自動控制理論52頻域：伯德圖

1、12 表示系統(tǒng)頻率特性的圖形有三種：l對數(shù)坐標圖l極坐標圖l對數(shù)幅相圖34l把頻率特性的乘除運算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運算；l在對系統(tǒng)作近似分析時，一般只需要畫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡化了圖形的繪制；l用實驗方法，將測得系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)畫在半對數(shù)坐標紙上。根據(jù)所作出的曲線，估計被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。5 如果開環(huán)傳遞函數(shù)以時間常數(shù)形式表示，則與之相對應(yīng)的開環(huán)頻率特性 一般由下列五種典型因子組成。 jhjgl比例因子kl一階因子l微分和積分因子l二階因子l滯后因子11tj1j1221nntjjtj6 1 1 比例因子比例因子 比例因子的對數(shù)幅頻特性是一條幅值為20lgk分貝，且平行于橫軸的直線，

2、相頻特性是一條和橫軸重合的直線，相角為00。k1時，20lgk0db；k1時，20lgk0db。 ()l()2 0 lg k2 01 01 01 0001 0 01 0 01 0kjg72 2 積分因子積分因子當=1時當=10時當=100時每增加10倍，l()則衰減20db，記為：20db/十倍頻程，或-20db/dec。 說明積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線是一條經(jīng)過橫軸上=1這一點，且斜率為-20的直線。j1jg db20lgj120lgjg20lgl db020lg1l db0220lg10l db0420lg100l8 相頻與無關(guān)，值為-90且平行于橫軸的直線。()l()0 .10 .12 01

3、 01 009 00112 09 3 微分因子微分因子 微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的曲線斜率和相位移也正好相差一個負號。jjg()l()0 .110 .11 01 002 09 012 002 010 4 4 一階因子中一階因子中慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性為 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性 在 時（低頻段）： 近似地認為，慣性環(huán)節(jié)在低頻段的對數(shù)幅頻特性是與橫軸相重合的直線。 tj11jg22221lg2011lg2011lg20tttjt1 db020lg1t120lg2211 在 時（高頻段）： 幅頻特性：幅頻特性： 表示一條經(jīng)過 橫軸處，斜率為-20db/dec的直線方程。 綜上所述：綜

4、上所述：慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性可以用在 處相交于0分貝的兩條漸近直線來近似表示： 當 時，是一條0分貝的直線； 當 時，是一條斜率為-20db/dec的直線。 t1 dbt20lgt120lg22t1 t1 t1 t1 12 兩條漸近線相交處的頻率 稱為轉(zhuǎn)折頻率或交接頻率。 ()l() 100090451t20精確曲線dbt1 13慣性環(huán)節(jié)的相頻特性 當=0時， ，當 時， ；當 趨于無窮時， 趨于-90。 采用漸近線在幅頻曲線上產(chǎn)生的誤差是可以計算的。幅值的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率 處，近似等于3db。 tarctan o0 t1 o-45 t1 db3.0110lg21120lg145 一階

5、比例微分因子一階比例微分因子 一階比例微分因子的頻率特性（1+jt）與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，此其對數(shù)幅頻曲線和相頻曲線僅差一負號。即tj1jg22t120lgtj120lgtarctan15 一階微分環(huán)節(jié)高頻漸近線的斜率是+20db/dec，其相位變化范圍由0（=0）經(jīng)+45至90（=）()l() 110t110t1t1t10t10t2090450200()l() db110t110t1t1t10t10t2090450200166 6 二階因子二階因子( (二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)) )對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性低頻段，即低頻段，即tn1時時 當增加10倍 即高

6、頻漸近線是一條斜率為-40db/dec的直線。當 時說明 為二階系統(tǒng)(振蕩環(huán)節(jié))的轉(zhuǎn)折頻率。 2n222nt2t120lgl)lg(40)lg(20)(22nnttlnt1n)(01lg40lg40)(dbtlnnt1nnnt40lg40t40lg10)(l18l。10110090180() 101.00)(l2.024688.06.04.0n/1.02.03.07.011.02.03.07.01db-40db/dec19 可見：當頻率接近 時，將產(chǎn)生諧振峰值。阻尼比的大小決定了諧振峰值的幅值。 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值 可通過下列計算得到：n t1nrjg20振蕩環(huán)

7、節(jié)的幅頻 特性為其中 ：當出現(xiàn)揩振峰值時， 有最大值，即 有最小值。得到 諧振頻率式中， g1t2t11jg2n222n 2n222nt2t1gjg g 0t2t1ddddg2n222n2n2nr2121t1210nnt1 21 將 代入 ，不難求得 。 因此，在=r處 具有最小值， 有最大值。 諧振峰值 諧振頻率r及諧振峰值mr都與有關(guān)。越小, r越接近n, mr將越大。當0.707時，r為虛數(shù)，說明不存在諧振峰值，幅頻特性單調(diào)衰減。當=0.707時，r=0，mr=1。0，mr1。 0時，r n，mr。2nr21 22dgd 0dgd22 gjg2rr121jgm22振蕩環(huán)節(jié)相頻特性 相角

