數(shù)學競賽輔導資料利用數(shù)形結(jié)合法巧妙解題

1、數(shù)學競賽輔導資料利用數(shù)形結(jié)合法巧妙解題對于有些代數(shù)題采用常規(guī)方法處理往往頗費周折,而利用“圖形”則會取得事半功倍的效果。請看:例1. 已知a ,b ,c ,d 都是正數(shù),并且ac bd a b c d -=+=+=0112222,。 求證:a d b c =,證明:作Rt ABC 和R t A B C ''',使斜邊AB A B AC a BC b =''1,A C d ''=,B C c ''=(如圖1。 圖1由ac bd -=0得:ad bc =又C C ='90所以Rt ABC Rt A B C '&

2、#39;'又AB A B =''1所以Rt ABC Rt A B C '''即a d b c =,例2. A 、B 兩地相距64千米,甲騎車比乙騎車每小時少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A 、B 兩地相向而行,甲比乙先行40分鐘,兩人相遇時所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少?解:如圖2所示,AB 表示A 、B 兩地相距64千米,AC AB 圖2設(shè)AC =x ,表示甲的行駛速度,作BD AB設(shè)BD =x +4,表示乙的行駛速度,在AB 上,取A A x '=23,表示甲在40分鐘所行的路程,A C ''AB

3、,且A C ''=x ,連結(jié)C D '與AB 交于E ,表示甲、乙各在A 、B 處同時相向而行并相遇于E 點,于是A E x BE '=-=322332,由Rt A C E Rt D BE '',得xx x 3223432-=+解得:x x 121216=-,(舍去于是x x =+=12416,即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時和16千米/小時。例3. 甲對乙說:“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你才4歲?！币覍渍f:“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將61歲?！闭埬闼阋凰慵?、乙現(xiàn)在的各自歲數(shù)。 圖3解:如圖3,畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡,

4、設(shè)乙現(xiàn)在的年齡為x 歲,從圖形中可以很直觀地看到。當甲為x 歲時,乙為4歲;當乙為x 歲時,甲為(x x +-=4 (24x -歲;當乙為(24x -歲時,甲為61歲。根據(jù)甲、乙的年齡差不變,可得(612424-=-x x x解得:x =23所以24232442x -=-=答:甲現(xiàn)在42歲,乙現(xiàn)在23歲。例4. 設(shè)a ,b ,c 都是正實數(shù),求證:a c b c a b 2222+-+-證明:a b =時,顯然成立。由于a ,b 的地位相同,不妨假設(shè)a b >,這時要證的不等式轉(zhuǎn)化為a c b c a b 2222+-+-。 圖4作ABC (如圖4,CA =CB ,CD 為底邊AB 上的

5、高,E 為CD 上的一點,使得CD a ED b AD DB c =,由勾股定理得:CA CB a c EB b c =+=+2222, 又C E C D ED a b =-=-在CBE 中,CB EB CE -< 即a c b c a b 2222+-+<-綜上,命題得證。例5. 設(shè)a ,b ,c ,d 均為正數(shù),滿足ab cd =,且a 為最大。求證:a d b c +>+。證明:不妨取線段AC a =,在AC 上取一點B ,使AB d =,則BC a d =-,以BC 為直徑作O ,如圖5。 圖5設(shè)b c ,作割線(或切線AD b =交O 于E ,作OF AD ,F 為垂足。 因為AB AC AE AD ··= 即ad b AE =·因為ad bc =,所以AE c = 又(A O A B B C d a d a d =+=+-