第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ)課后習(xí)題

1、第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ)第八組：070601337劉婷婷 070601339黃麗英 070601340李麗芳 070601341林麗云 070601350陳輝輝 070601351唐枋北【11】經(jīng)典物理學(xué)在研究黑體輻射、光電效應(yīng)與氫光譜時遇到了哪些困難？什么叫舊量子論？如何評價舊量子論？解：困難：（1）黑體輻射問題。黑體就是理論上不反射任何電磁波的物體，黑體輻射是指這類物體的電磁波輻射，由于這類物體不反射,所以由它釋放出來的電磁波都來自輻射，實驗中在不同的能量區(qū)間對黑體輻射規(guī)律給出了不同的函數(shù)，然而這兩個函數(shù)無法兼容，是完全不同的，而事實上黑體輻射本該遵循某個唯一的規(guī)律。況且經(jīng)典理論還無法說明這兩

2、個函數(shù)中的任意一個.這個問題研究的是輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時的能量按波長（或頻率）的分布。實驗得出的結(jié)論是：熱平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān)，而與空腔的形狀及組成的物質(zhì)無關(guān)。這一結(jié)果用經(jīng)典理論無法解釋。（2）光電效應(yīng)。光照射到金屬上時，有電子從金屬中逸出。實驗得出的光電效應(yīng)的有關(guān)規(guī)律同樣用經(jīng)典理論無法解釋。（3）按照經(jīng)典電動力學(xué)，由于核外電子作加速運(yùn)動，原子必然坍縮。經(jīng)典物理學(xué)不能解釋原子的穩(wěn)定性問題。原子光譜是線狀結(jié)構(gòu)的，而按照經(jīng)典電動力學(xué)，作加速運(yùn)動的電子所輻射的電磁波的頻率是連續(xù)分布的，這與原子光譜的線狀分布不符。定義：從1900年普朗克提出振

3、子能量量子化開始，人們力圖以某些物理量必須量子化的假定來修正經(jīng)典力學(xué)，用于解釋某些宏觀現(xiàn)象，并且給出其微觀機(jī)制。這種在量子力學(xué)建立以前形成的量子理論稱為舊量子論。評價：舊量子論沖破了經(jīng)典物理學(xué)能量連續(xù)變化的框框。對于黑體輻射、光電效應(yīng)與氫光譜等現(xiàn)象的解釋取得了成功。但是，舊量子論是一個以連續(xù)為特征的經(jīng)典力學(xué)加上以分立為特征的量子化條件的自相矛盾的體系，本質(zhì)上還是屬于經(jīng)典力學(xué)的范疇。由于把微觀粒子當(dāng)作經(jīng)典粒子，并把經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動規(guī)律應(yīng)用于微觀粒子，因而必然遭到嚴(yán)重的困難。舊量子論必然會被新的量子論量子力學(xué)所替代。【1.2】 電子衍射實驗如何證明電子的運(yùn)動具有波動性？解：在貝爾實驗室工作的戴維遜與

4、革末在一個偶然的機(jī)會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束54eV的電子束垂直地射向鎳單晶表面時，在與入射束成=50°角的方向上檢測到反射的電子數(shù)最多。這類似于X射線在晶體表面上反射時產(chǎn)生的衍射圖像?？紤]第一級衍射，被兩相鄰晶體所反射的光束的光程差正好等于入射電子的波長，=2dsin；式中=（180°-）/2=65°，為半衍射角，d為鎳單晶的發(fā)生衍射的晶面間距，由X射線衍射已測得d=91pm，故算得=165pm。又因為電子的動能為54eV，故由=h/2meT可計算得=167pm，兩者符合很好。由此證明了電子的運(yùn)動具有波動性?！?.3】 “任何微觀粒子的運(yùn)動都是量子化的，任何宏觀現(xiàn)象都不表現(xiàn)

