西南交大峨眉校區(qū)數(shù)學(xué)建模第一次預(yù)選答案

1、西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽第一次預(yù)選賽 學(xué)號：20106995 專業(yè)：工機(jī)2班 姓名：吳一凡 （1）質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（本題10分）已知在平面上的個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量分別為，請你確定一個(gè)點(diǎn)，使得質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于此點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小，此時(shí)有，即取質(zhì)心位置。得到（2）火箭發(fā)射問題（本題10分）當(dāng)火箭從地面發(fā)射后，它的質(zhì)量以40千克/秒的速度減少，當(dāng)火箭離地球中心6378公里時(shí)，這時(shí)火箭的速度是100公里/秒，火箭的質(zhì)量為3189千克,問這時(shí)的地球?qū)鸺囊p少的速率是多少（已知地球的質(zhì)量千克，引力常數(shù)牛米2/千克2）？由，除以時(shí)間t，推出：代入數(shù)據(jù)，求得結(jié)果為。低碳經(jīng)

2、濟(jì)的評價(jià)與科學(xué)預(yù)測摘要本文由實(shí)際出發(fā)，在所給數(shù)據(jù)中進(jìn)行合理性的篩選，將表中數(shù)據(jù)通過評價(jià)系數(shù)來劃分等次，通過加權(quán)系數(shù)進(jìn)行處理，得到評價(jià)指數(shù)，具有良好的公平性。問題一通過比較可以得知，在綜合評價(jià)中北京>重慶>四川>上海。在分析各省低碳經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化中，北京的各項(xiàng)指標(biāo)突出，低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展很好。上海正在大力推行低碳經(jīng)濟(jì)，它的評價(jià)指數(shù)在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動(dòng)。問題二要預(yù)測2012年4個(gè)省的人均排放量，通過數(shù)據(jù)量小的特點(diǎn)，利用改進(jìn)后的二次移動(dòng)平均法建立預(yù)測模型，利用EXCEL軟件求解。結(jié)果為：北京6.633；上海13.710；重慶5.702；四川4.105。通過

3、擬合的方法驗(yàn)證模型是正確的。問題三要滿足目標(biāo)，在查閱資料后找出與題中對應(yīng)的我國十二五節(jié)能減排目標(biāo)：1) 單位GDP二氧化碳排放降低17% 2)森林覆蓋率提高到21.66%由此通過預(yù)測模型求解2015年以上兩項(xiàng)的數(shù)值，加以比較，利用EXCEL軟件求解。北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達(dá)到單位GDP二氧化碳排放量減排目標(biāo)，四川也沒有達(dá)到森林覆蓋率的既定目標(biāo)。并就這些問題給出了相關(guān)建議。本文最大的特色是利用評價(jià)系數(shù)系統(tǒng)地得到評價(jià)指數(shù)，具有良好的公平性。通過基于線性規(guī)劃的二次移動(dòng)平均法來預(yù)測數(shù)據(jù)，簡單容易，比較準(zhǔn)確。同時(shí)利用數(shù)值擬合與線性規(guī)劃的方法進(jìn)行驗(yàn)證。EXCEL軟件對商務(wù)辦公

4、來說非常方便,既解決了傳統(tǒng)手工進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測的繁雜，又避免了未漢化SAS軟件給普通用戶帶來的困難。對于日常研究，調(diào)研分析都有實(shí)際的參考意義。關(guān)鍵詞：評價(jià)系數(shù)、移動(dòng)平均法、數(shù)值擬合、excel一、問題提出2009年聯(lián)合國丹麥哥本哈根氣候大會(huì)以來，“應(yīng)對氣候變化”成為全世界關(guān)注的最熱門的話題?！暗吞肌钡幕竞x是較低地排放以二氧化碳為代表的溫室氣體。低碳經(jīng)濟(jì)，以減少溫室氣體排放為特征。發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，必須在聯(lián)合國氣候變化框架公約的基礎(chǔ)上，它需要國家的支持，需要每一個(gè)企業(yè)單位，每一個(gè)人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳貿(mào)易、低碳企業(yè)治理、低碳城市構(gòu)建等方方面面，需要自然科學(xué)、技術(shù)

