用表達(dá)式的極限表示無(wú)限集合基數(shù)的分析與研究

1、用表達(dá)式的極限表示無(wú)限集合基數(shù)的分析與研究康牧1，2，郭崗1，2，王寶樹(shù)1（1. 西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 7100710）（2. 洛陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南 洛陽(yáng) 471022）摘要：由于在判斷一個(gè)無(wú)限集合的基數(shù)時(shí)，必須找出它與另一個(gè)已知基數(shù)的無(wú)限集合之間的一個(gè)雙射函數(shù)。為此，針對(duì)自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集的基數(shù)可以用表達(dá)式的極限表示，界定不同的基數(shù)對(duì)應(yīng)不同階表達(dá)式的極限的范圍，得到一種判斷無(wú)限集合基數(shù)的一種新方法。并利用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法證明了“這種表示方法的合理性”。通過(guò)幾個(gè)具體的例子說(shuō)明這種方法所得到的結(jié)論與集合論公理一致。這種方法具有計(jì)算和證明簡(jiǎn)單特點(diǎn)，不僅為判斷無(wú)限集合的基數(shù)提供了

2、一種有效的方法，且更容易理解，也可以對(duì)原無(wú)限集合理論中的一些定理進(jìn)行推廣。關(guān)鍵詞：無(wú)限集；基數(shù)；極限；表達(dá)式中圖分類(lèi)號(hào)：01-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：BAnalysis And Research of the Radix of Indefinete Set Using the Limit of ExpressionKang Mu1,2,Guo Gang1,2,Wang Bao-shu1(1. Dept. of computer,Xidian Univ.,Xian 710071,China2.Dept. of Computer, Luoyang Normal College, Luoyang 47102

3、2,China)Abstract:In judging of the radix of an indefinite set, an one-one mapping between it and a known radix of indefinite set must be found out. For this purpose,by using the limit of an expression to express the radix of an indefinite set ,according to different radixs define different ranges of

4、 limt of expressions get a new method of judging the radixs of indefinite sets . And the rationality of this new method is proved by using the strict mathematical method. Its consistency with the axiom of set is illuminated by some examples. This method has the advantages of easy prove and calculate

5、 ;and it provide not only an effective method of judging the radixs of indefinite sets but also a easy way of understanding , and some theorem of system of original indefinite sets could be generalized.Keywords:indefinite set;radix;limit;expression引言在有限集合理論中，如果有從N的初始段0，1，n-1到A的雙射函數(shù)，那么集合A是有限的，具有基數(shù)nN，

6、則稱集合A是可數(shù)的或可列的；如果|A|= ss0，則集合A是可數(shù)無(wú)限的，如果集合A不是可數(shù)的，則稱集合A是不可數(shù)的或不可數(shù)無(wú)限的15。對(duì)于一個(gè)無(wú)限集合要判斷它是可數(shù)的或不可數(shù)的，關(guān)鍵在于能否找它與自然數(shù)集N或?qū)崝?shù)集R之間的一個(gè)雙射函數(shù)，而兩個(gè)無(wú)限集合之間的函數(shù)可能有無(wú)限多個(gè)，從中找出一個(gè)雙射函數(shù)不是一件容易的事，這往往需要一定的技巧才能辦到。本文將給出一種方法，并從理論上及具體問(wèn)題上證明其優(yōu)良性。一、基本概念在有限集合中如果集合A的基數(shù)|A|=n（nN），則A的冪集（A）的基數(shù)|（A）|=2n，同理自然數(shù)集N的基數(shù)|N|=ss0，則自然數(shù)集N的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=。二、 重要定理及推論

