留數(shù)定理習(xí)題及其解答

1、第五章 留數(shù)定理習(xí)題及其解答 5.1設(shè)有,能否說為本性奇點(diǎn)?為什么? 答：這個(gè)級(jí)數(shù)由兩部分組成：即。第一個(gè)級(jí)數(shù)當(dāng)即時(shí)收斂,第二個(gè)級(jí)數(shù)當(dāng)即時(shí)收斂。于是所給級(jí)數(shù)在環(huán)域內(nèi)收斂(成立),且和函數(shù)。顯然是的解析點(diǎn)?？梢姶思?jí)數(shù)并非在的去心領(lǐng)域內(nèi)成立。故不能由其含無限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)斷定的性質(zhì)。注： 此例說明，判斷孤立奇點(diǎn)類型雖可從的Laurent展開式含有負(fù)冪項(xiàng)的情況入手，但切不可忘掉必須是在去心領(lǐng)域內(nèi)的Laurent展式，否則與是什么性質(zhì)的點(diǎn)沒有關(guān)系。5.2 設(shè)在全平面解析，證明：若為的可去奇點(diǎn)，則必有（常數(shù)）；若為的級(jí)極點(diǎn)，則必為次多項(xiàng)式：；除此之外，在處的Taylor展式必有無限多項(xiàng)系數(shù)。證： 因?yàn)樵谌?/p>

2、面解析，所以在鄰域內(nèi)Taylor展式為且。注意到這Taylor級(jí)數(shù)也是在去心鄰域內(nèi)的Taylor級(jí)數(shù)。所以，當(dāng)在的可去奇點(diǎn)<>在去心鄰域內(nèi)Laurent展示無的正冪項(xiàng),即。故(常數(shù))；當(dāng)為的級(jí)極點(diǎn)在去心鄰域內(nèi)Laurent展示中只含有限個(gè)的正冪項(xiàng),且最高正冪為次（）。 即為次多項(xiàng)式；除去上述兩種情況, 為的本性奇點(diǎn)在去心鄰域內(nèi)Laurent展開式中含有無限多個(gè)正冪項(xiàng),因此在中，有無限多個(gè)項(xiàng)的系數(shù)不為0。注 (1). 對(duì)本題的結(jié)論,一定要注意成立的條件為在全面解析，否則結(jié)論不成立。例：在內(nèi)解析(與全平面解析僅差一個(gè)點(diǎn)!)，且以為可去奇點(diǎn)，但又在內(nèi)解析,且以=為一級(jí)極點(diǎn)，但它并不是一次

3、多項(xiàng)式，也不可能與任何一次多項(xiàng)式等價(jià)(它以=0為本性奇點(diǎn))。同樣地， 在內(nèi)解析，以為本性奇點(diǎn)，但它不是超越整函數(shù)，(它不是整函數(shù))；(2). 本題證明完全依賴于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)性態(tài)的分類定義，同時(shí)注意，全平面解析的函數(shù)在鄰域內(nèi)Taylor展示的收斂半徑R= +，從而此Taylor展示成立的區(qū)域恰是的去心領(lǐng)域，即同一展示對(duì)而言即是其去心領(lǐng)域內(nèi)的Laurent展式。5.3 證明：如果為解析函數(shù)的階零點(diǎn)，則必為的階零點(diǎn)。(>1)證 因?yàn)樵邳c(diǎn)解析，且為其階零點(diǎn)。故在的鄰域內(nèi)Taylor展式為其中由Taylor級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)微分性質(zhì)有 右端即為在內(nèi)的Taylor展開式，由解析函數(shù)零點(diǎn)定義知，以為階零

4、點(diǎn)。注 本證明僅用到解析函數(shù)零點(diǎn)定義及冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì).5.4 判斷下列函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1) 2） 3） 4）解 1) 因?yàn)樵趦?nèi)解析，且所給形式即為它在該環(huán)域內(nèi)的Laurent展式，所以為的一級(jí)極點(diǎn)(為一級(jí)極點(diǎn)).2) 因?yàn)樵趦?nèi)解析，且在此環(huán)域內(nèi)有 即在的去心鄰域里的Laurent展式中含有無限多個(gè)的正冪項(xiàng)，故為的本性奇點(diǎn)（0為二級(jí)極點(diǎn)）。3) 因?yàn)樵谔幗馕觯詾楸拘云纥c(diǎn)。在中令，得。為的本性奇點(diǎn)，即為的本性奇點(diǎn)。4) 令，得，即。 為的零點(diǎn)，且 為的一級(jí)極點(diǎn)。且 ，故，為的非孤立奇點(diǎn)。注 當(dāng)為孤立奇點(diǎn)時(shí),一般直接從函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的Laurent展示入手,判斷其類型，但