5、量子化的特征”這樣的說法確切嗎？解：這樣的說法不確切。（1）微觀粒子在狹隘的空間里即在受束縛的條件下表現(xiàn)為量子化的特征。而物質(zhì)質(zhì)量的量子性是宏觀物質(zhì)量子化的充分條件。（2）在經(jīng)典力學(xué)中，宏觀質(zhì)點(diǎn)在外力作用下有一個確定的可以預(yù)測的軌跡。根據(jù)坐標(biāo)可以確定任一時刻質(zhì)點(diǎn)的位置與速度，由速度可確定此刻質(zhì)點(diǎn)的動量。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)可用坐標(biāo)和動量來描述。實物微觀粒子的運(yùn)動具有波動性，沒有確定的運(yùn)動軌跡。微觀粒子的運(yùn)動范圍又非常小，要精確其坐標(biāo)x，要求x更小，這就需要采用波長更短的光或其他粒子束顯微鏡。然而，光或其他粒子的波長越h短，動量p=就越大，在測量過程中因為碰撞導(dǎo)致的干擾會使粒子的動量偏差px增大

6、，因此，微觀粒子不可能同時具有確定的坐標(biāo)與動量。<<c的自由電子，有人作了如下推導(dǎo)： 【1.4】 對一個運(yùn)動速度h4E51mv=p=mvvv212h3結(jié)果是1=1/2，錯在何處，請說明理由。解：微觀粒子具有波性和粒性，兩者的對立統(tǒng)一和相互制約可由下列關(guān)系式表達(dá)：E=hv p=h/。式中，等號左邊的物理量體現(xiàn)了粒性，等號右邊的物理量體現(xiàn)了波性，而聯(lián)系波性和粒性的紐帶是Planck常數(shù)。根據(jù)上述兩式及力學(xué)公式：p=mv，知，1，2和4三步都是正確的。微粒波的波長服從下式：=u/v。式中，u是微粒的傳播速度，它不等于微粒的運(yùn)動速度，但3式中用了=v/V，顯然是錯的。在4式中，E=hv無疑

7、是正確的，這里的E是微粒的總能量，但5式中E=mv2/2僅僅是微粒的動能部分，兩個能量是不等的，因此5式中也是錯的（若將E視為動能，則5式對，4式錯）。【1.5】你是怎樣理解波函數(shù)代表微觀體系的狀態(tài)的？解：由于微觀粒子具有波粒二象性，其波是一種統(tǒng)計波幾率波，它表示在某一時刻，由波在某點(diǎn)（x,y,z）附近的強(qiáng)度，能夠確定粒子出現(xiàn)在該點(diǎn)附近的幾率大小，而不能確定粒子在什么時間到達(dá)什么地方，即不能用坐標(biāo)和動量的確定值描寫粒子的運(yùn)動狀態(tài)。因此，粒子的運(yùn)動狀態(tài)只能按幾率波的特點(diǎn)來描寫，不同時刻，不同地點(diǎn)粒子出現(xiàn)的幾率是不一樣的。因此微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)（q,t）來描寫，其中q為粒子坐標(biāo)q(x,y,z)

8、.【1.6】用量子力學(xué)處理微觀體系的一般步驟是什么？什么是量子效應(yīng)？解：1.量子力學(xué)處理微觀體系的一般步驟如下：的具體形式與定態(tài)薛定(1)寫出體現(xiàn)體系特征的勢能函數(shù)，并且寫出能量算符H諤方程。(2)求解體系的薛定諤方程，根據(jù)邊界條件與歸一化條件確定體現(xiàn)波動性函數(shù)與對應(yīng)的體現(xiàn)粒子性的能量E。(3) 繪制能級圖、與2等圖形，討論它們的分布特點(diǎn)。(4) 由波函數(shù)可求得該狀態(tài)各種力學(xué)量的本征值和平均值，預(yù)測與解釋體系的性質(zhì)。(5) 聯(lián)系實際問題，對所得的結(jié)果加以應(yīng)用2.量子效應(yīng)是在超低溫等某些特殊條件下，由大量粒子組成的宏觀系統(tǒng)呈現(xiàn)出的整體量子現(xiàn)象。根據(jù)量子理論的波粒二象性學(xué)說，微觀實物粒子具有波動性

