局部緊致空間

1、定義7.6.1定義7.6.2作業(yè) §7.6局部緊致空間,仿緊致空間本節(jié)重點(diǎn):掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系；掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系定義7.6.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域,則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間由定義立即可見,每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間,因?yàn)榫o致空間本身便是它的每一個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域n維歐氏空間也是局部緊致空間,因?yàn)槠渲械娜魏我粋€(gè)球形鄰域的閉包都是緊致的定理7.6.1每一個(gè)局部緊致的空間都是正則空間證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間

2、,設(shè)xX,U是x的一個(gè)開鄰域令D是x的一個(gè)緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集由推論7.2.4,D作為子空間是一個(gè)緊致的Hausdorff空間,所以是一個(gè)正則空間是x在子空間D中的一個(gè)開鄰域,其中是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部從而x在子空間D中有一個(gè)開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W一方面V是子空間D中的一個(gè)開集,并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個(gè)開集,而W是X中的一個(gè)開集,所以V也是X中的開集另一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點(diǎn)x在X中的開鄰域V使得因此X是一個(gè)正則空間定理7.6.2設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間,xX,則

3、點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基證明設(shè)U是xX的一個(gè)開鄰域令D為x的一個(gè)緊致鄰域,則是x的一個(gè)開鄰域因?yàn)閄是正則空間,所以存在x的開鄰域V使得閉集是x的一個(gè)閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個(gè)緊致鄰域 從前面兩個(gè)定理立即可以推出:推論7.6.3設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,xX則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基定理7.6.4每一個(gè)局部緊致的正則空間都是完全正則空間證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正則空間如下:設(shè)xX和B是X中的一個(gè)閉集,使得是x的一個(gè)開

4、鄰域由定理7.6.2,存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得V作為X的一個(gè)子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的),因此是完全正則的因而存在連續(xù)映射g:V0,1,使得g(x)=0,和對(duì)于任何有g(shù)(y)=1定義映射h:使得顯然h是一個(gè)連續(xù)映射定義映射f:X0,1,使得對(duì)于任何zX 首先,映射f的定義是確切的,因?yàn)槿绻?則有g(shù)(z)=1=h(z)其次,都是X中的閉集,從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的最后,顯然有f(x)=0及對(duì)于根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4定義7.6.2設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個(gè)元素包含于B中的某一個(gè)元素之中,則稱A是B的一個(gè)加細(xì)顯然,

5、如果A是B的一個(gè)子覆蓋,則A是B的一個(gè)加細(xì)定義7.6.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A是X的子集A的一個(gè)覆蓋如果對(duì)于每一個(gè)xA,點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U僅與A中有限個(gè)元素有非空的交,即:AA|AU是一個(gè)有限集,則稱A是集合A的一個(gè)局部有限覆蓋有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋定義7.6.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)局部有限的開覆蓋是它的加細(xì),則稱X是一個(gè)仿緊致空間緊致空間自然是仿緊致的離散空間也是仿緊致的,因?yàn)樗袉吸c(diǎn)集構(gòu)成的集族是離散空間的一個(gè)開覆蓋并且是它的任何一個(gè)開覆蓋的局部有限的加細(xì)定理7.6.5每一個(gè)仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間證明:設(shè)X是一個(gè)仿緊致的正則空間,A是X中的一個(gè)閉集,U是

6、A的一個(gè)開鄰域?qū)τ诿恳粋€(gè)aA,點(diǎn)a有一個(gè)開鄰域,使得從而集族是X的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)局部有限的加細(xì),設(shè)為,令則是A的一個(gè)局部有限的開覆蓋于是是A的一個(gè)開鄰域以下證明如果,由于是局部有限的,所以x有一個(gè)鄰域W只與中有限個(gè)元素有非空的交,于是這證明了定理7.6.6每一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間都是正則空間,因而也是正規(guī)空間證明:設(shè)X是一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間,茲驗(yàn)證X是一個(gè)正則空間如下:設(shè)xX,B是X中的一個(gè)不包含點(diǎn)x的閉集,對(duì)于每一個(gè)bB,存在x的一個(gè)開鄰域和b的一個(gè)開鄰域,使得特別,集族是X的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)局部有限的加細(xì),設(shè)為令集族是B的一個(gè)局部有限的開覆蓋令V是閉集B的一個(gè)開鄰域我們有(x有一個(gè)鄰域W只與中有限個(gè)元素有非空的交,因此W也只與中有限個(gè)元素,設(shè)為有非空的交如果則因此存在某一個(gè)然而易見于是得到矛盾)因此是x的一個(gè)開鄰域此外顯然根據(jù)定理7.6.5,定理7.6.6及圖表6.1我們有圖表7.5:引理7.6.7設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間則X有一個(gè)開覆蓋滿足條件:對(duì)于每一個(gè),