5、對(duì)3)，因有一定的特性，故可利用這一特性進(jìn)行判斷。5.5 .求出下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并對(duì)孤立奇點(diǎn)指出類型。）（答），均為本性奇點(diǎn)；）為一級(jí)極點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)；）為一級(jí)極點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)；）為唯一奇點(diǎn)，且為本性奇點(diǎn)；）為非獨(dú)立奇點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)，為可去奇點(diǎn)；）為可去奇點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)）。5.6 計(jì)算下列各函數(shù)在指定點(diǎn)的留數(shù)：1) 2) ，在處。解 1) 因?yàn)闉榈囊患?jí)極點(diǎn)，故由留數(shù)計(jì)算規(guī)則有對(duì)，由留數(shù)計(jì)算規(guī)則有 又 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)僅有孤立奇點(diǎn)，故留數(shù)和為0，于是可得 2) ，由留數(shù)定義，等于在處Taylor展式中項(xiàng)的系數(shù)。 有 注意 于擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)僅有兩個(gè)奇點(diǎn)，其留數(shù)和為0，故。5.7 計(jì)算下列函數(shù)在處的留數(shù)

6、1) ；2) 在解 1) 在擴(kuò)充平面僅有兩個(gè)奇點(diǎn)。注意在內(nèi)Taylor展式中只有偶次項(xiàng)。故 在內(nèi)Laurent展式中無項(xiàng)，即。且環(huán)域也是的去心鄰域。故上述展式也是處的Laurent展式。因此 2) ， 為自然數(shù)。由留數(shù)定義知，等于在內(nèi)Lauernt展式中的系數(shù)。注意在該環(huán)域有 5.8 計(jì)算 【答案 5.9 .求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的留數(shù)1）在點(diǎn)。）在點(diǎn)。）在點(diǎn)。（答：1）；）；）；）5.10 計(jì)算函數(shù)的留數(shù)?！窘狻?為的一級(jí)極點(diǎn)，（） 為求，注意為自然數(shù)，只要求在點(diǎn)鄰域Taylor展式中的系數(shù)即可，故又由于擴(kuò)充復(fù)平面僅有奇點(diǎn)，故5.11 計(jì)算下列積分1）2）解 1）因?yàn)榉e分路徑位于環(huán)域內(nèi)，且圍繞，

7、簡單、正向、閉，在該環(huán)域內(nèi)解析，故可知所求積分為 其中為在環(huán)域內(nèi)Lauernt展式項(xiàng)的系數(shù)。 因此時(shí)， （上述展式中無偶次冪項(xiàng)）. 時(shí)，時(shí)， （無偶次冪項(xiàng)）.時(shí)，2) 同1）道理，但積分路徑位于環(huán)域內(nèi)，且圍繞，簡單、正向、閉，在此環(huán)域內(nèi)解析。所以 其中為在環(huán)域內(nèi)Laurent展式中項(xiàng)系數(shù)。因而 時(shí)， 時(shí)，時(shí)， （展式中無偶次冪項(xiàng)）5.12 計(jì)算下列積分（積分路徑均為正向）； 解 因?yàn)樵趦?nèi)解析。路徑位于該環(huán)域內(nèi)，圍繞，簡單、正向、閉，故由留數(shù)定義有 這里為在內(nèi)Laurent展式（即在內(nèi)aylor展式）的項(xiàng)系數(shù)，由冪級(jí)數(shù)乘法易求得：。即5.13計(jì)算積分 （積分方向?yàn)檎较颍?解： 當(dāng)時(shí)為的一級(jí)極點(diǎn)

8、，故當(dāng)時(shí)，積分路徑內(nèi)圍繞了的個(gè)一級(jí)極點(diǎn)由留數(shù)定理有因?yàn)樗?.14 計(jì)算定積分解：被積式為的有理函數(shù)，故令，則，。代入原積分，得則內(nèi)包圍的一個(gè)奇點(diǎn)，且為一級(jí)極點(diǎn)。故，由留數(shù)定理有5.15 計(jì)算定積分解：，設(shè)。則為的有理函數(shù)，且分母次數(shù)為，分子次數(shù)為。且在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面的奇點(diǎn)為，均為一級(jí)極點(diǎn)。5.16計(jì)算定積分。解：首先注意。則故只要計(jì)算第二項(xiàng)的值即可：設(shè)的分母次數(shù)比分子次數(shù)高，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)。由此，于是注：要注意是一實(shí)變量復(fù)值積分，且實(shí)部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)，按實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部得最后結(jié)果。5.17 計(jì)算實(shí)積分 【答案 （1）；（2）】5.18 計(jì)算積分【答案 】5.19 計(jì)算積分的值【答案 】5.20 計(jì)算積分的值【答案】5.21若函數(shù) 解析，且，試求.【答案 】5.22 利用復(fù)變函數(shù)環(huán)路積分方法，證明級(jí)數(shù) （提示：考慮函數(shù) 沿著僅包圍某一個(gè)奇點(diǎn)的環(huán)路的積分）計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐5.23 計(jì)