9、，能夠形成物質(zhì)波（或稱德布羅意波）。但日常所見的宏觀物體，雖然是由服從這種量子力學(xué)規(guī)律的微觀粒子組成，但由于其空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于這些微觀粒子的德布羅意波長，微觀粒子量子特性被掩蓋。因此，在通常的條件下，宏觀物體整體上并不出現(xiàn)量子效應(yīng)。然而，在低溫降低或粒子密度變大等特殊條件下，宏觀物體的個體組分會相干地結(jié)合起來，通過長程關(guān)聯(lián)或重組進(jìn)入能量較低的量子態(tài)，形成一個有機(jī)的整體，使得整個系統(tǒng)表現(xiàn)出奇特的量子性質(zhì)?！?.7】探究原子中電子的運(yùn)動與足球的運(yùn)動、氣體分子運(yùn)動的差異。解：根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中，宏觀質(zhì)點(diǎn)在外力作用下有一個確定的可以預(yù)測的軌跡。根據(jù)坐標(biāo)可以確定任一時刻質(zhì)點(diǎn)的位置與速度，由速度可確定此刻質(zhì)點(diǎn)

10、的動量。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)可用坐標(biāo)和動量來描述。實物微粒的運(yùn)動具有波動性，沒有確定的運(yùn)動軌跡。微觀粒子的運(yùn)動范圍又非常小，要精確測量其坐標(biāo)x，要求x更小，這就需要采用波長更短的光或其他粒子束顯微鏡。然而，光或其他粒子的波長愈短，動量p=h/就愈大，在測量過長中因為碰撞導(dǎo)致的干擾會使粒子的動量偏差 px 增大，因此，微觀粒子不可能同時具有確定的坐標(biāo)與動量。1927，海森堡發(fā)現(xiàn)：x·pxh/4y·pyh/4z·pzh/4式中，x 、y 、z為坐標(biāo)的不確定量，px、 py 、pz為動量的不確定量。式表示坐標(biāo)的不確定量與同方向動量分量的不確定量的乘積不可能比h/4小。這

11、便是海森堡的不確定關(guān)系或測不準(zhǔn)關(guān)系。如果粒子的位置完全確定時x 趨近于0，則其動量完全不確定，px趨近于；反之，px趨近于0，必有x趨近于。還有一個不確定關(guān)系是：E·th/4其中，E是粒子所處的能量狀態(tài)的不確定量，t是粒子在此能量狀態(tài)停留的時間，也就是平均壽命。只有粒子在某能量狀態(tài)的壽命為無限長時，它的能量才是完全確定的。表1-1 不確定關(guān)系對于某些粒子運(yùn)動的影響 質(zhì)量 速度 x vx原子中電子的運(yùn)動 氣體分子運(yùn)動 足球的運(yùn)動10-30kg 106m/s 10-10m 106m/s10-26kg 103m/s 10-10m 103m/s10-1kg 設(shè)10m/s 10m 10-24

12、完全可以忽不確定關(guān)系的影響不可忽略不可忽略略表中數(shù)據(jù)告訴我們，原子和分子中的電子局限在限度為10-10m 的空間內(nèi)運(yùn)動，速度的不確定值高達(dá)106m/s，與其速度同一級數(shù)。因此，不確定關(guān)系的影響不可忽略。但是，對于宏觀粒子，如空氣中的塵埃，即使其位置的不確定量x 與其運(yùn)動范圍x相比很小很小，由不確定關(guān)系確定的速度的不確定量vx，與vx 相比依然很小很小。說明對于宏觀物體，普朗克常數(shù)h可近似作零處理，x與vx可以同時精確確定?！?.8】鈉在火焰上燃燒,放出黃光,波長為589.593nm與588.996nm(雙線),試計算譜線的頻率,波長及以kJ/mol為單位的能量.3.0108解：f1=5.088

13、1014s-1 -91589.59310c3.010814-1f2=5.09310s -92588.99610cv1=111=14-1=1.69610cm-9589.593101=1.698104cm-1 -9588.99610v2=2=hc6.62610-34310810-3E1=5.6010-46KJ/mol-9231NA589.593106.0210hc6.62610-34310810-3-46E2=5.6110KJ/mol-9232NA588.996106.02310【1.9】金屬鉀的臨閾頻率為5.464×10s-1,用它作光電池的負(fù)極,當(dāng)用波長為300nm的紫外光照射該電池

