數(shù)列不等式(放縮法)

1、用放縮法證明不等式的方法與技巧1.k(k 1)112k1 2 k(k -1)2 .-< <.,k 、k 1. k , k - . . k -13.2k2_k (k-4)k4. 1 2 3； k _ 2 ( k _ 2)5.1k!Ji 2 k -1)! k!6.a +b < a +|b所謂放縮的技工5：即欲證 A < B ,欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量 C ,使A E C E B ,由A到C叫做“放”，由B到C叫做“縮”.常用的放縮技巧(1)若 t 0,a t a,a -t ：二 a(2)Jn 1 c祈,2而 一而十 Jn 1 , Jn +1 11, Jn（n+1） &g

2、t;4n = n(3)n n 1 n(n 1)(4)11:二=：二一,-n n(n -1)21 (n 1)n1,n 、n . n . n 、n 、n -1(5)若 a,b, m w R +,則a a,一:二b m b(6)2! 3!22111111 ，=< 1 (1) ()222332(8)1(n11- 1-)(因?yàn)?lt;一)(n -1)nn 1 n 2 n 3111或一-1 <2n2nn 1 n 2 n 3111.2，.3、,nJn. n一）.先求和再放縮：1.設(shè)11+十n 1 n 111- >十十2n 2nn(n 1)，求證：Sn < 1n 1二2n=n：二 1n

3、 1n _ 12n 一 2=,n- n等等。2.設(shè)n例1求5 2 的值k 工4k2 -1例2.11171/ c、:1 , -2 .2(n _ 2)3252(2n _1)26 2(2n_1) 一例3求證：1+1+工+一 +工工.114 16 36 4n224n1 11 5例4求證：1十一十一十十一< 4 9n2 3例5已知an =4n 2n0n3Tn =2，求證:工 +T，+T3 +Tn <-.aia2 丁 an2直接放縮1、放大或縮小“因式”：4 a例1.設(shè)數(shù)列 In)的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù) n ,都有an =5Sn +1成立，記bn =n(nu N )。1 - an(I

4、)求數(shù)列(如的通項(xiàng)公式；3(II )記Cn =b2n -b2n(nu N ),設(shè)數(shù)列 伍的前n項(xiàng)和為T(mén)n ,求證：對(duì)任意正整數(shù) n都有Tn<；2例2.已知數(shù)列劣滿(mǎn)足a1 =1,an4= 2an+1(nw N*)(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(出)證明：.! X | ；：:- n Na2 a3an 1 3例3.設(shè)數(shù)列斗滿(mǎn)足a =2,an +=an +2(n =1,2,).證明anj2n+1對(duì)一切正整數(shù)n成立 an例5.數(shù)列xn 由下列條件確定：x1=a>0, x ,1=1 x +_a_ jne N .2k 3(I)證明：對(duì)n之2總有xn至、，萬(wàn)； (II) 證明：對(duì)n22總有xn之xn

5、+b3=6+b2.*、1. (2014幀江)已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足ala2a3an=11 (nCN ).右an為等比數(shù)列，且 ai=2,(I)求 an 和 bn；(II )設(shè)Cn= _ - ( n CN ) .記數(shù)列c n的前n項(xiàng)和為Sn.1八求Sn；*,(ii)求正整數(shù)k,使得對(duì)任意 nCN均有2. (2015?廣東)數(shù)歹 U an滿(mǎn)足：a1+2a2+nan=4 - nnN + .2n7(1)求a3的值；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn；一人. Tn- 11 11、r 一_(3)令 b1=a1, bn=+ (1+-+) an ( n>2),證明：數(shù)列bn的刖 n項(xiàng)和 Sn 滿(mǎn)足 Sn&l

6、t; 2+2lnn .n2 3n*3. (2013?廣東)工歹”an的刖n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1, 一口一§同(1)求a2的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1117(3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有11+工<+.力 a244.(2014?廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿(mǎn)足Sn2- (n2+n -3)Sn-3 (n2+n) =0, nCN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 證明： 對(duì)切正整數(shù) n, 有+-+<.5 (5+1) a2 (為+1)(&仇+1)35. (2013?廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前比數(shù)列.n項(xiàng)和為 Sn

7、,滿(mǎn)足 4Sn=an+12 - 4n- 1, nCN ,且 a2, as, a14構(gòu)成等(1)(3)證明：a2=j4a+5；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有一6. (2012?廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足2Sn=an+1 - 2n+1 + 1 ,(1)求ai的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；*1,、一斗、，一，nCN ,且a1，a2+5, a3成等差數(shù)列.(3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n, < + + al a2 目37. (2015理慶)在數(shù)歹 U an中，a1=3, an+1an+入 n+1+W n2=0 (nCN+)(I)若 入=0科=2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