8、是和的函數(shù)。在= 0，當 時，不管值的大小， ；當=時， 。相頻曲線對-90的彎曲點是斜對稱的。 0 o90 o180 n 2212arctannttn23 7 7 滯后因子滯后因子 幅頻特性幅頻特性 相頻特性相頻特性 tjejg db020lg1jg20lgl 0t57.3t(rad)1t10t110t() 010020030040024 sgsgsgsgn21 jgjgjglnlg20lg20lg2021 jgjgjgnargargarg2125 繪制開環(huán)系統(tǒng)的繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖伯德圖 基本步驟： 把系統(tǒng)的頻率特性改寫成各典型因子的乘積形式，畫出每個因子的對數(shù)幅頻和相頻曲線，然后進行同頻

9、率疊加，即得到該系統(tǒng)的伯德圖。 261)(l1010020402009045180)() 11 . 0(10)(jjjg例1：27l寫出開環(huán)頻率特性的表達式，把其所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由小到大一次標注在頻率軸上；l繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。漸近線由若干條分段直線所組成，其低頻段的斜率為-20vdb/dec，其中v為積分環(huán)節(jié)數(shù)。在w=1處，l（w）=20lgk 。以低頻段作為分段直線的起始段，從它開始，沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率。如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當 時，分段直線斜率的變化量為-20db/dec；如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當 時，分段直線斜率的變化量

10、為+20db/dec。111tj1/1t1/1t21tj2/1 t2/1t28l分段直線最后一段是開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為-20（ n-m）db/dec，其中n為開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù)，m為開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)。l作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對相應(yīng)的分段直線進行修正，就可得到實際的對數(shù)幅頻特性曲線。l作相頻特性曲線。根據(jù)開環(huán)相頻特性的表達式，在低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連接成曲線。29 例例5-2 5-2 已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為函數(shù)為 試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直試繪制開環(huán)系

11、統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線線 表示）。表示）。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 sssshs5.011.0110gjjjjhj5.011.0110g由此可知，該系統(tǒng)是由比例、積分、一階比例微分和慣性環(huán)節(jié)所組成。它的對數(shù)幅頻特性為 221 . 01205 . 0120lg2010lg20l301）由于v=1，因而漸近線低頻段的斜率為-20db/dec。在w=1處，其高度為20lg10=20db。2）當w=2時，由于慣性環(huán)節(jié)，使分段直線的斜率變?yōu)?40db/dec。同理，由于一階比例微分環(huán)節(jié)，當w=10時，使分段直線的斜率變?yōu)?20db/dec。 10arctan2arctan

12、900系統(tǒng) 的相頻特性為 086.110w=1 07 .123w=10 090w=無窮大 090w=031p116 圖5-1732 四、最小相位系統(tǒng)四、最小相位系統(tǒng) 1. 定義：定義： 在系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中，沒有位于s右半平面的 零點和極點，且沒有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之為非最小相位系統(tǒng)。 2. 最小相位系統(tǒng)特征：最小相位系統(tǒng)特征： a在在nm且幅頻特性相同的情況下，最小相位且幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。系統(tǒng)的相角變化范圍最小。 這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項式的階次。33例如例如 兩個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（t1t20）它們的對數(shù)幅頻和相頻

13、特性為 st1st1sg121 st1st1sg122 21221t120lgt120lgl 21222t120lgt120lgl 211tarctantarctan 212tarctantarctan()l()111t221t2 009 01 8 0d b01g2g34顯然,兩個系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由圖可見， 的變化范圍要比 大得多。 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng) 2 1)(1sg)(2sg()l()111t221t2 009 01 8 0d b01g2g35 b、當當時，其相角等于時，其相角等于-90（n-m），），對數(shù)對數(shù)幅頻特性曲線的斜率為幅頻特性曲線的斜率為20(nm

14、)db/dec。有時用這一特性來判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 c、對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對應(yīng)關(guān)系。應(yīng)關(guān)系。對于一個最小相位系統(tǒng)，我們?nèi)糁懒似浞l特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。也就是說：只要知道其幅頻特性，就能寫出此最小相位系統(tǒng)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無需再畫出相頻特性。 36tjkjg11. 0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條xdb的水平線 21lg20lg20tkl則其對數(shù)幅頻特性的表達式為0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 kxlg2037tjjkjg12. 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性有如下特點： 21lg20lg20lg20

15、tkl則其對數(shù)幅頻特性的表達式為型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 klg201）低頻漸近線的斜率為20db/dec；2）低頻漸近線（或其延長線）在）低頻漸近線（或其延長線）在w=1處的縱坐標處的縱坐標為為 ；3）開環(huán)增益）開環(huán)增益k在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其延長線）與延長線）與0db線相交點的頻率值。線相交點的頻率值。38 tjjkjg123. 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性有如下特點： 21lg20lg40lg20tkl則其對數(shù)幅頻特性的表達式為型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 klg201）低頻漸近線的斜率為40db/dec；2）低頻漸近線（或其延長線）在）低頻漸近線（或其延長線）在w=1處的縱坐標處的縱坐標為為 ；3）開環(huán)增益）開環(huán)增益k在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其延長線）與延長線）與0db線相交點的頻率值的平方。線相交點的頻率值的平方。39 試求：試求：（）寫