14、時,發(fā)射的光電子的最大速度是多少?其動量和德布羅依波長為多大?解：w0=h=6.62610-345.4641014=3.62010-19J1hcmv2=-w0 21416.62610=343108-312-19 9.10910v=-3.62010-9230010即得速度v=8.12105m/sp=mv=9.10910-318.12105=7.4010-25h6.62610-34-10=8.9510m -25p7.4010【1.10】計算下述粒子的德布羅意波的波長：（1）質(zhì)量為10-10g運(yùn)動速度為0.01 m.s-1的塵埃；（2）動能為100eV的中子；（3）電子顯微鏡中，電子在200kv電壓

15、下加速運(yùn)動。h6.62610-34Js解：（1）=-10=6.62610-22m -1mv10kg0.01ms（2）=hh= p2mE6.62610-34JS21.67510-27Kg1001.62610-19Jev=1=2.86010-12m（3）=hh= p2mE=6.62610-34JS29.10910-311.60210-192105=2.74210-12m【1.11】子彈（質(zhì)量0.01Kg,速度1000 m.s-1），作布朗運(yùn)動的花粉（質(zhì)量10-13Kg，速度1 m.s-1），氫原子中的電子（速度10-6m.s-1）等，速度的不確定量均為速度的10%。判斷在確定這些質(zhì)點(diǎn)位置時，不確定

16、關(guān)系是否具有實際意義？解：按不確定關(guān)系，諸粒子坐標(biāo)的不確定度分別為： h6.62610-34Js-34子彈：x=6.6310m -1mv0.01Kg100010%msh6.62610-34Js花粉：x=-13=6.6310-20m -1mv10Kg110%msh6.62610-34Js-9電子：x=7.2710m -316-1mv9.10910Kg1010%ms由計算結(jié)果可見，前二者的坐標(biāo)不確定度與它們各自的大小相比可以忽略，換言之，由不確定度關(guān)系所決定的坐標(biāo)不確定度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實際測量的精確度（宏觀物體準(zhǔn)確到10-8m就再好不過了）。即使質(zhì)量最小，運(yùn)動最慢的花粉，由不確定關(guān)系所決定的x也是微不足

17、道的。即意味著，子彈、花粉運(yùn)動中的波性可完全忽略，其坐標(biāo)和動量能同時確定，不確定度關(guān)系所討論的問題實際不起作用。而原子中的電子的情況截然不同。由于不確定度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子本身的大小（原子大小數(shù)量級一般為幾十到幾百pm）,顯然不能忽略的，即電子在運(yùn)動中的波動效應(yīng)不能忽略，其運(yùn)動規(guī)律服從量子力學(xué)，不確定度關(guān)系對討論的問題有實際意義?！?.12】試證：如果粒子運(yùn)動的不確定量等于這個粒子的德布羅依波長，則此粒子速度的不確定量等于此粒子的速度。解：根據(jù)海森堡的測不準(zhǔn)關(guān)系，知：xp=h依題意可知: x=所以 p=h即 mv=h hp=v v=mm所以此粒子速度的不確定量等于此粒子的速度。【1.13】電視機(jī)顯像

18、管中運(yùn)動的電子，假定加速電壓為1000V，電子運(yùn)動速度的不確定度 為速度的10%，判斷電子的波性對熒光屏上成像有無影響？解：在給定加速電壓下，由測不準(zhǔn)關(guān)系所決定的電子坐標(biāo)的不確定度為：這坐標(biāo)不確定度對于電視機(jī)（即使目前世界上尺寸最小的袖珍電視機(jī)）熒光屏的大小來說，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出電子運(yùn)動中的波性。因此，電子的波性對電視機(jī)熒光屏上成像無影響。【1.14】下列函數(shù),哪個是算符d2/dx2的本真函數(shù)?若是,求出相應(yīng)的本真值.eimx, sinx, x2+y2, (a-x)e-x解：eimx,sinx都是算符d2/dx2的本真函數(shù)x=hh=mm2eV/m10%6.62610-34Js10

