離散型隨機變量的教學(xué)設(shè)計

1、“離散型隨機變量”的教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 “隨機變量及其分布”一章的主要內(nèi)容就是要通過具體實例，幫助學(xué)生理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項分布的概型并能解決簡單的實際問題，使學(xué)生認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念?！半x散型隨機變量”是這一章的開門課。因此，在本節(jié)課中，讓學(xué)生了解本章的主要內(nèi)容及其研究該內(nèi)容所用的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標和學(xué)習(xí)任務(wù)，提高他們的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣非常重要。于是，本節(jié)課的第一個教學(xué)任務(wù)就是要做好章頭圖的教學(xué)。教材的章頭圖從

2、實例和圖形兩個方面展示了本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，一個是離散型隨機變量的產(chǎn)生背景和分布列的條形圖，另一個是正態(tài)分布的背景和正態(tài)分布密度曲線。教學(xué)時要充分地運用章頭圖的這兩個背景，通過問題的形式，幫助學(xué)生明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和意義。對于一個隨機現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率。對于隨機試驗，只要了解了它可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個結(jié)果發(fā)生的概率，也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁隨機變量。隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實際問題中。而高中階段主要研究的是有限的

3、離散型的隨機變量，因此，本節(jié)課的第二個教學(xué)任務(wù)就是通過具體實例，幫助學(xué)生掌握隨機變量和離散型隨機變量的概念，理解它們的意義和作用，能對一個隨機試驗的結(jié)果，用一個隨機變量表示，并能確定其取值范圍。二、目標和目標解析1.了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和意義。具體要求為：（1）通過章頭圖中給出的射擊運動的情景，幫會學(xué)生了解，在射擊運動中，每次射擊的成績是一個非常典型的隨機事件。在這個離散型的隨機事件中，如何刻畫每個運用員射擊的技術(shù)水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選拔運動員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的概率分布、均值、方差等有關(guān)知識；（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景

4、，幫助學(xué)生了解在這樣一個連續(xù)型的隨機事件的游戲活動中，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學(xué)習(xí)的正態(tài)分布有關(guān)；（3）在上述兩個情景的基礎(chǔ)上，通過問題的形式，幫助學(xué)生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，它們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，用隨機變量表示試驗結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機現(xiàn)象。這樣不僅闡述了本章的主要內(nèi)容，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們明確本章的學(xué)習(xí)目標以及研究本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法。2.理解隨機變量和離散型隨機變量的描述性定義，以及隨機變量與函數(shù)的關(guān)系，能夠把一

5、個隨機試驗的結(jié)果用隨機變量表示，能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個隨機變量。具體要求是：（1）在對具體問題的分析過程中，幫助學(xué)生理解用隨機變量表示隨機試驗結(jié)果的意義和作用：為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁隨機變量，掌握隨機變量的描述性概念，了解隨機變量與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造隨機變量應(yīng)當注意的問題（如隨機變量應(yīng)該有實際意義、應(yīng)該盡量簡單，以便于研究），以及用隨機變量表示隨機事件的方法等；（2）通過具體問題的對比分析，幫助學(xué)生理解隨機變量有兩個類型： 能夠根據(jù)具體問題，把隨機試驗的結(jié)果用一個隨機變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機變量的取值表示一個

6、隨機事件； （3）通過反思隨機變量的定義過程，引導(dǎo)學(xué)生體會，在實際應(yīng)用中如何根據(jù)實際問題恰當?shù)囟x隨機變量（如根據(jù)所關(guān)心的問題，定義隨機變量），以達到事半功倍的效果。 三、重點和難點解析本節(jié)內(nèi)容是為求分布列作鋪墊的一節(jié)概念課。所以要把隨機變量和離散型隨機變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點、難點是：重點：用隨機變量表示隨機試驗結(jié)果的意義和方法； 難點：對隨機變量意義的理解；構(gòu)造隨機變量的方法；隨機變量取值范圍的確定。 四、教學(xué)問題診斷分析1.是否講解“隨機試驗”的概念？研究隨機現(xiàn)象，就是要研究隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（其中的每一個結(jié)果即為一個隨機事件）和每一個結(jié)果發(fā)生的概率（即描述每一個隨機事

7、件發(fā)生可能性大小的度量），從而把握它的統(tǒng)計規(guī)律。這里有三個概念：隨機事件、隨機現(xiàn)象和隨機試驗。在必修三中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件的概念（即在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件），之前，學(xué)生通過在初中數(shù)學(xué)和必修三的概率學(xué)習(xí)，又有了隨機現(xiàn)象的觀念，因此，學(xué)生對“隨機試驗”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機試驗”可以作為不加定義的原始概念引入。事實上，教材在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念（教材第44頁第一個思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學(xué)中，對“隨機試驗”的概念不需要（也根本沒有必要）引導(dǎo)學(xué)生下定義，以避免嚴格的定義可能