5、科學(xué)、人文、社會(huì)、管理科學(xué)之間的融合與協(xié)調(diào)作戰(zhàn)。附錄給出了20052009年北京、上海、重慶、四川4個(gè)省的相關(guān)數(shù)據(jù)，請你研究下面三個(gè)問題：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型對4個(gè)省的低碳經(jīng)濟(jì)競爭力進(jìn)行綜合評價(jià)，給出每個(gè)省在各年的低碳經(jīng)濟(jì)競爭力的排序結(jié)果，分析各省低碳經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化狀況。（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測2012年4個(gè)省的人均排放量。（3）溫家寶總理在哥本哈根氣候大會(huì)上莊嚴(yán)宣布，到2020年我國單位國內(nèi)生產(chǎn)總值CO2排放在2005年基礎(chǔ)上下降40%45%的長期目標(biāo)。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國家“十二五規(guī)劃”也明確提出了階段的約束性指標(biāo)。請你查閱有關(guān)資料，提出你自己認(rèn)為切實(shí)可行的完成這一目標(biāo)的

6、建議和意見。二、基本假設(shè)1、假設(shè)各省相關(guān)數(shù)據(jù)具有獨(dú)立性，互不影響，各個(gè)指標(biāo)也不相互影響。2、假設(shè)各省相關(guān)數(shù)據(jù)具有良好的穩(wěn)定性，沒有特殊政策和突發(fā)情況的影響。三、符號說明符號意義單位備注表格中提供的各項(xiàng)數(shù)據(jù)N次移動(dòng)平均值四、問題分析本題是評價(jià)并預(yù)測的題目。數(shù)據(jù)少，波動(dòng)性小。問題一首先進(jìn)行數(shù)據(jù)分類，將所有數(shù)據(jù)處理成評價(jià)系數(shù)的形式。因?yàn)閿?shù)據(jù)之間數(shù)量級的差距，故利用加權(quán)系數(shù)加以調(diào)整，得到合理的綜合評價(jià)指數(shù)。問題二則需要分析數(shù)據(jù)，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢來采用合適方法進(jìn)行預(yù)測，并利用數(shù)值擬合下的線性規(guī)劃模型來相互印證預(yù)測的準(zhǔn)確性。問題三要查找資料，根據(jù)上問中得到的預(yù)測模型來預(yù)測各項(xiàng)指標(biāo)，并分析是否完成預(yù)期目標(biāo)，

7、并給出相關(guān)建議。五、模型的建立與求解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析將表中數(shù)據(jù)通過評價(jià)系數(shù)來劃分等次，評價(jià)系數(shù)與評價(jià)指數(shù)的關(guān)系是：評價(jià)系數(shù)取值范圍默認(rèn)在（1-100）之間，取整數(shù)。不在范圍內(nèi)的利用加權(quán)系數(shù)酌情處理。表格中數(shù)據(jù)分析：表1人均二氧化碳排放，最小2.1，最大12.0993表2森林覆蓋率，最小3.17%，最大34.81%表3人均城市綠地面積，最小12.61，最大68.70表4單位建成區(qū)面積能耗，最小46016，最大108122表5單位GDP二氧化碳排放，最小1.1394，最大2.2722經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，使得系數(shù)處于一個(gè)適當(dāng)范圍內(nèi)。類別表1表2表3表4表5評價(jià)系數(shù)212

8、33412684610811.322.7本次是要評價(jià)各省低碳經(jīng)濟(jì)競爭力，故表1，表4，表5所代表的指標(biāo)應(yīng)盡可能低，表2、表3代表的指標(biāo)應(yīng)該盡可能高。5.1.2 問題一模型的建立建立評價(jià)指數(shù)模型：式中，為綜合評價(jià)指數(shù)；是每組指標(biāo)的評價(jià)指數(shù)；是每組指標(biāo)給定的加權(quán)系數(shù)；n代表其年份。5.1.3 問題一模型的求解利用Excel軟件計(jì)算，可以得到評價(jià)指數(shù)Q。當(dāng)a=1時(shí)，可以得到以下排名：地區(qū)20052006200720082009北京-12-10-17-136上海-104-114-118-122-67重慶-66-64-62-64-58四川-48-75-79-80-78年份低碳經(jīng)濟(jì)競爭力排名2005北京&

9、gt;四川>重慶>上海2006北京>重慶>四川>上海2007北京>重慶>四川>上海2008北京>重慶>四川>上海2009北京>重慶>上海>四川綜合評價(jià)北京>重慶>四川>上海5.1.4 問題一結(jié)果的分析及驗(yàn)證根據(jù)所得到的評價(jià)指數(shù)我們得知四省市的指數(shù)排名為北京>重慶>四川>上海。實(shí)際分析，可以通過對數(shù)據(jù)的分析得到該指數(shù)與實(shí)際情況呈正相關(guān)，故實(shí)際得到的排名為北京>重慶>四川>上海是合理的。當(dāng)a取不同值時(shí)，雖然個(gè)別結(jié)果有差異，但總體上結(jié)果是一樣的，a=1是最簡情況。

