圓錐曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、§8.圓錐曲線方程一、橢圓方程.知識(shí)要點(diǎn)PF1 -jPF2 =2a - F1F2 方程為橢圓,1.橢圓方程的第一定義：PF1 - PF2 =2a F1F2 無(wú)軌跡,PF1 - PF2 =2 F1F2以F1,F2為端點(diǎn)的線段橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.ii.2 2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上： 冷與=1(a -b -0). a2 b2” 2 2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上：_L E 1(a -b -0).a2 b2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2 2 丄 a2 b2=1的參數(shù)方程為x =a cos 日y =b sin 6(一象限冊(cè)是屬于-)一般方程：Ax2 By2 =1(A -0, B -0).頂點(diǎn)：(_a,0

2、)(0,_b)或(0, _a)( _b,0).軸：對(duì)稱軸：x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b.焦點(diǎn)：a,0)(c,0)或(0, £)(0,C).焦距：F 1F 2 =2c, c = a2 -b222準(zhǔn)線：x =或y = 玄.cc 離心率：e=E(0 e 1).a 焦點(diǎn)半徑：i.設(shè)P(xo,y°)為橢圓ii.設(shè)P(Xo ,yo)為橢圓2 2務(wù)豊 =1(a _b0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F 2為左、右焦點(diǎn)，則a b22筈每=1(a - b _0)上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則b aPFi=a +ex0, PF 2 = a - ex戸PF =a+ey0, PF2 =a_ey戸由橢圓第二定義

3、可知:PF1 =e(x° -) =a ex0(x。0), pF? =e(c注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acosv,bsin )-方程的軌跡為橢圓通徑：垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d二駕(弋,丘)和(c, ) aaa2 »_x°) =exo v(x° - 0)歸結(jié)起來(lái)為左加右減”.c22”共離心率的橢圓系的方程：橢圓令，§=1(a-b-0)的離心率是e=E(c - *a2-b2)，方程 a2 b222x2 J =t(t是大于0的參數(shù)，a 'b '0)的離心率也是 a2 b2e我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程a2 2

4、若P是橢圓：亍言"上的點(diǎn).甘2為焦點(diǎn)，若0-F1PF2T，則- PF1F2 的面積為 b2tan?(用余弦定理與 PF -|PF2 =2a可得).若是雙曲線，則面積為b2 cot| .二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:PFi| |PF2 =2a、|FiF2方程為雙曲線PFf 'PF2 =2a - F 1F 2 無(wú)軌跡PF1 _PF2 =2a=FtF2以F 1,F2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線2 2 2 2 筈一與=1(a,b -0),篤一篤=1(a,b -0). a ba b八xN的軌跡是橢圓y”(bcos(,bsig) (acost,asig)般方程：Ax2 C

5、y2=1(AC 0).i.焦點(diǎn)在x軸上:頂點(diǎn)：ii.2 y 2 2 （a,0）,（d,0）焦點(diǎn)：（c,0）,（_c,0）準(zhǔn)線方程x二 漸近線方程：蘭_=0或務(wù)一爲(wèi)=0ca ba2 b2焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：2 2 2(0, £),(0,a).焦點(diǎn)：(0,c),(0,=).準(zhǔn)線方程：y=a .漸近線方程：y_x=° 或 y?x0 ,ca ba2 b2仝興a亠工口x=asecTf x=btanO參數(shù)萬(wàn)程：/或*y =b tan 日y =a seco 軸x, y為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為 2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c. 離心率e.a通徑2b2 準(zhǔn)線距琶（兩準(zhǔn)線的距離）；c參數(shù)關(guān)系c2=a2

6、，b2,e=c.a2 x 2 a2焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程=1b2（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）“長(zhǎng)加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）MF 1 二ex。a構(gòu)成滿足MF 2 =ex° -aMF 1MF 2M F 1MF* 'MF-ey 0 - a=ey 0 a-ey 0 亠aM F 2 二-ey 0 a等軸雙曲線：雙曲線 x2-y2='a共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲2 2 2 2 2 2線.22=與x - 互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近

7、線：_y_7 -0.a ba ba b222 2共漸近線的雙曲線系方程：篤-篤 - 0）的漸近線方程為 篤-氣-0如果雙曲線的漸近線為a2 b2a2 b222x-0時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為 務(wù)-£ =（"）.a ba2 b2例如：若雙曲線一條漸近線為1 1八畀且過(guò)p（3，-），求雙曲線的方程?2122解：令雙曲線的方程為：_y2 = ,（, =0），代入（3,_丄）得1.4282直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域區(qū)域區(qū)域區(qū)域區(qū)域小結(jié)：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì) 3 條;2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)

8、4條；即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線1過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有2若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入 交和兩根之和與兩根之積同號(hào) 2 2若P在雙曲線篤-每=1，則常用結(jié)論a by2條;0、2、3、4 條.“厶”法與漸近線求1 ：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.2: P到焦點(diǎn)的距離為m = n,貝U P到兩準(zhǔn)線的距離比為m : n.簡(jiǎn)證:PF1 d 1 _ e d2 一|PF2e三、拋物線方程.3.設(shè)p -0 ,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

9、2y =2px2y =_2pxX 2 = 2 py2x =_2py圖形JxK干焦占八 '、八、F（|，0）pF（-和）F（0$）pF(0，-于)準(zhǔn)線x J2X22V 1范圍x X0, y 乏 Rx 蘭0, y Rx R y 0x R, y E0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)（0, 0）離心率e =1焦占八 '、八、|PF：i =2 g|PF|=#x1|PF|=£+yi|pf| =號(hào)畑注：ay2 by亠c =x頂點(diǎn)（4ac七）.4a 2ay2=2 px(p =0)則焦點(diǎn)半徑x+Px2=2 py(p =0)則焦點(diǎn)半徑為PF =y+£22通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的

10、22y2 =2px (或x2 =2py )的參數(shù)方程為=2pt y =2ptx = 2 pt(t為參數(shù))2四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義 .4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線I的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0 e 1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e -1時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng) e = 0時(shí)，軌跡 為圓(e =，當(dāng) c =0, a =b 時(shí)).a5.圓錐曲線方程具有對(duì)稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱的.因?yàn)榫哂袑?duì)稱性，所以欲證 AB=CD,即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1.

11、到兩定點(diǎn)Fl,F2的距離之和為定 值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡1.到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的 絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的 點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定 值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離 相等的點(diǎn)的軌跡.方標(biāo)準(zhǔn)方程2 2篤 + 爲(wèi)=1( a a b >0) ab2 2xy=1(a>0,b>0) aby2=2px程參數(shù)方程x = a cos。 ：y =bsi n 日 (參數(shù)日為離心角)：x = a se出 y = bta n& (參數(shù)e為離心角)X 理(t為參數(shù))J = 2 pt范圍a<a, by 型|x| > a, yERxR中心原點(diǎn)0 (0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0),( a,0) (0,b) , (0, b)(a,0), (a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a,短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸;實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.x軸焦占八 '、八、F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2(c,0)F0)2焦距2c (c= +'a2 - b2 ): 2 22c(