直角三角形的邊角關(guān)系

1、 直角三角形的邊角關(guān)系適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級適用區(qū)域北師大版本課時時長（分鐘）120分鐘知識點銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)復(fù)習(xí)和鞏固三角函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)系勾股定理教學(xué)重點1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切和余切的意義，并能舉例說明；2.能用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形兩邊的比；3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進行簡單的計算.教學(xué)難點用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)勾股定理，復(fù)習(xí)直角三角形邊與角的關(guān)系，學(xué)會掌握為什么是0.618，臺風(fēng)問題等等二、知識講解1.直角三角形的邊角關(guān)系（如圖）（1）邊的關(guān)

2、系（勾股定理）： ；（2）角的關(guān)系： =C=900；（3）邊角關(guān)系： ：銳角三角函數(shù)： A的 =；A的 = ,A的 =注：三角函數(shù)值是一個比值2.三角函數(shù)的大小比較(1) 同名三角函數(shù)的大小比較正弦、正切是增函數(shù)三角函數(shù)值隨角的增大而 ，隨角的減小而 余弦、余切是減函數(shù)三角函數(shù)值隨角的增大而 ，隨角的減小而 。(2) 異名三角函數(shù)的大小比較tanASinA，由定義知tanA= ，sinA= ；因為bc，所以tanAsinAcotA cosA由定義知cosA= ，cotA= ；因為 ac，所以cotAcosA若0 A45，則cosAsinA，cotAtanA；若45A90，則cosAsinA，c

3、otAtanA3、運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實際問題1、實際問題中有關(guān)名詞、術(shù)語的意義：仰角與俯角：在進行測量時，從下往上看，視線與 的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做 .如圖1. 坡角與坡度：坡面與 的夾角叫做坡角，圖2中的 是坡角；坡面的垂直高度h和 的比叫做坡度.即坡度3、 例題精析【例1】等腰三角形底邊長為10，周長為36cm，那么底角的余弦等于（ ） （A） （B） （C） （D）課堂訓(xùn)練題在ABC中，若三邊BC ,CA,AB滿足 BC：CA：AB=5：12：13，則cosB= （ ）A. B. C. D.【例2】已知，且A為銳角，則A=（ ）A.30

4、6; B.45° C.60° D.75°課堂訓(xùn)練題cos30°=( )A.B. C.D.【例3】王英同學(xué)從A地沿北偏西60º方向走100 m到B地，再從B地向正南方向走200 m到C地，此時王英同學(xué)離A地 （）（A） m （B）100 m （C）150 m （D） m 【解題思路】作出如圖所示的圖形，則BAD90°60°30°，AB100，所以BD50，cos30°，所以AD50，CD20050150，在RtADC中，AC100.課堂訓(xùn)練題在一次夏令營活動中，小霞同學(xué)從營地點出發(fā)，要到距離點的地去，先沿北

5、偏東方向到達地，然后再沿北偏西方向走了到達目的地,此時小霞在營地的（ ）A. 北偏東方向上 B. 北偏東方向上 C. 北偏東方向上 D. 北偏西方向上【例4】如圖，已知ABC中，ABC=45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為( )A B4 C D課堂訓(xùn)練題如圖6-32，在菱形ABCD中，ADC=120°，則BDAC等于（ ） （A） （B） （C）12 （D） 【例5】如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°,則船與觀測者之間的水平距離BC= 米課堂訓(xùn)練題如圖，孔明同學(xué)背著一桶水，從山腳出發(fā)，沿與

6、地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（處），米，則孔明從到上升的高度是 米【例6】如圖，某高速公路建設(shè)中需要確定隧道AB的長度.已知在離地面1500 m，高度C處的飛機，測量人員測得正前方A、B兩點處的俯角分別為60°和45°，求隧道AB的長.OA， OB=OC=1500， AB=(m).即隧道AB的長約為635m. 課堂訓(xùn)練題ACDBEFG某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物CD的高度如示意圖，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為，在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為測得A，B之間的距離為4米，試求建筑物C