10、各省低碳經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化狀況：北京的各項(xiàng)指標(biāo)突出，低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展很好。上海正在大力推行低碳經(jīng)濟(jì)，它的評價(jià)指數(shù)在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動(dòng)。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析通過散點(diǎn)圖觀察，發(fā)現(xiàn)觀測值都趨于穩(wěn)定?？梢圆捎枚我苿?dòng)平均法預(yù)測。通過與平滑指數(shù)法和數(shù)值擬合進(jìn)行互補(bǔ)比較，就可以說明預(yù)測的準(zhǔn)確性。5.2.2 問題二模型的建立（1） 一次移動(dòng)平均法的預(yù)測模型：式中，是一次移動(dòng)平均值；是實(shí)際值之和，為取值的個(gè)數(shù)。其中n的取值很重要，當(dāng)n值較大時(shí)，靈敏度較差，有顯著的“滯后現(xiàn)象”；當(dāng)n值較小時(shí)，可以靈敏地反映時(shí)間數(shù)列的變化；但n值過小，又達(dá)不到消除不規(guī)則變動(dòng)

11、的目的。一般來說，可以采用不同n，對時(shí)間數(shù)列進(jìn)行試驗(yàn)，從中選擇最優(yōu)n。本題為了達(dá)到最大利用程度，選擇n=3。式中，是移動(dòng)平均值；是實(shí)際值。（2） 一次平滑指數(shù)法的預(yù)測模型：式中，為t年的實(shí)際值；為t年的預(yù)測值；是平滑系數(shù)，取值為。首項(xiàng)的預(yù)測值可以取前三項(xiàng)的平均值。（3）基于擬合的線性規(guī)劃模型：通過Excel中的趨勢線來找到函數(shù)關(guān)系式，建立線性規(guī)劃模型：式中，為預(yù)測值，a，b是擬合得到的系數(shù)，x是自變量，根據(jù)表格而定。5.2.3 問題二模型的求解利用excel加載宏中的“數(shù)據(jù)分析”，首先以北京為例，可以得到以下結(jié)果：預(yù)測值7.42517.49137.233067誤差21.66%移動(dòng)平均法實(shí)際值7

12、.2980 6.9773 7.8136 7.4844 7.1759 預(yù)測值7.2980 7.1056 7.5303 7.5027 7.3067 誤差20%指數(shù)平滑法5.2.4 問題二結(jié)果的分析觀察圖表發(fā)現(xiàn)誤差在20%以上，一次移動(dòng)平均法與平滑指數(shù)法在數(shù)據(jù)量小的情況下所得預(yù)測值不準(zhǔn)確。5.2.5 問題二模型的改進(jìn)由一次移動(dòng)平均法進(jìn)行二次移動(dòng)平均，使數(shù)據(jù)得到進(jìn)一步修勻，使其呈現(xiàn)線性趨勢。在二次移動(dòng)平均值的基礎(chǔ)上，可以建立線性模型： 式中，是預(yù)測超前期數(shù)。通過查表（多項(xiàng)式模型參數(shù)估算公式）可知： 5.2.6 問題二改進(jìn)模型的求解采用最近年份的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，代入預(yù)測模型中，各項(xiàng)移動(dòng)平均值見附錄。 經(jīng)整

13、理后，可以得到最后的式子：類別北京上海重慶四川2012年6.63271113.710175.7022784.1046445.2.7 問題二改進(jìn)模型的比較分析通過數(shù)值擬合的方式來比較改進(jìn)模型的科學(xué)性，同時(shí)對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一定處理。上海：y = 0.2752x + 10.885 北京：y = -0.0514x + 7.4524重慶：y = 0.4214x + 2.2803 四川：y = 0.2893x + 1.7938經(jīng)過數(shù)值擬合后，將擬合所預(yù)測值同預(yù)測模型得到的預(yù)測值進(jìn)行比較。類別北京上海重慶四川二次移動(dòng)平均法6.63271113.710175.7022784.104644數(shù)值擬合7.041213.