8、；(n)若 入- (k0CN+, kc>0 ,科=1,證明：2+7*i<2+一2k0+l8. (2014以津)已知q和n均為給定的大于 1的自然數(shù)，設(shè)集合 M=0 ,1,2,，q - 1,集合A=x|x=x i+x2q+xnqn 1,xi CM) i=1 , 2,n.(I)當(dāng)q=2, n=3時(shí)，用列舉法表示集合 A;(n)設(shè) s, tS, s=a1+a2q+anqn 1, t=b1+b2q+- - +bnqn 1,其中 ai, bi CM , 1=1 , 2,，n.證明：若 an< bn,貝 Usv t.9. (2012理慶)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1=a2Sn+a

9、1,其中a2WQ(I)求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；(n)若a2>- 1,求證Sn<- (&1 +名仇)，并給出等號(hào)成立的充要條件.n 2n10. (2013秋操子湖區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f (x) =ln (1+x) 一 一J1+x(I)若x>0時(shí)，f (x) WQ求入的最小值;(H)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng) an=1+證明:_ a +_>1口2.2 3 n5 n 4n11. (2011曠東)設(shè) b>0,數(shù)列an滿(mǎn)足 a1=b,nb an-an=q (nA?.an- i+2n Z(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,nH-1(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, an建h+1.

10、12. (2011以津)已知數(shù)列an與bn滿(mǎn)足 bn+ian+bnan+l= (- 2) n+1 , bn= ", nCN*,且 4=2.(I)求a2, a3的值.、r一*、一 rr .(n)設(shè) Cn=a2n+1- a2n 1, n CN ,證明Cn是等比數(shù)列,、，一 一 一S 1 Sn 22n 1 So*. 1*、(出)設(shè) 耳為但門(mén)的前 n項(xiàng)和，證明1+,-!1w (n CN )al a2 a2n-1 a2n §*、13. (2011理慶)設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn+1=an+1Sn (nCN ).(I)若a1, S2, - 2a2成等比數(shù)列，求 S2和a3.A

11、(n)求證：對(duì) k3有0Wk314. (2011?胡南)已知函數(shù) f (x) =x3, g (x) =x+5.一 . .、 ，M,使得對(duì)于任意的nCN ,都有工成等比數(shù)列.的(I)求函數(shù)h (x) =f (x) - g (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).并說(shuō)明理由；(n)設(shè)數(shù)列 an (nCN*)滿(mǎn)足 a1=a (a>0), f (an+1)=g (an),證明：存在常數(shù) anWM.15. (2011硒江)已知公差不為 0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 ( a CR),且工，一, al a2(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(n)對(duì) nCN*,試比較 ' + ： +L與工的大小.a2 a2：場(chǎng)區(qū)£

12、;口白16. (2011硒江)已知公差不為 0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai為a (aCR)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且,工-成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn；(11) 記 An=+ +, Bn=-_+- + ,',+ , 當(dāng) n>2 時(shí)，試比較 An 與 Bn W .S2 S3 %占 1 氣 %工-117. (200971西)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an, ai=a, a2=b,且對(duì)滿(mǎn)足 m+n=p+q的正整數(shù) m, n, p, q都有a +a& + a,m .nP .q。十%)(l+an) (1+%)(1+%)(1)當(dāng)于b二時(shí)，求通項(xiàng)an；25(2)證明：對(duì)任意a,存

13、在與a有關(guān)的常數(shù) 入，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n,都有九18. ( 2008?安徽)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足 ai=0, sn+i=can3+1 - c, nCN*,其中 c為實(shí)數(shù)(1)證明：anQ0, 1對(duì)任意nCN成立的充分必要條件是 cq。，1;(2)設(shè) 0<c<3,證明：an>i-(3c) n 1, nCN ; 3(3)設(shè)證明：a?+al+ - a2>n+l -口 N* .31 n1 - 3c19. (2008?T西)數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn為等比數(shù)列，且 ai=3, bi=1 ,數(shù)列 b 是公比為64的等比數(shù)列，b2s2=64 .a(1)求 an, bn；(2)求證二LSi s2 4課后作業(yè)：一 111171 .求證：+ +!”+不123 n 42 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S = 2an + (1)n,n之1.(I)