基本不等式題型總結(jié)(經(jīng)典,非常好,學(xué)生評價高)

1、1基本不等式一.基本不等式 公式：ab （a _ 0,b _ 0），常用 a b _ 2、. ab2222 升級版： _aba,b R2 I 2丿選擇順序：考試中，優(yōu)先選擇原公式，其次是升級版二考試題型【題型1】基本不等式求最值求最值使用原則：一正二定三相等一正：指的是注意 a,b范圍為正數(shù)。二定：指的是ab是定值為常數(shù)三相等：指的是取到最值時a =b典型例題：1例1.求y = x （x ： 0）的值域2x分析：x范圍為負(fù)，提負(fù)號（或使用對鉤函數(shù)圖像處理）1解：y = (X) x ： 0- x 0-2xx+丄蘭2-x)(丄)-2xS-2xx 2x_w得到y(tǒng)（l2例2.求y2x (x 3)的值域

2、x 3解：y =丄 2x (“添項(xiàng)”，可通過減3再加3,利用基本不等式后可出現(xiàn)定值)x 31x32(x -3) 61x 3 . x -3 02(x -3) _2 .2x 3.y _2、. 2 6，即 y p 2 6, 2例 3求 y = sin x(0 ： x ：二)的值域sin x分析：sinx的范圍是(0,1)，不能用基本不等式，當(dāng) y取到最小值時，sinx的值是,2，但2不在范圍內(nèi)解：令 t =sinx, t (0,1)十2是對鉤函數(shù)，利用圖像可知:2在(0,1)上是單減函數(shù)，所以t 3，(注：3是將t=1代入得到)ty (3,注意：使用基本不等式時，注意y取到最值，x有沒有在范圍內(nèi)，如

3、果不在，就不能用基本不等式，要借助對鉤函數(shù)圖像來求 值域。3x +2x +1例4.求y = （x -2）的值域x+2分析：先換元，令x 2 ,t 0，其中x二t 2解:(t -2)22(t -2) 1t2 6t 11 cyt 一 6t t 0 . t_2. t6_8.tty 8,cx + dx + fp總之：形如y（a = 0,c= 0）的函數(shù)，一般可通過換元法等價變形化為y二tax + bt（p為常數(shù)）型函數(shù)，要注意t的取值范圍；【失誤與防范】1.使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.2 在運(yùn)用重要不等式時，

4、要特別注意“拆” “拼” “湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正” “定”“等”的條件.3 連續(xù)使用公式時取 等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.【題型2】 條件是a b或ab為定值，求最值（值域）（簡）例5若x0,y =0且x + y =18，貝U xy的最大值是 解析：由于x 0, y 0 ,則x y _ 2. xy，所以2 xy -18，則xy的最大值為81例6.已知x, y為正實(shí)數(shù)，且滿足 4x+3y=12，則xy的最大值為 .解析：幕 4x，3y _2.、4x3y / 4、.、3xy 乞 12 ,xy 乞 3當(dāng)且僅當(dāng)3：?12 即時,xy取得最大值3.例7.已

5、知m a0,n a0 ,且mn =81，則m + n的最小值為解析：；m 0, n 0 , m n - 2 . mn =18，當(dāng)且僅當(dāng)m = n = 9時，等號成立.總結(jié)：此種題型：和定積最大，積定和最小5【題型3】 條件疋a b或一為疋值，求最值（范圍）（難） a b方法：將1整體代入1 1例&已知x 0,y 0且x y =d，貝V的最小值是x y解析：；x y =111/ J 1 y xy x ,(x y)()=22 24x yx y x y ' x y所以最小值是414例9.已知a >0,b >0 , a+b=2，貝U y= + 的最小值是a ba b=2 即

6、"=（兀號）一空22 2a b5 _b . 2a 5 2 b 2a2 2a b _ 22a b9所以最小值是一21 2例10.已知x0,y:>0，且一+ =1,求x+2y的最小值是 x y解析：；-2 -1,x y則 x 2y =(丄 2)(x 2y) =1 創(chuàng)空 4 =5 2 2y 2x =9 x yx yx y從而最小值為9【題型4】已知a b與ab關(guān)系式，求取值范圍例11若正數(shù)a,b滿足ab=ab3，求ab及a b的取值范圍.解析：把a(bǔ)b與a b看成兩個未知數(shù)，先要用基本不等式消元解：求ab的范圍（需要消去 a b :孤立條件的a ba Z ab將a - b替換） ab = a b 3 . a b = ab3 , a b _ 2 , ab 二，ab-3_2、ab （消a b結(jié)束，下面把a(bǔ)b看成整體，換元，求 ab范圍）令 . ab （t 0），則 ab -3一2.,託變成 t2 -3 _ 2t解得t _3或t三一1 （舍去），從而ab _ 9a +b 2求a - b的范圍（需要消去 ab :孤立條件的abab乞（）2將ab替換）2寫 ab = a +b +3 ,ab 蘭"，I 2丿.a b I ab （消ab結(jié)束，下面