14、08665.65154.1082相似率94.20%95.45%99.11%99.91%由于兩種預(yù)測模型和線性擬合均有誤差，數(shù)據(jù)量小，會(huì)存在一定誤差。而相似率在94%以上說明預(yù)測值可信度很高。5.3.1 問題三的分析（1）氣候大會(huì)目標(biāo)：2020年比2005年單位GDP二氧化碳排放下降40%45%。首先由散點(diǎn)圖可知，總體趨勢是向下的，有一定的線性關(guān)系，需要進(jìn)行預(yù)測。（2）“十二五”規(guī)劃中節(jié)能減排目標(biāo)：查找相關(guān)資料后得知題中數(shù)據(jù)有兩個(gè)指標(biāo)在十二五規(guī)劃內(nèi)。只需要預(yù)測2015年前單位GDP二氧化碳排放量是否降低16%；森林覆蓋率是否提高到21.66%，同時(shí)預(yù)測值要基于2009年進(jìn)行比較。5.3.2 問題

15、三模型的建立與求解利用二次移動(dòng)平均法基礎(chǔ)上得到的線性預(yù)測模型：（1）氣候大會(huì)目標(biāo)：類別北京上海重慶四川2005年1.53971.81472.25292.33512020年-1.7253 -0.3890 1.6288 1.3383 下降程度27.70%42.69%因?yàn)榭紤]到實(shí)際情況，北京、上海的單位GDP排放量應(yīng)該維持在一個(gè)較小的正值上。（2） “十二五”規(guī)劃中節(jié)能減排目標(biāo)：利用二次移動(dòng)平均法基礎(chǔ)上得到的線性預(yù)測模型： 單位GDP二氧化碳排放量（單位：噸/萬元）類別北京上海重慶四川2009年1.13941.6312.09962.1972015年0.3400781.0874891.9944441.

16、951322下降程度70.15%33.32%5.01%11.18%森林覆蓋率（單位：%）類別北京上海重慶四川2009年31.729.4134.8534.312015年41.0177814.9566746.0537.90111上升程度29.31%58.94%32.14%10.47%5.3.3 問題三結(jié)果的分析及驗(yàn)證對于預(yù)測數(shù)據(jù)我們可以知道，北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達(dá)到單位GDP二氧化碳排放量減排目標(biāo)。四川在森林覆蓋率上不能達(dá)到預(yù)期要求。為此上海、重慶、四川要加快推動(dòng)節(jié)能減排政策，同時(shí)四川應(yīng)該大力實(shí)行有關(guān)植樹的各項(xiàng)政策，確保各省市在十二五結(jié)束前完成既定目標(biāo)。該預(yù)測模型在

17、問題二中得到驗(yàn)證，可以認(rèn)為模型預(yù)測出的數(shù)據(jù)是可靠的。六、模型的評價(jià)與推廣6.1 模型的評價(jià)基于二次移動(dòng)平均法的線性模型能夠較好地消除數(shù)據(jù)中的不穩(wěn)定波動(dòng)，方法簡單易懂，N值應(yīng)盡量取大，可以得到令人滿意的效果。在預(yù)測相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)時(shí)準(zhǔn)確率高。而通過數(shù)值擬合來驗(yàn)證該模型的科學(xué)性也得到了證明。然而該模型在預(yù)測實(shí)際情況時(shí)需要靈活調(diào)整。在波動(dòng)幅度較大的數(shù)據(jù)時(shí)，可以多次取移動(dòng)平均值來調(diào)整好數(shù)據(jù)的波動(dòng)。，以上公式對線性預(yù)測效果明顯，但不適用于非線性預(yù)測。在實(shí)際應(yīng)用于僅作為參考。6.2 模型的推廣基于二次移動(dòng)平均法的線性預(yù)測可以廣泛地適用于預(yù)測具有穩(wěn)定趨勢的各種數(shù)據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中可以作為一種參考。用Excel來

18、處理統(tǒng)計(jì)預(yù)測方法，簡便易行，快速準(zhǔn)確，既解決了傳統(tǒng)手工進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測的繁雜，又避免了未漢化SAS軟件給普通用戶帶來的困難。對于商務(wù)辦公，調(diào)研分析都有實(shí)際的參考意義。七、參考文獻(xiàn)1 姜啟源等, 數(shù)學(xué)模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月2 沈恒范，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版），高等教育出版社，2011年6月3 隱含在Excel中的統(tǒng)計(jì)預(yù)測方法研究，孫艷玲，2002年1月八、附錄附錄1：問題一中評價(jià)系數(shù)地區(qū)2005年2006年2007年2008年2009年北京-12-10-17-136上海-104-114-118-122-67重慶-66-64-62-64-58四川-48-75-79-80-78附錄2：問題二中移動(dòng)平均法數(shù)據(jù)地區(qū)2005年2006年2007年2008年2009年北京6.97737.81367.48447.17597.0389上海9.438611.503511.893512.057312.0993重慶2.79223.07053.35534.13974.3645四川2.12.3792.63142.92353.2741北京7.4251 7.4913 7.2331 上海10.9452 11.8181 12.0167 重慶3.0727 3.5218 3.953