




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)線面垂直的證明中的找線技巧u 通過(guò)計(jì)算,運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直1 如圖1,在正方體中,為 的中點(diǎn),AC交BD于點(diǎn)O,求證:平面MBD證明:連結(jié)MO,DB,DBAC, DB平面,而平面 DB 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,則, 在Rt中, OMDB=O, 平面MBD評(píng)注:在證明垂直關(guān)系時(shí),有時(shí)可以利用棱長(zhǎng)、角度大小等數(shù)據(jù),通過(guò)計(jì)算來(lái)證明u 利用面面垂直尋求線面垂直2 如圖2,是ABC所在平面外的一點(diǎn),且PA平面ABC,平面PAC平面PBC求證:BC平面PAC 證明:在平面PAC內(nèi)作ADPC交PC于D因?yàn)槠矫鍼AC平面PBC,且兩平面交于PC,平面PAC,且ADPC, 由面面垂直的性質(zhì),得AD平面PB
2、C 又平面PBC,ADBC PA平面ABC,平面ABC,PABC ADPA=A,BC平面PAC (另外還可證BC分別與相交直線AD,AC垂直,從而得到BC平面PAC) 評(píng)注:已知條件是線面垂直和面面垂直,要證明兩條直線垂直,應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中,使另一條直線與該平面垂直,即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中,高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系,通過(guò)本題可以看到,面面垂直線面垂直線線垂直一般來(lái)說(shuō),線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)分析解決,其關(guān)系為:線線垂直線面垂直面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密切,可以互相轉(zhuǎn)化,從前面推出后面是判定定理,而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學(xué)們應(yīng)
3、當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問(wèn)題下面舉例說(shuō)明3 如圖所示,ABCD為正方形,平面ABCD,過(guò)且垂直于的平面分別交于求證:,證明:平面ABCD,平面SAB又平面SAB,平面AEFG,平面SBC同理可證評(píng)注:本題欲證線線垂直,可轉(zhuǎn)化為證線面垂直,在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中,平面起到了關(guān)鍵作用,同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征,從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4 如圖,在三棱錐BCD中,BCAC,ADBD,作BECD,為垂足,作AHBE于求證:AH平面BCD 證明:取AB的中點(diǎn),連結(jié)CF,DF , , 又,平面CDF 平面CDF, 又, 平面ABE, , 平面BCD評(píng)注:本題在運(yùn)用判定定理證明線面
4、垂直時(shí),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;而證明線線垂直時(shí),又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復(fù),直到證得結(jié)論5 如圖,是圓的直徑,是圓周上一點(diǎn),平面ABC若AEPC ,為垂足,是PB上任意一點(diǎn),求證:平面AEF平面PBC證明:AB是圓的直徑,平面ABC,平面ABC,平面APC平面PBC,平面APC平面PBCAEPC,平面APC平面PBCPC,AE平面PBC平面AEF,平面AEF平面PBC評(píng)注:證明兩個(gè)平面垂直時(shí),一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,即證線面垂直,而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系6. 空間四邊形ABCD中,若ABCD,BCAD,求證:ACBD 證明:過(guò)A作AO平面BCD于O
5、同理BCDO O為ABC的垂心 7. 證明:在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1C平面BC1D 證明:連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影 8. 如圖,平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),求證: . 證:取PD中點(diǎn)E,則 9如圖在ABC中, ADBC, ED=2AE, 過(guò)E作FGBC, 且將AFG沿FG折起,使AED=60,求證:AE平面ABC分析: 弄清折疊前后,圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解: FGBC,ADBCAEFGAEBC設(shè)AE=a,則ED=2a由余弦定理得: AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADA
6、EAE平面ABC10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM分析: 要證ANBC, 轉(zhuǎn)證, BC平面SAB。要證SC平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉(zhuǎn)證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如圖,P平面ABC