8、造成學(xué)生理解的模糊，影響對主干概念“隨機變量”的理解。事實上，“試驗”一詞有十分廣泛的含義：凡是對對象的觀察或為此而進行的實驗都稱之為試驗。如果一個試驗滿足以下條件，則稱之為隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）試驗的所有結(jié)果是明確且可以知道的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。2.怎樣建構(gòu)“隨機變量”的概念？本節(jié)內(nèi)容圍繞隨機試驗的結(jié)果可以用“數(shù)”表示進行展開。擲骰子試驗、擲硬幣試驗是學(xué)生比較熟悉的兩個隨機試驗，對擲骰子試驗的結(jié)果和數(shù)字16對應(yīng)起來學(xué)生很容易理解，而擲硬幣試驗的結(jié)果則不容易聯(lián)想到數(shù)字?？梢?/p>

9、引導(dǎo)學(xué)生思考：值一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字表示呢？通過把“正面向上”與1對應(yīng)，“反面向上”與0對應(yīng)，使得擲硬幣的試驗結(jié)果同樣也可以用數(shù)字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結(jié)果，在此基礎(chǔ)上抽象概括出隨機變量的描述性定義。3.怎樣深化對“隨機變量”概念本質(zhì)的理解？對隨機變量概念的理解，不是下個定義一步完成的，為了幫助學(xué)生深入地體會隨機變量的本質(zhì)，可以對擲硬幣的試驗結(jié)果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數(shù)來表示這兩個試驗結(jié)果嗎？目的是鼓勵學(xué)生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學(xué)生理解隨機

10、變量的本質(zhì)。事實上，對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示其所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。為了幫助學(xué)生體會，究竟選擇什么樣的隨機變量更為合適？這就涉及到構(gòu)造隨機變量應(yīng)當注意的一些基本問題：如隨機變量應(yīng)該有實際意義，應(yīng)該盡量簡單，以便于研究。例如，對于擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)可以表示為，其中，通過這樣的例子，幫助學(xué)生體會用數(shù)字1和0表示，能夠直接反應(yīng)出正面向上的次數(shù)，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗結(jié)果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)的表達式就會變得很復(fù)雜。為了進一步深化對概念的理解，可以引導(dǎo)學(xué)生將隨機變量與函數(shù)概念進行類比：隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？使他們了解隨機變量的概念實

11、際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣。 4.如何通過隨機變量表示所關(guān)心的隨機事件？引入隨機變量的目的是為了研究隨機現(xiàn)象，那么如何通過隨機變量表示所關(guān)心的隨機事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機變量表示隨機事件的方法，特別是一些較為復(fù)雜的隨機事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個類型。特別是對不可列的隨機變量問題，可以根據(jù)所關(guān)心的問題，能夠把它構(gòu)造成可列的隨機變量。從而進一步體會用隨機變量表示隨機事件的方法。 五、教學(xué)過程設(shè)計 1.情境引入情境1：在射擊運動中，運動員每次射擊的成績具有什么特征？（隨機性）運動員每次射擊的成績是一個什么事件？（隨機事件）如何刻畫每個運動

12、員射擊的技術(shù)水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選擇優(yōu)秀運動員代表國家參加奧運會的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個問題要涉及到離散型隨機變量的概率分布模型。 情境2：高爾頓是英國生物學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家，他設(shè)計了一個著名的游戲高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前后擋有玻璃，然后讓一個個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？這個問題近似地服從正態(tài)分布，它是很多自然現(xiàn)象和生產(chǎn)、生活實際問題中經(jīng)常遇到的一種連續(xù)型隨機變量的概率分布模型。 以上兩個問題就是我們本

13、章要學(xué)習(xí)的兩個重要的隨機變量概率分布模型，本章的課題是隨機變量及其分布。 引言：我們知道，概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。無論是運動員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機試驗，只要了解了這些隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即每一個結(jié)果就是一個隨機事件），以及每一個結(jié)果發(fā)生的概率，我們也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，他們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，應(yīng)隨機變量表示試驗結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機現(xiàn)象。引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖的內(nèi)容。然后展示本章的知識結(jié)構(gòu)圖：兩類隨機變量的概率分布模型：離散型隨機變量（在講概率分布