7、定理： =證明：因?yàn)?。下面證明自然數(shù)集N的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=首先證明= ss0：因?yàn)?，所以不是一個(gè)具體的自然數(shù)，而是一個(gè)無(wú)窮大，根據(jù)集合基數(shù)的定義當(dāng)n是一個(gè)具體的自然數(shù)時(shí)，它就代表一個(gè)元素個(gè)數(shù)為n的有限集合的基數(shù)，那么當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，是一個(gè)無(wú)窮大，而自然數(shù)集N的基數(shù)ss0在所有無(wú)限集合的基數(shù)中是最小的，所以= ss0。根據(jù)冪集基數(shù)的定義可知自然數(shù)集的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=。說(shuō)明：用表示 ss0，與無(wú)限集的性質(zhì)相吻合，因?yàn)?，這說(shuō)明對(duì)于一個(gè)無(wú)限集合，加入一個(gè)元素或去掉的一個(gè)元素，集合的基數(shù)不變，所以用表示 ss0是合理的，也是正確的，文7中對(duì)于若滿足三個(gè)條件：（1）（2）

8、（3），則收斂于P（x），這里顯然有，所以用表示 ss0是合理的。同理用表示自然數(shù)集的冪集（N）也是合理的。三、有關(guān)定義和界定規(guī)則在文15中都證明了實(shí)數(shù)集R與自然數(shù)集的冪集（N）等勢(shì)，也就是說(shuō)實(shí)數(shù)集R的基數(shù)|R|= ss1=（注：有的參考文獻(xiàn)中把實(shí)數(shù)集R的基數(shù)表示成c）。同時(shí)也給出了康托的著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：在ss0和 ss1之間不存在其它基數(shù)。根據(jù)文6中關(guān)于無(wú)窮小比較的定義，結(jié)合文7中的有關(guān)概念，我們定義無(wú)窮大的比較如下：定義：如果=0，就說(shuō)是比低階的無(wú)窮大；如果=，就說(shuō)是比高階的無(wú)窮大；如果=c0，就說(shuō)與是同階無(wú)窮大；如果=1，就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮大。顯然等價(jià)無(wú)窮大是同階無(wú)窮大的特殊情形，即c=

9、1的情形。說(shuō)明：因?yàn)樵谖?-5中都說(shuō)明ss1> ss0，和文7中的有關(guān)概念，都說(shuō)明無(wú)窮大也有大小，所以這里定義無(wú)窮大的比較也是合理的。再根據(jù)文6中極限運(yùn)算法則可知：如果c是常數(shù)，n是正整數(shù)，對(duì)于lim f（x）、lim g（x），則limf（x）±g（x）、limf（x）×g（x）、limc f（x）、limf（x）n、可以分別表示成： limf（x）±g（x）= lim f（x）±lim g（x）、limf（x）×g（x）=lim f（x）×lim g（x）、limc f（x）=c lim f（x）、limf（x）n=lim

10、f（x）n、。這種運(yùn)算法則在極限是無(wú)窮大的情況下也是適用的。在這里用兩個(gè)不同的表達(dá)式的極限和分別表示ss0 和ss1。而在極限和之間存在無(wú)窮多個(gè)不同階的無(wú)窮大，也就是說(shuō)在無(wú)限集合理論中不同階的無(wú)窮大可能對(duì)應(yīng)相同的集合基數(shù)。界定規(guī)則：如果x是一個(gè)與低階、等價(jià)、同階或者是比高階且比低階的無(wú)窮大，則x代表的基數(shù)等同于ss0，也就是說(shuō)基數(shù)等于x的集合都是可數(shù)無(wú)限集合，與自然數(shù)集等勢(shì)；如果x是一個(gè)與等價(jià)、同階或者是比高階且比低階的無(wú)窮大都等同于ss1，也就是說(shuō)基數(shù)等于x的集合都是不可數(shù)無(wú)限集合，與實(shí)數(shù)集等勢(shì)；。通過(guò)上面界定規(guī)則我們可以看出：實(shí)際上這里的ss0和 ss1不是代表單個(gè)無(wú)窮大而是代表一類(lèi)或多個(gè)