7、,PA=PB=PC,APB=APC=60,BPC=90 求證:平面ABC平面PBC分析:要證明面面垂直,只要在其呈平面內(nèi)找一條線,然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點(diǎn)D,證明AD垂直平PBC即可證明:取BC中點(diǎn)D 連結(jié)AD、PD PA=PB;APB=60 PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設(shè)PA=a 在RTBPC中,PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC13 以AB為直徑的圓在平面內(nèi),于A,C在圓上,連PB、PC過(guò)A作AEPB于E,AFPC于F,試判斷圖中
8、還有幾組線面垂直。解:面AEF例1 如圖939,過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC,且ASB=ASC=60,BSC=90,求證:平面ABC平面BSC【證明】SB=SA=SC,ASB=ASC=60AB=SA=AC取BC的中點(diǎn)O,連AO、SO, 則AOBC,SOBC,AOS為二面角的平面角,設(shè)SA=SB=SC=a,又BSC=90,BC=a,SO=a,AO2=AC2OC2=a2a2=a2,SA2=AO2+OS2,AOS=90,從而平面ABC平面BSC【評(píng)述】要證兩平面垂直,證其二面角的平面角為直角這也是證兩平面垂直的常用方法例2如圖940,在三棱錐SABC中,SA平面ABC,平面SAB
9、平面SBC圖940(1)求證:ABBC;(2)若設(shè)二面角SBCA為45,SA=BC,求二面角ASCB的大?。?)【證明】作AHSB于H,平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB,AH平面SBC,又SA平面ABC,SABC,而SA在平面SBC上的射影為SB,BCSB,又SASB=S,BC平面SABBCAB(2)【解】SA平面ABC,平面SAB平面ABC,又平面SAB平面SBC,SBA為二面角SBCA的平面角,SBA=45設(shè)SA=AB=BC=a,作AESC于E,連EH,則EHSC,AEH為二面角ASCB的平面角,而AH=a,AC=a,SC=a,AE=asinAEH=,二面角ASCB為60【注
10、】三垂線法是作二面角的平面角的常用方法例3如圖941,PA平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)(1)求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大小;(2)求證:平面MND平面PCD(1)【解】PA平面ABCD,CDAD,PDCD,故PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角,在RtPAD中,PA=AD,PDA=45(2)【證明】取PD中點(diǎn)E,連結(jié)EN,EA,則EN CD AM,四邊形ENMA是平行四邊形,EAMNAEPD,AECD,AE平面PCD,從而MN平面PCD,MN平面MND,平面MND平面PCD【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直,
11、本題中要證MN平面PCD較困難,轉(zhuǎn)化為證明AE平面PCD就較簡(jiǎn)單了另外,在本題中,當(dāng)AB的長(zhǎng)度變化時(shí),可求異面直線PC與AD所成角的范圍例4如圖942,正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)圖942(1)求證:平面MNF平面ENF(2)求二面角MEFN的平面角的正切值(1)【證明】M、N、E是中點(diǎn),即MNEN,又NF平面A1C1,MNNF,從而MN平面ENFMN 平面MNF,平面MNF平面ENF(2)【解】過(guò)N作NHEF于H,連結(jié)MHMN平面ENF,NH為MH在平面ENF內(nèi)的射影,由三垂線定理得MHEF,MHN是二面角MEFN的平面角在R
12、tMNH中,求得MN=a,NH=a,tanMHN=,即二面角MEFN的平面角的正切值為例5在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為,E、F分別是AB1、CB1的中點(diǎn),求證:平面D1EF平面AB1C【證明】如圖943,E、F分別是AB1、CB1的中點(diǎn),圖943EFACAB1=CB1,O為AC的中點(diǎn)B1OAC故B1OEF在RtB1BO中,BB1=,BO=1BB1O=30,從而OB1D1=60,又B1D1=2,B1O1=OB1=1(O1為BO與EF的交點(diǎn))D1B1O1是直角三角形,即B1OD1O1,B1O平面D1EF又B1O平面AB1C,平面D1EF平面AB1C1棱
13、長(zhǎng)都是2的直平行六面體ABCDA1B1C1D1中,BAD=60,則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為_(kāi)【解】過(guò)A1作A1GC1D1于G,由于該平行六面體是直平行六面體,A1G平面D1C,連結(jié)CG,A1CG即為A1C與側(cè)面DCC1D1所成的角A1G= A1 D1 sinA1 D1 G=2sin60=2=而AC=A1C=,sinA1CG=【答案】2E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點(diǎn),EF、BD相交于O,以EF為棱將正方形折成直二面角,則BOD=_【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a則DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a
