SAB的高SE5，等腰三角形SCB的高SF4，SSABSSCD×AB×SE20，SSCBSSAD×CB×SF12，矩形ABCD的面積為6×848，該幾何體的表面積為S表SSA

18、BSSCDSSCBSSADSABCD2×202×12482488.故選B.5如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于()AB2C4D8答案B解析設(shè)圓柱母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由題意得解得V圓柱r2l2.6如圖，在正方體中，四棱錐SABCD的體積占正方體體積的()A.B.C.D不確定答案B解析由于四棱錐SABCD的高與正方體的棱長(zhǎng)相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐SABCD的體積占正方體體積的，故選B.7如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.18C942D3618答案B解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合

19、體，其體積V()33×3×218.8如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A.B.C.D.答案C解析VCABCVABCABC，VCAABB1.鞏固1一個(gè)直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A15B20C12D15或202一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A372B360C292D2803如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9，則該幾何體的正視圖中實(shí)數(shù)a的值為()A1B2C3D44一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.cm3B.

20、cm3C.cm3D.cm35一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2cm，那么該棱柱的表面積為()A(24) cm2B(48) cm2C(816) cm2D(1632) cm26.如圖，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.B.C.D21一個(gè)直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A15B20C12D15或20答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況：根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S側(cè)面積r

21、15;l母線長(zhǎng)以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S4×520；以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S3×515.故選D.2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A372B360C292D280答案B解析由三視圖可知該幾何體是由下面一個(gè)長(zhǎng)方體，上面一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體下面長(zhǎng)方體的表面積為8×10×22×8×210×2×2232，上面長(zhǎng)方體的表面積為8×6×22×8×22×6×2152，又長(zhǎng)方體表面積重疊一部分，幾何體的表面積為2321522×6×2360.3如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9，則該幾何體的正視圖中實(shí)數(shù)a的值為()A1B2C3D4答案C解析設(shè)幾何體是一個(gè)圓柱上面疊加一個(gè)圓錐，其表面積為S2×1×a×1××122a39，a3.4一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.cm3B.cm3C.cm