系統(tǒng)的狀態(tài)方程

1、1第 2章 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述輸入輸出:可測量,欠全面 §2.1 基本概念 例 2.1 密封水箱1( ( , y t x t =1d ( (d ( (d c x u t y t t u t x t t =-=-即 3(m/su t211( ( ( x t x t u t cc'=-+.解tt ccx t x u c 001( e(e d -=+ . 若 ( u t r , 則0( e1e, ( ttccx t x r r t -=+- , 若想 ( x h =, 只要 ( hu t =.3例 2.2 LRC123( ( (; i t i t i t =+ ( ( (LRLCu

2、 t v t v t v t v t=+=+ 選 1( ( C i t v t 和 ; 則:11( ( ( 1( ( ( C C C Li t v t u t C v t i t v t R'=-+'=- 其余2( ( /,C i t v t R =( ( (, ( (.L C R C v t u t v t v t v t =-=t 2.2圖41. 系統(tǒng)的狀態(tài)變量狀態(tài)變量 : 完全表征系統(tǒng) , 個數最少的一組變量 未來 ( x t :由 0( x t 和 0t t 的 ( u t 完全確定 . 對定常 , 常取 00t =. 2. 狀態(tài)向量和狀態(tài)空間狀態(tài)向量:12( (, (

3、, ( Tn x t x t x t x t = 狀態(tài)空間:( x t 取值范圍 狀態(tài)軌線:( x t 的軌跡 (無時間軸 3.幾點說明5(1 0( x t 和 0(, u t t t 決定 ( x t , 0t t (2 n 階 微分方程 可引出 n 個狀態(tài)變量 , 不唯一 . (3 盡選可測量 . 離散系統(tǒng)類似 .列寫方法: 微方 , 差方 狀態(tài)方程; 傳函 , 流程圖 狀態(tài)方程 .§2.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程 + 輸出方程 ;1.一般形式n 維狀態(tài) ( x t , r維輸入 ( u t , m維輸出 ( y t ,狀態(tài)方程 ( ( ( xt A x t B u

4、t =+ (2.3 輸出方程 ( ( ( y t C x t D u t =+ (2.412( ( ( ( n x t x t x t x t = , 12( ( ( r u t u t u t u t = , 12( ( ( ( m y t y t y t y t =,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a =, 111212122212r rn n nr b b b b b b B b b b =狀態(tài)矩陣 輸入矩陣2122212nn m m m n c c cc c c C c c c =, 111212122212r rm m m r d d

5、 d d d d D d d d =. 輸出矩陣 輸入輸出矩陣(1若 A 、 B 、 C 和 D 都是常數陣 , 則系統(tǒng)是 定常的 ; 否則為 時變的 ;(2若 1r =且 1m =, 則系統(tǒng)是 單變量的 ; 否則是 多變量的 簡記 A , B , C , D 如水箱系統(tǒng) :111, , , , , , 0A B C D c c =-.如 LRC 系統(tǒng)狀態(tài)方程:1111( ( ( 11( ( ( C C C i t v t u t L Lv t i t v t C CR '=-+'=-,輸出方程:311( ( ( C i t i t v t R=-,若 1L R C =, 則有

6、011, , 11, 0110A B C D -=-=-.2. 由 微方 狀態(tài)模型 設 (1(11101n n m m n m m ya ya ya y b u b u-+=+10b ub u + (1若 m =0, 則可(1123, , , , n n x y x y x y x y-= ,得 1223(1 1(01121, , , n n n n n n n xy x x y x x y x x ya x a x a x u -=-+即1122011010000( 00101n n n xx x x u t x a a a x -=+-, 12( 10, , , Tn y t x x x

7、=.令 12( n x x x t x = , 011010000, , 00101n A B a a a -=-100C =, 0D =,則有( ( ( xt A x t B u t =+ , (2.6( ( y t C x t =.(2.7例 2.3 設 5612y y y y u +=, 試寫出狀態(tài)模型 . 解 令 123, , x y x y=-+ 所以11223301000010( 12651xx x x u t x x =+- ,123( 100x y t x x =.(2 1m n < (設初始條件全為 0拉變 ( ( ( Y s G s U s =, 即110( ( (

8、mm m m Y s b sb sb Ys -=+ (* 其中1101( ( nn n Ys U s s a sa -=+對應(1110, n n n ya ya ya y u -'+= 是情形 (1, 故取(1 123, , , , n n x y x y x y x y -=可得狀態(tài)方程 . 改寫 (*式得1101( ( mm m m Ys Y s b sb sb -=+ (*由初值性質110(0lim ( 1limlim ( 0(00s mm s s m m ysY s sY s y b sb sb -=+同理(1 (0(0(00m y y y -= ,故對 (*作逆變換(110

9、m m m m y b yb yb y-=+ 01121m m b x b x b x +=+ ,由此得1122011010000( 00101n n n xx x x u t x a a a x -=+-, ( 00, , , , , 01121Ty t bb b x x xx m n m =+(3 當 m n = 傳遞函數為11100110( ( ( ( n n n n n n n n n b b a s b b a Y s b U s s a s a -+-=+11100110( ( ( ( n n n n n n nn n b b a sb b a b U s U s s a sa -

10、+-=+12( ( Y s Y s =+.其中1( ( n Y s b U s =,111002110( ( ( ( n n n n n nn n b b a sb b a Y s U s s a sa -+-=+ .為情形 (2, 故200111112( , , , n n n n n Tn y t b b a b b a b b a x x x -=- ,綜合得 001111( n n n n n y t b b a b b a b b a -=-12, , , Tn n x x x b u +例 2.4 求 323y y y u u ''''+=-的狀態(tài)空

11、間模型 . 解 2, 1n m =,1122( ( 010( ( ( 231x t x t u t x t x t =+- , 12( ( 31( x t y t x t =-. 注 情形 (3是情形 (1和 (2的推廣或說 (1和 (2都是 (3的特例 .例 2.5 設 2y t yu += . 試求狀態(tài)模型 . 解 令 12, x y x y= , 則 1221, 2, xx xtx u =-+ 即112201002xx u x x t =+- , 1210x y x =.注 : 狀態(tài)矩陣是時變的 .2. 傳遞函數 狀態(tài)模型傳遞函數 微分方程 狀態(tài)模型 . 例 2.6 設 22253( 5

12、4s s G s s s +=+, 寫出其狀態(tài)模型 .解 易得 54253y y y u u ''''''+=+, 由情形 (3, 得1122( ( 010( ( ( 451x t x t u t x t x t =+- , 12( ( 552( ( x t y t u t x t =-+.3. 信號流程圖 狀態(tài)模型 將 1 s 注 :由前圖得112122xx u x x x =-+=- , 125y x x =-.注 狀態(tài)模型不唯一 . 如由前 2圖另得2153( 11232s G s s s s s -=-= +, 改為541/1/( 542112/11/s s G s s s ss=-=-+, 等價于下圖(t u (t y易得122d 25d d 4d u tu t=-+=-+, 12y =-, 即2001A -=-, 54B =, 11C =-.又有微分方程323y yy u u +=- ,是 (2的情形 , 故12212, 23, x xx x x u =-+ 123y x x =-+ , 對應0123A =- , 01B =, 31C =- . 故原系統(tǒng)可有 3種數學模型 4.狀態(tài)方程 傳遞函數 作拉變 , 并設 (0 0x =, 則sX ( s = AX ( s + BU ( s , Y ( s =