高一數(shù)學(xué)_集合總結(jié)

1、一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說(shuō)明然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫(huà)圖表示集合的例子二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析這一節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，難點(diǎn)是運(yùn)用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡(jiǎn)單的集合這一節(jié)的特點(diǎn)是概念多、符號(hào)多，正確理解概念和準(zhǔn)確使用符號(hào)是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵為此，在教學(xué)時(shí)可以配備一些需要辨析概念、判斷符號(hào)表示正誤的題目，以幫助學(xué)生提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法1關(guān)于牽頭圖和引言分析章頭圖是一組跳傘隊(duì)員編成的圖案，引言給出了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，其目的都是為了引出本章的內(nèi)容

2、無(wú)論是分析還是解決這個(gè)實(shí)際間題，必須用到集合和邏輯的知識(shí)，也就是把它數(shù)學(xué)化一方面提高用數(shù)學(xué)的意識(shí)，一方面說(shuō)明集合和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)2關(guān)于集合的概念分析點(diǎn)、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”；初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”等等在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過(guò)實(shí)例，對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)教科書(shū)給出的“一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集”這句話，只是對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明我們可以舉出很多生活中的實(shí)際例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)概念，從而闡明集合概

3、念如同其他數(shù)學(xué)概念一樣，不是人們憑空想象出來(lái)的，而是來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界3關(guān)于自然數(shù)集的分析教科書(shū)中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，與原教科書(shū)不盡相同，應(yīng)該注意新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集N含元素0，這樣做一方面是為了推行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù)0，1，2，9中最小的數(shù)，有了0，減法運(yùn)算 仍屬于自然數(shù)，其中 因此要注意幾下幾點(diǎn)： （1）自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合，也就是說(shuō)自然數(shù)集包含0； （2）自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成 或 ，其他數(shù)集如整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R內(nèi)排除0的集，也可類似表示 ， ， ； （3）原教科書(shū)或根據(jù)原教

4、科書(shū)編寫(xiě)的教輔用書(shū)中出現(xiàn)的符號(hào)如 ， ， 不再適用 4關(guān)于集合中的元素的三個(gè)特性分析集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素例如“中國(guó)的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。集合中的元素常用小寫(xiě)的拉丁字母 ，表示如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作 ；否則，就說(shuō)a不屬于A，記作 要正確認(rèn)識(shí)集合中元素的特性： （l）確定性： 和 ，二者必居其一 集合中的元素必須是確定的這就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了例如，給出集合地球上的四大洋，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋其他對(duì)象都不用于這個(gè)集合如果說(shuō)“由接近 的數(shù)組成的集合”，這里“接近 的數(shù)”是

5、沒(méi)有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念，它不能構(gòu)成集合 （2）互異性：若 ， ，則 集合中的元素是互異的這就是說(shuō)，集合中的元素是不能重復(fù)的，集合中相同的元素只能算是一個(gè)例如方程 有兩個(gè)重根 ，其解集只能記為1，而不能記為1，1 （3）無(wú)序性：a，b和b，a表示同一個(gè)集合 集合中的元素是不分順序的集合和點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的概念，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（l，0）和點(diǎn)（0，l）表示不同的兩個(gè)點(diǎn)，而集合1，0和0，1表示同一個(gè)集合 5要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念 （1）集合和元素是兩個(gè)不同的概念，符號(hào)和是表示元素和集合之間關(guān)系的，不能用來(lái)表示集合之間的關(guān)系例如 的寫(xiě)法就是錯(cuò)誤的，而 的寫(xiě)法就是正確的 （2）一些對(duì)

6、象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合的元素就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別現(xiàn)象例如對(duì)于集合 ，就是指所有不小于0的實(shí)數(shù)，而不是指“ 可以在不小于0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值”，不是指“ 是不小于0的一個(gè)實(shí)數(shù)或某些實(shí)數(shù)，”也不是指“ 是不小于0的任一實(shí)數(shù)值” （3）集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件 6表示集合的方法所依據(jù)的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定符號(hào)應(yīng)用意義或讀法備注及示例諸元素 構(gòu)成的集也可用 ，這里的I表示指標(biāo)集使命題 為真的A中諸元素之集例： ，如果從前后關(guān)系來(lái)看，集A已很明確，則可使用 來(lái)表示，例如 此

7、外， 有時(shí)也可寫(xiě)成 或 7集合的表示方法分析集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法它們各有優(yōu)點(diǎn)用什么方法來(lái)表示集合，要具體問(wèn)題具體分析（l）有的集合可以分別用三種方法表示例如“小于 的自然數(shù)組成的集合”就可以表為： 列舉法： ； 描述法： ； 圖示法：如圖1。 （2）有的集合不宜用列舉法表示例如“由小于 的正實(shí)數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示，因?yàn)椴荒軐⑦@個(gè)集合中的元素一列舉出來(lái)，但這個(gè)集合可以這樣表示： 描述法： ； 圖示法：如圖2 （3）用描述法表示集合，要特別注意這個(gè)集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義例如： 集合 中的元素是 ，它表示函數(shù) 中自變量 的取值

8、范圍，即 ； 集合 中的元素是 ，它表示函數(shù)值。的取值范圍，即 ； 集合 中的元素是點(diǎn) ，它表示方程 的解組成的集合，或者理解為表示曲線 上的點(diǎn)組成的集合； 集合 中的元素只有一個(gè)，就是方程 ，它是用列舉法表示的單元素集合實(shí)際上，這是四個(gè)完全不同的集合列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法要注意，一般無(wú)限集，不宜采用列舉法，因?yàn)椴荒軐o(wú)限集中的元素一列舉出來(lái)，而沒(méi)有列舉出來(lái)的元素往往難以確定 8集合的分類含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，如圖1所示含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集，如圖2所示9關(guān)于空集分析 不含任何元素的集合叫做空集，記作 空集是個(gè)特殊的集合，除了它本身的實(shí)際意

9、義外，在研究集合、集合的運(yùn)算時(shí)，必須予以單獨(dú)考慮注：（1）有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數(shù)組成的集合：51，52，53，100所有正奇數(shù)組成的集合：1，3，5，7，（2）a與a不同：a表示一個(gè)元素，a表示一個(gè)集合，該集合只有一個(gè)元素。描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。格式：xA| P（x） 含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。例如，不等式 的解集可以表示為： 或 所有直角三角形的集合可以表示為： 注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。 如：直角三角形；大于104的實(shí)數(shù)（2）錯(cuò)誤表示法：實(shí)數(shù)集；全體實(shí)數(shù)

10、3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合的方法。注：何時(shí)用列舉法？何時(shí)用描述法？（1） 有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。如：集合 （2） 有些集合的元素不能無(wú)遺漏地一一列舉出來(lái)，或者不便于、不需要一一列舉出來(lái)，常用描述法。如：集合 ；集合1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)注：集合 與集合 是同一個(gè)集合嗎？答：不是。集合 是點(diǎn)集，集合 = 是數(shù)集。（三） 有限集與無(wú)限集1、 有限集：含有有限個(gè)元素的集合。2、 無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。3、 空集：不含任何元素的集合。記作，如： 練習(xí)題：1、P6練習(xí)2、用描述法表示下列集合1，4，7，10，13 -2，-4，-6，-8，-10 3、用列舉法表示下列集合x(chóng)N|x是15的約數(shù) 1，3，