14、列、均值和方差的基礎(chǔ)上）研究二項分布和超幾何分布模型；連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布模型。 2.離散型隨機變量問題1：概率是描述在一次隨機試驗中某個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個隨機試驗，它有六種可能性結(jié)果。你還能舉出一些隨機試驗的例子嗎？該隨機試驗的所有可能結(jié)果有哪些？設(shè)計意圖：能夠判定簡單的隨機試驗，并能列舉出所有可能的結(jié)果，為用“數(shù)”表示這些結(jié)果做好準備。問題2：（1）擲一枚骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)X是1，2，3，4，5，6中的某一個數(shù)； （2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，10中的某個數(shù)。下面兩個隨機試驗的結(jié)果是否可以用數(shù)字表示呢？ （3）擲一枚硬幣所有可能

15、的結(jié)果；正面向上1；反面向上0 （4）新生兒性別，抽查的所有可能的結(jié)果；男1；女0設(shè)計意圖：通過討論引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何一個隨機試驗的結(jié)果都可用數(shù)字進行表示，這樣隨機試驗的結(jié)果與數(shù)字之間就構(gòu)成了一個對應(yīng)關(guān)系，這為引入隨機變量的概念奠定基礎(chǔ)。問題3：上述四個例子說明，隨機試驗的結(jié)果與數(shù)字之間構(gòu)成了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗的結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示。這樣隨機試驗的結(jié)果就可以看成是一個變量，我們稱其為隨機變量。你能給隨機變量下一個定義嗎？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析、綜合活動，嘗試給隨機變量下定義。這種定義方式是描述性的，學(xué)生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準確就可以，不一定按照課本的描述

16、性定義。如一般地，如果一個隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示，這個變量就叫做隨機變量，等。問題4：在（3）和（4）的兩個隨機試驗中，其試驗的結(jié)果是否還可以用其他人數(shù)字表示？設(shè)計意圖：通過討論，得出結(jié)論：一個隨機試驗的結(jié)果可以用不同的隨機變量表示。如上面兩個試驗的結(jié)果還可以用-1和1表示等。 問題5：在擲一枚硬幣的隨機試驗中，其結(jié)果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數(shù)字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機試驗中，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)可以怎樣表示？由此你認為定義一個隨機變量需要遵循哪些原則？設(shè)計意圖：出現(xiàn)“正面向上”次數(shù)，當一次試驗的結(jié)果表示為 =0，1，2，3，4，5；當一次試驗的結(jié)果表示為 -

17、5，-4，-3，-2，-1，0.從使用意義上看，顯然把正面向上的次數(shù)表示成負數(shù)不太合適，而且這樣也不方便，因此，構(gòu)造隨機變量時，應(yīng)當注意一些基本問題：如隨機變量應(yīng)該有實際意義，應(yīng)當盡量簡單，以便于研究。問題6：隨機變量和函數(shù)有類似的地方嗎？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把隨機變量和函數(shù)進行類比，使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣：隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)。在這兩種映射之間，試驗結(jié)果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數(shù)的值域。例1 判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由。（1）每天你接到的電

18、話的個數(shù)X；（2）標準大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結(jié)果的和s.（6）袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù). 設(shè)計意圖：進行隨機變量概念辨析。例2.寫出下列各隨機變量可能的取值（或范圍）:(1)從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張被取出的卡片的號數(shù)X(2)一個袋中裝有3個白球和5個黑球，從中任取5個，其中所含白球數(shù)Y(3)拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和(4)接連不斷地射擊,首次命中目標需要的射擊次數(shù)(5)某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù).(6)某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的

19、時間T（7）電燈泡的壽命X。設(shè)計意圖：訓(xùn)練寫出隨機變量的取值或范圍，并在此基礎(chǔ)上通過分類得到“離散型隨機變量”的概念。問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機變量都有什么特征？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些隨機變量的取值都可以一一列出。問題8：所有取值能夠一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。離散型隨機變量有兩類：一類是離散型隨機變量的取有限個值的，一類是離散型隨機變量取無限個值的（如例2（3），我們主要研究取有限個值的離散型隨機變量。例3.寫出下列離散型隨機變量可能的取值:(1)在考試中需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的

20、可能取值有哪些？ (2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多某自行車租車點的收費標準是每車每次租車不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算)甲乙兩人租車的時間都不超過4小時（兩人不一定同時回來），則兩人所付的總費用X的可能取值有哪些？ 設(shè)計意圖：練習(xí)寫出較為復(fù)雜的離散型隨機變量取值問題9：利用隨機變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出X=0、X=4、X<3各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用隨機變量表示隨機事件，使學(xué)生能夠清晰地說出每一個隨機變量取值的實際意義。問題10：在研究隨機現(xiàn)象時，需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當?shù)诙x隨機變量。例如，對燈泡的使用壽命，如果我們僅關(guān)心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義如下的隨機變量：，與燈泡的壽命X相比較，隨機變量的構(gòu)造更簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易。你能根據(jù)實際意義，把能對（2）定義一個隨機變量嗎？設(shè)計意圖：