矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系

1、方陣與其伴隨矩陣的關(guān)系 摘 要 本文給出了階方陣的伴隨矩陣的定義,討論了階方陣與其伴隨矩陣之間的關(guān)系,例如與之間的關(guān)系，并且給出了相應(yīng)的證明過程.關(guān)鍵詞 矩陣、伴隨矩陣、關(guān)系、證明 在高等代數(shù)課程中我們學(xué)習(xí)了矩陣，伴隨矩陣。它們之間有很好的聯(lián)系，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)中有很大的用處。1伴隨矩陣的定義.設(shè)階方陣.令,其中是的代數(shù)余子式.則稱為的伴隨矩陣.2矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系及其證明.2.1=.當(dāng)可逆時(shí),有,即1.證明：因?yàn)樗?.當(dāng)是可逆矩陣時(shí), ,所以由上式得=即 .證畢.2.2 =.(顯然)2.3 若可逆，則=.(顯然)2.4 設(shè)為階方陣，則2.引理1.若矩陣,滿足,則.證明 因?yàn)?所以的列向

2、量是以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程的解向量.若,則.由克拉默法則知,方程只有零解,從而,進(jìn)而;若,則方程組的基礎(chǔ)解系中含個(gè)向量,于是,因此有.證畢.下面證明2.4.當(dāng)時(shí), 的每一個(gè)階代數(shù)余子式都為零.所以為零陣,所以.當(dāng)時(shí)，,=.由引理1知,+.因?yàn)?則,知至少有一個(gè)階子式不為零.即 至少有一行不全為零. 所以.因?yàn)?從而. 當(dāng)時(shí)，可逆，由1知，也可逆.所以.證畢.2.5 . 當(dāng)可逆時(shí)，.所以. 當(dāng)不可逆時(shí)，.1) 當(dāng)時(shí)，由2.4知.所以.，.則2) 當(dāng)時(shí)，,即，則.證畢.2.6 當(dāng)可逆時(shí),若為的特征值,則是的特征值.當(dāng)時(shí)，的特征值為零，并是重的.引理2. 設(shè)可逆,若為的特征值,則是的特征值.證明

3、: 若,則由得到,于是,這與可逆矛盾,所以.同時(shí)由還有.因此,即 是的特征值.引理證畢.下面證明2.6.不妨設(shè)的特征值為.則由有.,這說明是的特征值.由引理2知, ,所以,即是的特征值.若,(即)時(shí),所以的特征值且是重的.2.7 若為可逆矩陣,則也是可逆矩陣. 證明:由2.1即可得到此結(jié)論.2.8 若為對(duì)稱矩陣,則也是對(duì)稱矩陣.2.9 .證明:當(dāng),均可逆時(shí), ,所以.當(dāng),不都可逆時(shí),則當(dāng)足夠大時(shí),存在使得, 均可逆,此時(shí)有,這是關(guān)于的恒等式,即取零時(shí),該等式也成立,即.證畢.2.10 若為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明:若為正交矩陣,則且,由2.2知.再由2.9知,所以也是正交矩陣.證畢.2.11 ,其中是階方陣.證明:因?yàn)?所以1) 當(dāng)時(shí),.則 2) 當(dāng)時(shí),由2.4知.當(dāng)時(shí),故.當(dāng)時(shí),令,則,.證畢.通過以上的證明,說明了階矩陣