7、D的高度 【例7】如圖，一條小船從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行海里后到達處，然后又沿北偏西方向航行海里后到達處問此時小船距港口多少海里？（結(jié)果精確到1海里）友情提示：以下數(shù)據(jù)可以選用：，解：過點作，垂足為點；過點分別作，垂足分別為點，則四邊形為矩形， ，； ，； ，由勾股定理，得即此時小船距港口約25海里.課堂訓(xùn)練題如圖所示，MN表示某引水工程的一段設(shè)計路線，從M到N的走向為南偏東，在M的南偏東方向上有一點A，以A為圓心，500米為半徑的圓形區(qū)域為居民區(qū)，則MN上另一點B，測得BA的方向為南偏東.已知米，通過計算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會穿過居民區(qū)？【例8】如圖，某貨船以20海里/時的

8、速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨.此時，接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動.距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響.（1） 問B處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由.（2） 為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物？（供選用的數(shù)據(jù)：1.4，1.7）【參考答案】解：（1）過點B作BDAC，垂足為D.依題意得：BAC=30°，RtABD中，BD=AB=×20×16=160200， B處會受到臺風(fēng)的影響.（2）以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交

9、AC于E、F（如圖），由勾股定理可求得：DE=120，AD=160，AE=ADDE=160120， =3.8（小時）該船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物.課堂訓(xùn)練題如圖，某船以每小時36海里的速度向正東航行，在A點測得該島在北偏東60°方向上，航行半小時后到B點，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁.（1） 試說明B點是否在暗礁區(qū)域外；（2） 若繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？請說明理由.課后自我檢測A類題（10道題）1.在RtABC中，C90°，若，則sinA（ ）A. B. C. D.2.在ABC中，C90°，AB2，BC，則tan .3.

10、計算的值是（ ）A. B. C. D.4.在RtABC中，C90°，AC6，則BC的長為（ ） A.6 B.5 C.4 D.25. ABC中，A、B均為銳角，且，試確定ABC的形狀.6.已知正方形ABCD的兩條對角線相交于O，P是OA上一點，且CPD60°，則POAO .7.在RtABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知ACD的正弦值是，則的值是（ ） A. B. C. D.8.如圖，在RtABC中，C90°，sinA，D為AC上一點，BDC45°，DC6，求AB的長. 9.某水庫大壩橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬CD3米，斜坡AD16米，壩高8米，斜坡BC

11、的坡度13，求斜坡AB的坡角和壩底寬AB.10.在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測河寬，如圖，某學(xué)生在點A處觀測到河對岸水邊處有一點C，并測得CAD45°，在距離A點30米的B處測得CBD30°，求河寬CD（結(jié)果可帶根號）.B類題（10道題）1.某人沿傾斜角為的斜坡前進100米，則他上升的高度為（ ）A.米 B.米 C.米 D.米2.若，則銳角的度數(shù)是（ ） A.20° B.30° C.40° D.50°3.已知cos0.5，那么銳角的取值范圍是（ ） A.60°90° B.0°60° C.30&

12、#176;90° D.0°30°4.ABC中，ACB90°，CD是AB邊上的高，則等于（ ） A.cosB B.tanA C.cosA D.sinA5.已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC與BD相交于點O，BOC120°，試求AB的長.6.如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到，使梯子的底端到墻根O的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降到，那么（ ）A.等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.不能確定 7.如圖，已知四邊形ABCD中，ABBC2

13、，ABC120°，BAD75°，D60°，求CD的長. 8.如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高（精確到0.01米）.（參考數(shù)據(jù)：1.41421，1.73205）9.如圖，直升飛機在跨河大橋AB的上方P點處，此時飛機離地面的高度PO450米，且A、B、O三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為，求大橋AB的長（精確到1米，選用數(shù)據(jù)：1.41，1.73）10.一艘漁船正以30海里小時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30°方向，已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)域的可能？C類題（10道題）1.在RtABC中，C90°，下列式子不一定成立的是（ ）A.cosAcosB B.cosAsinBC.sinAcosB D.2.已知，在ABC中，A60°，B45°，AC2，則AB的長為 .3