19、h2meV10%29.10910-31kg1.60210-19C103V=3.8810-10md2eimximdeimx=-m2eimx dxdx其本真值為-m2d2sinxdcosx=-sinx ,其本真值為-1 dx2dx【1.15】=xe-axd222-4ax是算符 dx2的本征函數(shù)，求本征值。 解：應(yīng)用量子力學(xué)基本假設(shè)（算符）、（本征函數(shù)，本征值和本征方程），得： 2d2d222(2-4ax)=(2-4a2x2)xe-axdxdxd2-ax222-ax2=2xe-4ax(xe)dx22d-ax2=e-2ax2e-ax-4a2x3e-axdx ()=-2axe-ax-4axe-ax+4a

20、2x3e-ax-4a2x3e-ax=-6axe=-6a-ax22222因此，本征值為-6a【1.16】eim和sinm是否為算符i解： d的本征函數(shù)？若是，求出本征值。 dxdime=ieimim=-meimdd所以eim是算符i的本征函數(shù)，本征值為-m。d d而isinm=i(cosm)m=imcosmcsinmdd所以sinm不是算符i的本征函數(shù)。di【1.17】試求在長度l=200pm的一維勢箱中運(yùn)動的電子，（1）n=2躍遷到n=1時發(fā)射光子的能量、波長和波數(shù)v；（2）n=3時，電子的x2、x、px與p2的 值。解：（1）h24h23h23(6.6310-34)2-18E=E1-E2=-

21、=-=-=-4.510J222-31-1228ml8ml8ml89.1110(20010)E=4.510-18J6.6310-343108=hc/E=4.4210-8m -84.510=11=2.2610-7m-1 -84.4210（2）x2l23(20010-12)23=(1-22)=(1-22)=1.3110-20 332n23l20010-12x=1.010-10m 22px=0n2h32(6.6310-34)2-4722 p=2=2.4710J/m-1224l4(20010)2【1.18】三維勢箱中運(yùn)動的電子，其薛定諤方程的解為：n,nxy,nz(x,y,z)=nyynxxnz8sin

22、sinsinzabcabc（1）試證明波函數(shù)已歸一化；（2）在a=b=c=100pm條件下，試求坐標(biāo)為x=20pm，y=30pm，z=50pm處邊長為x=y=z=0.1pm微體積元中發(fā)現(xiàn)電子分別處于nx=2,ny=1,nz=1 和nx=1,ny=1,nz=2時的概率；（3）在立方勢箱中試求能量最低的前5個能量值，計算每個能級的簡并度。nyybc8a2nxx22nzzsindxsindysin0c0abcabc 解：（1）*d=2nyyb12nxa12nz81abcx-sinx0y-sin0z-sinzc0abc24nxa24nyb24nzc=8abc=1abc222故該波函數(shù)是歸一化的。nyy

23、82nxx22nzzP1=sinsinsindxdydzabcabc（2）8(100)350.052x30.052y2zsinsin229.9549.95100100100 =20.0519.95sin2=y11002y30.058x11004x20.05z11002z20.05-sin-sin-sin19.9519.9529.95622410022210022210010=80.11000.11000.1100-(0.5827-0.5929-(0.9501-0.9520-(-0.0031-0.0031)682424102=8(0.05+0.0406)(0.05+0.0151)(0.05+0.

24、0493)6108-4-95.8610=4.6810106 =同理可得112態(tài)的概率：P2=6×10-15。211與112是簡并態(tài)，為什么概率P2<P1呢?這是因為一維勢箱n=2時，x=l/2處為一節(jié)點(diǎn)，即概率密度最小。本題，P2是112的概率，在z50pm(為c邊長的l/2處)，nz2時的情況下，概率密度為0。由概率相乘原理可知，在x20pm，y=30pm，z50pm附近的微體積內(nèi)的概率應(yīng)是很小的，幾乎趨向于0。對于211態(tài)，nx2，x=20pm不是a邊的l/2處，該處不出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)，所以P2<P1。2P1=xyz=82xyzsin2sin2sin2xyzabcabc822