14、2cosDOB=DOB=1203如圖944,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱與底面成的角,側(cè)面ABB1A1垂直于底面,圖944(1)證明:B1CC1A(2)求四棱錐BACC1A1的體積(1)【證明】過(guò)B1作B1OAB于O,面ABB1A1底面ABC,面B1O面ABC,B1BA是側(cè)棱與底面所成角,B1BA=,又各棱長(zhǎng)均為2,O為AB的中點(diǎn),連CO,則COAB,而OB1CO=O,AB平面B1OC,又B1C平面OB1C,B1CAB,連BC1,BCC1B1為邊長(zhǎng)為2的菱形,B1CBC1,而ABBC1=B,B1C面ABC1A1C面ABC1B1CAC1(2)【解】在RtBB1O中,BB1=
15、2,BO=1,B1O=,V柱=Sh=4=3,=V柱=1,=V柱=31=24如圖945,四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,PA底面ABCD,E為AB的中點(diǎn),且PA=AB圖945(1)求證:平面PCE平面PCD;(2)求點(diǎn)A到平面PCE的距離(1)【證明】PA平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,又四邊形ABCD為矩形,CDAD,CDPD,ADPD=DCD面PAD,PDA為二面角PCDB的平面角,PA=PB=AD,PAADPDA=45,取RtPAD斜邊PD的中點(diǎn)F,則AFPD,AF 面PAD CDAF,又PDCD=DAF平面PCD,取PC的中點(diǎn)G,連GF、AG、EG,則GF CD又AE
16、CD,GF AE四邊形AGEF為平行四邊形AFEG,EG平面PDC又EG 平面PEC,平面PEC平面PCD(2)【解】由(1)知AF平面PEC,平面PCD平面PEC,過(guò)F作FHPC于H,則FH平面PECFH為F到平面PEC的距離,即為A到平面PEC的距離在PFH與 PCD中,P為公共角,而FHP=CDP=90,PFHPCD,設(shè)AD=2,PF=,PC=,F(xiàn)H=A到平面PEC的距離為5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,對(duì)角線AC=2,BD=2,E、F分別為棱CC1、BB1上的點(diǎn),且滿足EC=BC=2FB圖946(1)求證:平面AEF平面A1ACC1;(2)求異面直線EF、A1C1所
17、成角的余弦值(1)【證明】菱形對(duì)角線AC=2,BD=2BC=2,EC=2,F(xiàn)B=1,取AE中點(diǎn)M,連結(jié)MF,設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,MO EC FB平面AEF平面ACC1A1(2)在AA1上取點(diǎn)N,使AN=2,連結(jié)NE,則NE ACA1C1故NEF為異面直線A1C1與EF所成的角,連結(jié)NF,在直角梯形NABF中易求得NF=,同理求得EF=在ENF中,cosNEF=,即EF與A1C1所成角的余弦值為【解題指導(dǎo)】在證明兩平面垂直時(shí),一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線;若沒(méi)有這樣的直線,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決,而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明,不能隨意添加在有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理
18、,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應(yīng)用【拓展練習(xí)】一、備選題1如圖,AB是圓O的直徑,C是圓周上一點(diǎn),PA平面ABC(1)求證:平面PAC平面PBC;(2)若D也是圓周上一點(diǎn),且與C分居直徑AB的兩側(cè),試寫(xiě)出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面(1)【證明】C是AB為直徑的圓O的圓周上一點(diǎn),AB是圓O的直徑BCAC;又PA平面ABC,BC平面ABC,BCPA,從而B(niǎo)C平面PACBC 平面PBC,平面PAC平面PBC(2)【解】平面PAC平面ABCD;平面PAC平面PBC;平面PAD平面PBD;平面PAB平面ABCD;平面PAD平面ABCD2ABCABC是
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 餐館用工合同協(xié)議書(shū)
- 飯店入伙分紅協(xié)議書(shū)
- 重慶合作框架協(xié)議書(shū)
- 鐵嶺教師招聘協(xié)議書(shū)
- 冷卻塔維修保養(yǎng)協(xié)議書(shū)
- 銷售提成平分協(xié)議書(shū)
- 補(bǔ)繳社保賠償協(xié)議書(shū)
- 野營(yíng)物品租用協(xié)議書(shū)
- 門(mén)窗安裝承保協(xié)議書(shū)
- 停車場(chǎng)物業(yè)租賃協(xié)議書(shū)
- 2025年金融科技創(chuàng)新解讀試題及答案
- 高考期間食品安全
- 2025黑河學(xué)院輔導(dǎo)員考試題庫(kù)
- 分娩質(zhì)量管理的相關(guān)制度
- 光伏電廠防洪防汛應(yīng)急預(yù)案演練方案
- 鄉(xiāng)鎮(zhèn)環(huán)境保護(hù)工作制度
- 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)名制管理制度
- 浙江大學(xué)《分子生物學(xué)原理》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 2025年“美好生活民法典相伴”主題宣傳月活動(dòng)總結(jié)(2篇)
- 移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)流量分析與優(yōu)化策略制定
- 持續(xù)葡萄糖監(jiān)測(cè)臨床應(yīng)用專家共識(shí)2024解讀
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論