談條件概率常見問題解題方法

1、談條件概率常見問題解題法 摘要:條件概率是高中概率知識較難學的知識點之一，本文在于如何通過條件概率的概念及性質(zhì)來總結和概括條件概率的解題方法和常見的應用問題，以利于教師和學生更好地學習條件概率知識。 關鍵詞:條件概率，事件、樣本空間 1.條件概率的概念 一般地，設為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。 關于條件概率，有下面的定理: 定理1:設事件的概率，則在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件的條件概率等于事件的概率除以事件的概率所得的商: 推論：二事件的交的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件已發(fā)生的條件概率的乘積: 性質(zhì)：1. =1- 2.條件概率P(BA)與積事件P(A

2、B)概率的區(qū)別與這是兩個截然不同的事件概率設是隨機試驗對應的樣本空間中的兩個事件，是事件同時發(fā)生的概率，而是在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B的概率。從樣本空間的角度看，這兩種事件所對應的樣本空間發(fā)生了改變, 求時，仍在原來的隨機試驗中所對應的樣本空間中進行討論；而求時，所考慮的樣本空間就不是了，這是因為前提條件中已經(jīng)知道了一個條件(即已經(jīng)發(fā)生)，這樣所考慮的樣本空間的范圍必然縮小了,當然乘法公式給出了它們之間的聯(lián)系。 3.條件概率的解題方法： 解答條件概率問題，首先要判明問題的性質(zhì)，確定所解的問題是不是條件概率問題。如果所要考慮的事件是在另一事件發(fā)生的前提下出現(xiàn)的，那么這一事件的概率，必須按條件概

3、率來處理。求解簡單條件概率問題，有五種基本方法:（1） 化為古典概型解決（2） 化為幾何概型解決（3） 條件概率公式法如果,則先在原樣本空間中計算和，再按公式計算（4）縮減樣本空間法：在事件發(fā)生的前提下，確定事件B的縮減樣本空間，并在中計算事件發(fā)生的概率，從而得到(5)利用條件概率的性質(zhì)=1 -4.條件概率常見應用問題類型 類型1：擲骰子子問題例1將一枚硬幣拋擲三次，記事件為 “至少出現(xiàn)一個正面“，記事件為 “至少出現(xiàn)兩個反面”，求.解法1：化為古典概型解決：表示“恰有一個正面兩個反面，=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,=TTT ,HHT,HTH,HTT,THH

4、,THT,TTH, = HTT,THT,TTH, , 解法2：縮減樣本空間法：在縮減樣本空間中看，共有7個元素，其中只有3個屬于，故有，類型2：摸球問題例2：袋中有10個球，其中6個白球，4個黑球，從中一次次摸球，每次摸一個，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。解法1：條件概率公式法設第1次摸到白球；第2次摸到黑球求：袋中有10個球，每個球等可能地被取中?？紤]兩次取球的隨機試驗；從袋中不放回地摸取兩次，每一次個，共有種摸法即樣本點總數(shù)為個。第1次摸到白球的摸法有種，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能從9個球中摸一球，有種摸法，因此A包含的樣本點數(shù)為個。故由古典慨型的概

5、率計算公式得=求：考慮上述同個隨機試驗的樣本空間，樣本點總數(shù)仍為個，其中事件AB表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB包含的樣本點數(shù)為個,于是由古典概率計算公式可得, 故由條件概論可得=解法二：縮減樣本空間法:對方法一中的樣本空間進行縮減，在“第1次摸到白球”的條件下，樣本空間所包含的樣本點數(shù)為其中“第2次摸到黑球”的樣本點數(shù)為。故由古典概率計算公式可得類型3：產(chǎn)品檢驗問題：例3：設有某產(chǎn)品一盒共6只，已知其中有2只次品，從中取二次，每次任取一只，作不放同抽樣。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。解法：設事件為“第一次抽得次品”，事件為“第二次抽到次品”，則為“第一次和第二次

6、都抽得次品”，故有,類型4：整數(shù)的倍數(shù)問題例4:從1-100共100個正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一數(shù)不大于50,求此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率?解：設事件為“取出的數(shù)不大于50，事件為“取出的數(shù)是2的兩倍，事件為“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”, 則，且求概率為類型5;等候問題例5：兩人約好于某一天早晨8時到9時之間在某地會面，并約定先到者等候另一人30分鐘方可離開，已知兩人會上了面，求先到者等候另一人超過20分鐘的概率。解：設事件 兩人會上了面 ， 先到者等候另一人超過20分鐘 先用集合表示該試驗的樣本空間及事件、，得， ，（ 樣本點 -對應基本事件“兩人到達某地的時刻分別為、，、的單位：時分 ）如圖

7、所示。于是，所求事件的概率為： 類型6:醫(yī)療診斷問題例6：據(jù)調(diào)查，在50個耳聾人中有4人色盲，在9950個非耳聾人中有796人色盲，分析兩種疾病是否相關. 解:設事件為耳聾人，事件為色盲人，則.依題意可得，,，概率公式， 所以，,事件與事件相互獨立. 經(jīng)過以上分析得出結論：耳聾與色盲無關.類型7:其它類型例7：某校計科系一年級100名學生中有男生80名，來自南京的20名學生中有男生12名，選修數(shù)學建模課的40名學生中有男生32名，求碰到選修數(shù)學建模課的學生的情況下，是一名女生的概率。解：A=也可利用條件概率的性質(zhì)解決： =1- 例8：一個家庭中有兩個小孩，假定生男生女是等可能的，已知這個家庭有

8、一個是女孩，問這時另一個孩子是男孩的概率？已知其中一個是女孩，問另一個也是女孩的概率？解：(1)基本事件空間=（男，男）（男，女）(女，男）（女，女），記事件 =“其中一個是女孩”，=“其中一個是男孩”,顯然： 事件包括（男，女）（女，男）（女，女）三個結果；事件包括（男，女）（女，男）兩個結果；事件與的關系可以用韋恩圖表示為（圖1）：故由條件概率公式易得:     由上面的推導過程不難得到： 結論1：當問題為古典概型時，經(jīng)類比推理可得結論2：當問題為幾何概型時 (2)記事件為“其中一個是女孩”,事件為“另一個也是女孩”,由韋恩圖明顯看出事件的

9、集合是事件集合的子集 （圖2）由條件概率-古典概型公式得            觀察得到等式：  且                 故可以推斷條件概率性質(zhì)：總結: 解條件概率題首先要判明問題的性質(zhì)，確定所解的問題是不是條件概率問題,如果所要考慮的事件是在另一事件發(fā)生的前提下出現(xiàn)的，那么這一事件的概率，必須按條件概率來處理。條件概率的問題，必須從題設情形出發(fā)，靈活運用條件概率的有關性質(zhì)或公式解答條件