11、不同階的無(wú)窮大，也就是說(shuō)它們是一個(gè)符號(hào)。四、界定規(guī)則在具體問(wèn)題中的應(yīng)用及一個(gè)重要推論下面用表達(dá)式的極限表示無(wú)限集合的基數(shù)，對(duì)一些常見(jiàn)的無(wú)限集的定理和性質(zhì)利用界定規(guī)則進(jìn)行證明或解釋：（1） 兩個(gè)交集為空的可數(shù)無(wú)限集合A和B的并集仍然是可數(shù)無(wú)限集。證明：集合A的基數(shù)是，集合B的基數(shù)也是，則集合A和集合B的并集的基數(shù)應(yīng)該是=，而是與同階的無(wú)窮大，即它們的并集也是可數(shù)無(wú)限集。這與原結(jié)論一致。（2）可數(shù)個(gè)互不相交的可數(shù)無(wú)限集的并集仍然是可數(shù)無(wú)限集。證明：這句話可以這樣說(shuō)：個(gè)互不相交的各具有個(gè)元素的集合的并集仍然是可數(shù)無(wú)限集。而這樣的集合的基數(shù)應(yīng)該是×=。而是比高階且比低階的無(wú)窮大，故它們的并集

12、仍然是可數(shù)無(wú)限集。這也與原結(jié)論一致。 （3）集合0，1 ×0，1與0，1等勢(shì)。 證明：文15中都指出：0，1是與實(shí)數(shù)集R等勢(shì)的，也就是說(shuō)0，1的基數(shù)也是ss1，所以0，1區(qū)間的元素個(gè)數(shù)可以表示成。對(duì)于給定的一個(gè)y ，y0，1，x可以任意取0，1區(qū)間中的值，總共有個(gè)不同的x，從而也就有與該y對(duì)應(yīng)的個(gè)不同的點(diǎn)；而y也可以有個(gè)不同的值，所以0，1 ×0，1上總共有×個(gè)不同的點(diǎn)，而×=，而是比高階且比低階的無(wú)窮大，所以 0，1 ×0，1的基數(shù)也是ss1從而也與0，1等勢(shì)。這個(gè)結(jié)論也與原結(jié)論一致。使用這種方法，可以得出與原結(jié)論一致的結(jié)果，也就是說(shuō)這種方法

13、與集合論公理是一致的，且可以使用普通的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使人更容易理解。推論：任意多個(gè)（可數(shù)個(gè)或不可數(shù)個(gè)）不可數(shù)集合的并集仍然是一個(gè)不可數(shù)集（注：這里的不可數(shù)集指的是與實(shí)數(shù)集R等勢(shì)的集合）。證明：這個(gè)推論分兩部分來(lái)證明。（1） 可數(shù)個(gè)不可數(shù)集合的并集是一個(gè)不可數(shù)集?？蓴?shù)個(gè)不可數(shù)集合最多有個(gè)不可數(shù)集合，每個(gè)不可數(shù)集合有個(gè)元素，故它們的并集最多有×個(gè)元素，而×=，而是比高階且比低階的無(wú)窮大，故可數(shù)個(gè)不可數(shù)集的并集是一個(gè)不可數(shù)集。（2） 不可數(shù)個(gè)不可數(shù)集合的并集是一個(gè)不可數(shù)集。證明與四中（3）的證明方法相似，這里從略。推論得證。五、結(jié)束語(yǔ)通過(guò)對(duì)無(wú)窮大的比較下定義，利用極限的運(yùn)算法則，用表達(dá)式的極限來(lái)表示無(wú)限集合的基數(shù)，且對(duì)不同的基數(shù)指定一個(gè)界定規(guī)則，不但可以得到與集合論公理一致的結(jié)論，也可以使判斷兩個(gè)集合是否等勢(shì)的證明方法更簡(jiǎn)單也更容易理解。參考文獻(xiàn)：1 王元元，李尚奮離散數(shù)學(xué)M北京:科技出版社，1994，781032 左孝凌，李為鑒，劉永才離散數(shù)學(xué)M上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1982，1561823 徐潔磐離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論M北京：人民教育出版社，1982，971234 方世昌離散數(shù)學(xué)M西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1996，1461625 JON BARWISESTUDI